•Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях.

•А теперь пусть можно называть только 0,1,2. Найдите все симметричные равновесия Нэша в смешанных стратегиях.

Источник: НМУ, экзамен 2004, Леша Савватеев. Задача 7.74.

Вновь за призом.

Газета объявила, что выставит ящик водки (1000 рублей) одному или по ящику каждому из двух людей, приславших ей «запрос». Стоимость конверта для высылания запроса равна 1. Участвуют 1002 человека, и каждый решает, прислать ли запрос. Если приславших более двух, никто ничего не получает.

•Найдите все чистые равновесия Нэша;

•Найдите симметричное смешанное равновесие Нэша. Источник: НМУ, экзамен 2004, Леша Савватеев.

Задача 7.75.

Существует ли последовательная игра двух игроков с полной совершенной информацией, матрица которой имела бы вид

Если Ваш ответ «да», то постройте дерево, если «нет», то докажите.

7.1Игры с нулевой суммой

Задача 7.76.

Примеры игр с нулевой суммой. Найти максимин и минимакс в чистых стратегиях, а также все седловые точки (они же равновесия Нэша) и цену игры в смешанных стратегиях:

1.

−1 2 −25 −1 1

2 1 3

2.

1 3 2 0 44 1 1 5 0

6 0 4 9 −3

Источник: БЗИ, NES. Задача 7.77.

Два пальца. Есть такая замечательная игра. Участники одновременно показывают один или два пальца. Потом считают сумму (она может получиться от двух до четырех). Если четно, то второй игрок выиграл у первого долларов, если же нечетно, то наоборот, выиграл первый.

1.Найдите седловую точку в смешанных стратегиях и цену игры. Справедлива ли игра, и, если нет, то кому лучше?

2.Те же вопросы для игры “три пальца” (можно выбрасывать от одного до трех пальцев). Источник: БЗИ, NES.

Задача 7.78.

Еще одна игра “на пальцах”. Двое играют на деньги. Участники одновременно показывают сколько-то пальцев (от 1 до ). Если оказалось поровну, то ничья. Если число пальцев, показанных одним и другим игроком, отличается на 1, то тот, у кого меньше, выигрывает $2.

Востальных случаях тот, у кого больше, выигрывает $1.

1.Можно ли, не производя никаких вычислений, определить цену игры в смешанных стратегиях? Приведите соображения, обосновывающие ваш ответ.

2.Пусть = 3. Как надо играть?

3.Верно ли, что при любом в игре имеется ровно одно смешанное равновесие?

Источник: БЗИ, NES. Задача 7.79.

Решите по доминированию игру с матрицей выигрышей

Источник: БЗИ. Задача 7.80.

Итерационные игры. Играют участников. Функция полезности участника с номером имеет вид ( 1, . . . , ). Можно ли решить игру по доминированию? Если надо, сделайте какие-нибудь разумные предположения.

Источник: БЗИ. Задача 7.81. Инвесторы.

Два инвестора соревнуются. Организатор выдает каждому один рубль. Инвесторы одновременно выбирают способ вложения своего рубля. Каждый инвестор может выбрать себе любую случайную величину с ( ) = 1 в качестве результата инвестирования. Победитель (тот, у кого окажется больше денег после инвестирования) получает от проигравшего 1 рубль, результаты инвестирования достаются организаторам.

Как выглядит оптимальная стратегия, если:

а) Результат инвестирования может принимать отрицательные значения? б) Результат инвестирования не может принимать отрицательные значения?

в) Что изменится, если результат инвестирования может принимать значения на [0; ], > 1, а победитель в качестве выигрыша получает результат инвестиций проигравшего?

Источник: Ferguson?. Задача 7.82.

Саша и Алеша.

У Маши два поклонника - Саша и Алеша. Маша прилетает в аэропорт в свой родной город в 12:00. Саша и Алеша независимо друг от друга выбирают, когда приехать ее встречать. Каждый ухажер нетерпелив, поэтому приехав в аэропорт он либо сразу забирает Машу, которая уже прилетела; либо сразу уезжает, если Маши нет (она могла еще не прилететь или ее мог забрать другой ухажер). Получивший Машу получает +1, проигравший -1; если Маша не досталась никому, то 0:0. Если Саша и Алеша приезжают одновременно - 0:0. Если до 13:00 Машу никто не встретит, она уезжает на такси.

??? проверить... ???

Найдите равновесие по Нэшу Источник: Ferguson.

Задача 7.83. КНБ-2

«Камень-ножницы-бумага и колодец тоже надо. Раз-два-три!» Два игрока одновременно показывают ладонью одну из четырех фигур: камень, ножницы, бумагу или колодец. Ножницы режут бумагу, тупятся об камень и тонут в колодце. Бумага побеждает камень (т.к. камень можно завернуть в бумагу), закрывает колодец (опять же побеждает). Камень тонет в колодце. Если игроки показали одну и ту же фигуру, то ничья. Найдите равновесие Нэша.