Билеты по теории вероятности
.docx
1 - Определение случайного события, операции над событиями, совместные(несовместные) события Ω = {ω} – множество элементарных исходов. А ⊂ Ω [А - случайное событие] А + В – сумма событий[произошло хотя бы одно] А * В – произведение событий [оба произошли] А и В несовместные события, если. А* В = Ø А–В – разность событий [А да, В нет] Ā = Ω - А – противоположное событие [Ā проиходит когда А не происходит] События А1, А2, …,Аn называются попарно несовместимыми, если Аi * Аj = Ø, i ≠ j События А1, А2, .., Аn несовместные в совокупности,если А1 * А2 *…* Аn = |
2 Свойства операций
Свойства противоположного события
= * ; = +
|
5 Определение условной вероятности и ее свойства Р(А/В)=Р(В); А не зависит от В. если Р(А/В)=Р(А). !Если А не зависит от В , то В не зависит от А, А не зависит от, не зависит от В, не зависит от . Свойства: те же, что и теоремы вероятности(см. билет 4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 Теорема умножения Р(АВ)=Р(А) Р(В/А); Р(А1А2…Аn)=P(A1)P(A2/A1) P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1) – общая
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 Аксиоматическое определение вероятности. Следствия из определения. (А. Н. Колмогоров). Вероятностью случайного события А называется числовая функция, заданная на множестве Ã (где Ã- алгебра случайных событий удовлетворяющая следующим аксиомам: Аксиома неотрицательности: Р(А)0. Аксиома нормировки: Р()=1. Аксиома аддитивности: Р(А+В)=Р(А)+Р(В), если события А и В несовместны, т.е. А*В=ᴓ. Дополнительная аксиома для бесконечной последовательности наблюдаемых событий: Р()= , где события А1,…,Аn- попарно несовместны, т.е. Аi Aj=ᴓ (i Тройку (, Ã, р) называют вероятностным пространством. Основные теоремы 1)Р(=1-Р(А); 2) Р(ᴓ)=0; 3)если А В, то р(А)≤р(В)0≤ р(А)≤1; 4)если события А1, А2, …, Аn –попарно несовместны, т.е. Аi *A j=ᴓ (i; то Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn); 5)Теорема сложения для совместных событий: а) Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ); b Формула для двух: P(A+B) = P(A) + P(B) –P(AB) (1)Вывод: A+B+C = (P(A)+P(B)-P(AB) )+ C (по ф-ле 1, A+B берем за А) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)
|
10 число элементов конечное или счётное : Ω= {ῳ1,ῳ2, ..., ῳn, …}Если каждому элементарному исходу ставится в соответствие число, т.е. имеем числовую функцию на множестве Ω,то говорят, что задана случайная величина. Эту функцию будем обозначать X. Значение функции X(ῳ )= x-число. Множество значений дискретной случайной величины X- будет конечным или счётным. Закон распределения дискретной случайной величины X- это ряд распределения x1x2… xn … pi =p{ X =xi } (pi – вероятность случайного события: « Случайная величина X принимает Заметим, что I = 1 Функцией распределения случайной величины Х называется числовая функция , которую обозначают F( х ), равную вероятности события { X x ),т.е. F ( х )=P { X x }. Функция распределения вычисляет вероятность попадания слева от точки х. Для дискретной случайной величины функция распределения задаётся следующей формулой: F( х ) == Свойства функции распределения Область определения: D( F )=(-∞; +∞ ). Множество значений : E(F )= [ 0, 1]. Монотонность : F( х )- неубывающая функции ,т.е.если х 1х2 ,то F ( х1) ≤F( х2) Непрерывность : В точка хi – функция имеет разрыв справа рода, при этом F (хi +0) –F ( xi- 0) =pi ( предел справа минус предел слева равен pi= P{ X =xi})
|
3 Определение алгебры случайных событий. Следствия из определений Множество Ã случайных событий, порожденных множеством Ω, называется алгеброй случайных событий, если выполнены условия:
1. Доказать: А ⋲ Алгебре, B ⋲ Алгебре => А*В ⋲ алгебре Доказательство: A*B влечет А, A*B влечет B => А*В ⋲ алгебре 2. Доказать: А ⋲ Алгебре, В ⋲ Алгебре => А-В ⋲ алгебре. Доказательство: А-В=А* => см 1 3. Доказать: ⋲ Алгебре Доказательство:Ω ⋲ Алгебре, ⋲ Алгебре если А ⋲ Алгебре => ⋲ Алгебре => ⋲ Алгебре |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 Определение моды, медианы и квантили порядка «р». Число χp называется квантилью порядка р, если F(xp)=p или P{χ<xp}=p Медиана – квантиль порядка 0.5 Мода – точка максимума f(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 Независимые события и их свойства
А
не зависит от В, если Р(А/В)=Р(А) при
Р(В) Р(А1 А2 …Аn)=P(A1) P(A2) …P(An). Если А и В независимые события, то они обязательно совместные, т.к. Р(АВ) Теорема о сумме совместных, но независимых в совокупности событий. Р(А1+А2+…+Аn)=1-p( P() … P( Дано: P(A)*P(B)=P(A*B) Доказать: P(A)*P() = P(A*) P()*P(B) = P(*B) P()* P() =P( *) Доказательство:
|
8 Пусть H1, H2,…,Hn – наблюдаемые события для данного эксперимента, при чем они попарно несовместны (Hi*Hj=ᴓ) и образуют полную группу событий (H1+H2+…+Hn= Ω). Для любого наблюдаемого в эксперименте события A имеет место следующая формула полной вероятности: События H1, H2,…, Hn принято называть гипотезами. Безусловные вероятности P(Hi), где i =1,.. ,n трактуются как доопытные (априорные) вероятности гипотез. Замечание: Формулу полной вероятности используют в условиях неопределенности, т.е. когда неизвестно, какая из гипотез Hi реализовалась. Если событие A реализовалось, то послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез определяются по формулам Байеса: P() = , i= ; = 1
|
9 1)Пусть проводится «n» независимых испытаний ( опытов). 2)В каждом опыте возможны только два исхода: А (успех ) или ( неудача). 3)Р(А)=р; Р=q=1-р. 4)Вероятность появления события А: Рn(к)= Сnk*pk*qn-k, (к=0, 1, 2, …, n). Вероятности Рn(к) называются биномиальнымии при этом справедливы формулы:
Pn(1) +…+Pn(n)=1- qn. 3.Вероятность того, что А появится не менее «m» раз: Pn(m)+ Pn(m+1)+…+Pn(n)==1- 4.Вероятность того, что А появится не более «m» раз: Рn(0)+ Pn(1) +…+Pn(m)=(k) =1-(k). n*p – q ≤k0≤n*p+p. – ф-ла наивероятнейшего
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 Числовые характеристики непрерывной случайной величины
D[X]=mx)2•f(x)dx -среднее квадратическое отклонение Начальные моменты «кго» порядка к=M[Xк]=к•f(x)dx «кго» порядка к=M[(X-mX)к]= f(x)dx |
14 Свойства математического ожидания 1. M[C] =С, ( С- константа)Место для формулы. 2. М[АX+ C] =АM[X] + C 3.M[АX +BY+C] =AM[x] +BM[Y] +C, (Х., Y-случайные величины; A, B- числа; С – константа) 4.Если X и Y независимые случайные величины, т.е. для любых х,y верно: P{(X<x)(Y<y)} = P{X<x}P{Y<y}. то M[XY] = M[X]*M[Y] 5. Если Y=A(X) (Y функция случайной величины X),то M[Y]=∑A(хi)*Pi (M[x2] = ∑ х2i*Pi ) Используя свойства математического ожидания, можно получить формулу для вычисления D[X] = M[(X- mx)2] = M[X2- 2*mx*X +(mx)2] = M[X2]-2*mx*M[X] + (mx)2 = M[X2]-(mx)2
|
15 Свойства дисперсии и среднеквадратичного отклонения. D[X] =M[X2] –m2[x] Заметим: ∑ хi2pi= M[X2] Свойства дисперсии и СКО
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 Основные дискретные распределения (способы задания и числовые характеристики): 1)биномиальное 2)распределение Пуассона 3)геометрическое распределение. Биномиальное распределение Х –число появлений события А в «n» независимых испытаниях Бернулли P{X=k}= Pn(к)=Cnkpk*qn-k, к=0,1,…,n
M[X]= n*p, D[X]=npq, [X]= Распределение Пуассона Случайная величина Х распределена по закону Пуассона с параметром , если Pk=P{X=k}=()k/k!*e-, к=0,1,2,…,n,… Т.к. имеем счётное множество значений, то числовой ряд ∑pк=1 (числовой ряд сходится и сумма ряда равна 1)
M[X]==D[X]=; [X]= Распределение Пуассона является предельным для биномиального: Pn(k)k/k!*e- n,где =n*p Геометрическое распределение Пусть в одном опыте событие А появляется с вероятностью р ,т. е. Р(А)=р, Р(Ā)= 1-р=q Опыты проводятся до первого появления события А. Х – число опытов. рк=Р{X=k}=qk-1p, к=1,.2,.3.,…,n,… Заметим, что выполнено условие: ∑рк =1 ( числовой ряд сходится и его сумма равна 1 )
М[X]=1/p, D[X]=q/p2 |
11 Числовые характеристики дискретной случайной величины 1)Математическое ожидание определяет средне статистическое значение случайной величины или центр распределения вычисляют по формуле: mx=M[ X ] = ∑ хi*pi ( В случае бесконечного числа значений случайной величины числовой ряд должен сходится ). 2)Дисперсия случайной величины (определяет меру рассеяния относительно центра распределения ) вычисляется по формуле: D [Х] =M[ ( X – mx)2] D[ X ]=∑ ( хi – mx )2*pi 3) Среднее квадратичное отклонение х =[ x] = 4)Начальные моменты «к» го порядка к =М[ X k ]=∑хik *pi 1= M[X ]. 5) Центральные моменты «к» го порядка к =M[(Х –mx)k] ,1=0, 2= D[x]
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 Непрерывная случайная величина. Свойства функции плотности. Функция распределения непр. сл. в. и ее свойства Если множество значений случайной величины Х есть некоторый интервал или объединение интервалов числовой оси, то говорят о непрерывной случайной величине. 1)f(x)0 2)p= Основное свойство функции плотности Функция распределения непрерывной случайной величины F(x)=P{X<x}= P{-∞<X<x}= F`(x)=f(x) Заметим, что p{= вероятность попадания в интервал численно равна площади криволинейной трапеции под кривой f(x). Основные свойства функции распределения F(x) непрерывной случайной величины. 1.Область определения D(F)=(-) 2.Множество значений E(F)=[0;1] или (0;1), при этом 3.Монотонность: Неубывающая: т.е. если x1>x2, F(x1)F(x2) [нет точек extr] 4.Непрерывная функция 5.Для вычисления вероятности попадания в интервал справедливы следующие формулы: P{X<} = F( P{X} = 1 - F( P{} = P{} = P{} = P{ = F( F()
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17 Основные непрерывные распределения (способы задания и числовые характеристики) 1)равномерное распределение на отрезке, 2)показательное распределение, 3)нормальное распределение.
Случайная величина Х называется равномерно распределённой на отрезке [a;b], если её функция плотности задаётся формулой f(x)= F(x)=функция распределения
M[X]=; D[X]=; X=
X распределена по показательному закону с параметром а, если функция плотности задаётся формулой: f(x)= F(x)= M[χ]=1/a; D[χ]=1/a2; σx=1/a 3) Нормальное распределение (закон Гаусса) с параметрами m, σ (обозначается: N (m, σ) M[χ]=m; D[χ]= σ2 Случайная величина χ распределена нормально с параметрами m, σ, если функция плотности задается формулой f(x)=* Если m=0, σ=1, то имеем стандартизированную случайную величину. Функция плотности: (x)= [есть таблица значений этой функции] Функция распределения F(x)=
Чтобы найти значения функции распределения используют таблицу значений функции Лапласа Ф(x)= Ф(-x)=- Ф(x) Ф(х)=1/2 F(x)=0,5+Ф((x-m)/σ) Основные формулы для вычисления вероятностей попадания в интервалы 1. Р{χ<α}=0,5+Ф((α-m)/σ) 2. P{χ>β}=0,5- Ф((β-m)/σ) 3. P{α<χ<β}=Ф((β-m)/σ)-Ф((α-m)/σ) 4. P{|χ-mx|<ε}=2Ф(ε/σ) 5. P{|χ-mx|<kσ}=2Ф(k) В частности: Правило “3σ”: P{|χ-mx|<3σ}=2Ф(3)=0,9973
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 Функция одномерной случайной величины. Законы распределения для дискретной и непрерывной случайной величины. Пусть – дискретная случайная величина, заданная рядом распределения:
Пусть – неслучайная функция: (каждому возможному значению случайной величины ставится в соответствии одно значение случайной величины ). Все значения случайной величины вычисляем по формуле: , при этом так как Если строго убывает, то Если функция имеет интервалы монотонности, то если , то в таблице заносим одно значение, а соответствующие вероятности складываются. Если непрерывная случайная величина , причем монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая функция, то – тоже непрерывная случайная величина. Если – распределения случайной величины, то
( – функция обратная для функции ) Таким образом, если функция плотности с.в. , то (1) Если строго убывает, то (2) Объединив (1) и (2) получаем: если строго монотонная функция, то для нахождения функции плотности с.в. используем формулу: где Если – функция не монотонна, то разбиваем множество возможных значений на интервалы монотонности , , … , и на каждом интервале находим обратную функцию , то где плотность случайной величины : определяется в виде суммы: Полезная информация Если имеет функцию плотности , а , то закон распределения с.в. не меняется и при этом: При решении задач на нахождение плотности можно придерживаться следующей схемы. Дано Найти 1. Строим график Пусть строго монотонна Находим: (область определения с учетом значения с.в. ) – множество значений 2. Находим обратную функцию 3. Вычисляем , 4. где
|