Нормирование точности и технические измерения
.pdf3, Расчет оценки CEO результатов наблюдений:
4. Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и тео ретического распределений по критериям согласия.
При п > 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев П ир сона х2 или Мизеса-Смирнова со2. При 50 > я > 15 для провер ки принадлежности распределения к нормальному предпоч тительным является составной критерий (принятое условное
чимости приводят в описании методики выполнения измере ний или обработки результатов измерений.
обозначение W). |
|
У |
|
Проверки по |
|
|
|
критериям согласия проводят при уровнях |
|||
значимости q от |
10% до 2% . П ринятые значенияТуровней зна |
||
|
|
Н |
|
При я < 15 проверку принадлежности распределения к нор |
|||||
мальному не проводят, а качественную оценкуБ формируют на |
|||||
|
|
|
|
|
и |
основе априорной информации о в де (законе) распределения |
|||||
случайной величины, что позволяетйзатем перейти к соответ |
|||||
|
|
о |
|
||
ствующей количественной оценке. |
|||||
5. Статистическая пр ве |
ка наличия результатов с грубыми |
||||
погрешностями. |
т |
р |
|||
|
и |
|
|
|
|
При нормальном распределении погрешностей можно при |
менять упрощенную процедуру отбраковывания экстремаль ных отклонений, напр мер, по критерию 3S:
Соблюдениепонеравенства позволяет утверждать, что прове ряемый р зультат содержит грубую погрешность и должен ис ключаться из рассмотрения. Если отбракован хотя бы один ре
з |
K r \ > z s . ■ |
|
зультатРес грубой погрешностью обработка повторяется с п. 1. 6. асчет оценки среднего квадратического отклонения ре
зультата измерения (оценки СКО среднего арифметического значения):
S_ = S / 4 n .
7. Расчет значения границы погрешности результата изм е рения А (по модулю):
Д = t s t ,
71
где t - коэффициент Стьюдента, зависящ ий от числа резуль татов наблюдений п и принятой доверительной вероятности Р; Р - доверительная вероятность.
Обычно принимаю т доверительную вероятность Р = 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи - те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и без опасностью ж изни людей, с возможными значительными эко номическими потерями и т.д.
8. Запись результата измерения А в установленной форме:
|
Q = x ± A ; P , |
У |
где |
|
Т |
х - точечная оценка результата измерений, рассчитанная |
как среднее арифметическое значение для всей серии наблю |
|
дений. |
Н |
|
В случае наличия значимых неисключенных систематиче ских составляю щ их погрешности значения границ погрешно сти результата измерения определяют в соответствии с требо
ваниям и ГОСТ 8 .207 -76 . |
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
Статистическая обработка результ ат ов |
||||
косвенных |
змерений |
|||
|
|
|
|
й |
Порядок статистической |
|
аботки результатов косвенных |
||
измерений можно представить следующим образом: |
||||
1. Статистическая |
|
р |
|
|
обраб тка результатов прям ы х измере |
||||
ний и нахождение х. |
SL. |
|
|
|
|
об |
|
|
2. Расчет искомого значения ФВ (точечной оценки резуль |
|
|
т |
тата косвенных и мерен й) |
|
и |
|
з |
Q = /(ж ,, х 2,... ,х п). |
|
где kt = df / д х ..
3. Определение ценки каж дой частной погрешности с уче |
||||
том |
|
|
о |
|
в сового коэффициента |
||||
|
|
п |
Ext = k,S„, |
|
|
е |
|
||
|
|
|
||
Р |
|
|
|
4. Определение оценки погрешности (среднего квадратиче ского отклонения) результата косвенного измерения. Оценку погрешности результата косвенного измерения рассчитывают с учетом весовых коэффициентов частных погрешностей. При значимой стохастической связи оценка среднего квадратиче ского отклонения (оценка погрешности косвенного измере ния) рассчитывается с учетом коэффициента корреляции R.. (определяют традиционными статистическими расчетами)
72
При практическом отсутствии корреляции между величи нами, получаемыми в результате прямы х измерений
5. Определение значения коэффициента Стьюдента t в зав симости от выбранной доверительной вероятности Р и запись
результата косвенного измерения в установленной формеУ
Q —Q -Ь
Р = 0,...
Результаты прямых и косвенных измерений должны от |
||||
вечать требованиям обеспечения единства измерений,Т |
т.е» в |
|||
|
|
|
Б |
|
описании результата следует использовать узаконенные еди |
||||
ницы физических величин и указы вать оценкиНпогрешностей. |
||||
|
|
й |
|
|
Информацию о единицах физических величин можно найти в |
||||
|
и |
|
|
|
нормативной документации, специальной и справочной лите |
||||
ратуре. |
р |
|
|
|
Стандартное определение ед нства змерений требует, что бы погрешности были известны с заданной вероятностью, из чего следует:
- в описание резуль а |
|
а вх дят только стохастически пред |
и |
|
|
ставляемые погрешнос |
о, значит, систематические составля |
|
з |
|
|
ющие по возможноститдолжны быть исключены; |
-- неисключенные остатки систематической составляющей |
|
|
о |
погрешности и мерения могут входить в описание результата |
|
п |
|
измерений как рандомизированные величины , значения ко |
|
е |
|
торых соизмеримы со случайной составляющей погрешности измер ния;
- если н исключенные остатки систематической составля ющей погрешности измерения существенно меньше случай
ной составляющей, ими пренебрегают, но возможна (хотя и |
|
нежелательна)Р |
обратная ситуация, когда собственно случай |
ная составляю щ ая оказывается пренебрежимо малой по срав нению с неисключенной систематической составляющей.
Ф ормы предст авления результ ат ов измерений
Форма представления результата измерения обычно пред полагает наличие:
73
-точечной оценки результата измерения;
-характеристики погрешности результата измерения (или
еестатистической оценки);
-указания условий измерений, для которых действитель
ны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указы ваю тся непосредственно или путем ссылки на доку мент, удостоверяю щ ий приведенные характеристики погреш ностей.
В качестве точечной оценки результата измерения при из мерении с многократными наблюдениями принимают среднее
Характеристики погрешности измерений можноУуказывать
вединицах измеряемой величины (абсолютныеТпогрешности) или в относительных единицах (относительныеНпогрешности).
При указании границы интервала погрешности измерений рекомендуемое значение вероятности Р Б= 0,95.
Требования к оформлению результата измерений:
- характеристики погрешностей (или их статистические |
||
|
|
й |
оценки) вы раж аю т числом, содержащим не более двух знача |
||
|
р |
ческих оценок цифра второ |
щ их цифр, при этом для стат ст |
||
|
младшего |
|
го разряда округляется в б льшуюисторону, если последующая |
||
цифра неуказываемого |
|
разряда больше нуля; |
- допускается |
харак еристики погрешностей (или их |
ста |
||||
тистические |
|
|
при |
одну |
||
оценк ) вы раж ать числом, содержащим |
||||||
|
|
|
з |
этомдля статистических оценок второй |
||
значащ ую цифру, |
|
|||||
Пример |
ростейш ей формы представления результатов и з |
|||||
разряд (неука ы ваемы й младш ий) округляется в большую |
||||||
сторону при |
тбрасывании цифры младшего разряда равной |
|||||
|
п |
|
|
|
|
|
или больше 5 и в меньшую сторону при цифре меньше 5. |
||||||
е |
|
|
|
|
|
|
мерений: |
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
(8,334 ± 0 ,0 1 2 ) г; Р = 0,95. |
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Неопределенность измерений и ее отражение в описании результатов
Понятие «неопределенность», как наименование количест венно оцениваемого свойства измерения, является относитель но новым в метрологии. Термин «неопределенность» введен «Руководством по предоставлению неопределенности измере
74
ний» (далее «Руководство»), поскольку «погрешность» - иде ализированное понятие, и не может быть известна точно.
Неопределенность (измерения) - это параметр, связанный с результатом измерения, характеризую щ ий дисперсию значе ний, которые могли быть обоснованно приписаны измеряемой величине.
Руководство устанавливает общие правила оценивания и вы раж ения неопределенности измерения, которые следует со блюдать при любых уровнях точности в ш ироком спектре и з мерений, вклю чая:
-измерения для обеспечения контроля качестваУи поддер
жания заданного уровня качества в процессе производства;
-измерения в ходе фундаментальных и прикладныТх иссле дований; Н
-измерения калибровочных мер;
-измерения с целью обеспечения единстваБизмерений в стране;
-измерения для разработки, поддерж ания и сличения международных и национальных йэталонов единиц физиче ских величин, вклю чая стандартные образцы свойств веществ
иматериалов. и
Коцениванию неопределенностир следует приступать толь ко после исключения результатов с грубыми погрешностями и исправления результатовоизме ений (исключения системати ческих составляющих тп грешн стей). Такой подход позволяет обоснованно применяиь ма ематический аппарат теории веро ятностей и математ ческой статистики к «исправленным ре зультатам измерензй.
Неопределенность измерения в некоторых информацион ных источникахптрактуется как мера возможной погрешности оцененного значения измеряемой величины, либо как оцен ка, характеризую щ ая диапазон значений, в пределах которо го находитсяР истинное значение измеряемой величины . Под неопр д л нностью измерений ф актически подразумевают то, что результат измерений фиксируется интервалом значений, а не конкретной точкой на числовой оси физической вели чины, при этом координата истинного значения остается не
известной (неопределенной). В более ш ироком смысле можно говорить такж е и о неопределенности «закона распределения» результатов многократных наблюдений при измерении кон кретной физической величины . Графическое отображение не определенности представлено на рис. 2.8.
75
р
|
|
-р |
|
0 |
— — ------ |
— |
Q . |
|
- к и |
X |
|
|
+ku |
|
|
Р ис. 2.8, |
Графическая интерпретация неопределенности |
||
|
|
|
У |
измерений при нормальном распределении случайной погрешности
На рисунке отраж ены качественная оценка неопределенноТ сти (нормальное распределение), а такж е ееНколичественные
оценки (расш иренная неопределенность ки при выбранной до верительной вероятности Р). Б
В Руководстве использую тся следующие термины и опреде
Оценка (неопределенности)рипо тйпу А - метод оценивания неопределенности путемостатистического анализа рядов на блюдений.
Оценка (неопределеннтс и) по типу В - метод оценивания неопределенности иным способом, чем статистический анализ рядов наблю денийз.
Сум м арная стандартная неопределенность - стандартная неопределенность ре ультата измерения, когда результат по лучаю т изпзначений ряда других величин, равная полож и тельномуеквадратн му корню суммы членов, причем членыР
асш иренная неопределенность - величина, определя ю щ ая интервал вокруг результата измерения, в пределах ко торого можно ож идать, находится больш ая часть распределе ния значений, которые с достаточным основанием могли быть приписаны измеряемой величине.
Коэффициент охвата - числовой коэффициент, использу емый как множ итель суммарной стандартной неопределен-
76
ности для получения расш иренной неопределенности. При нормальном распределении обычно применяют значения коэф фициента охвата k, называемого такж е «коэффициент покры тия» в диапазоне от 2 до 3.
У становление связи между выбранным уровнем доверия и ин тервалом, характеризую щ им расширенную неопределенность, требует явны х и неявны х предположений относительно зако на распределения вероятностей.
К лассификация методов оценивания неопределенности на
величин, а составляющие неопределенности при любом типе оценивания количественно представляют Нкак оценки дис персией или стандартных отклонений. Различия двух типов
тип А и тип В представляет два различны х способа получе ния оценки составляющ их неопределенности. Оба Утипа осно ваны на вероятностном оценивании распределенийТслучайных
оценивания заклю чаю тся в методе получении оценки: прямое
получение оценки путем статистического анализа рядов н а
за рядов наблюдений (оцениван ейнеопределенности по типу В). Стандартную неопределенность при оценивании по типу
блюдений (оценивание неопределенности по типу А) или по |
|
лучение оценки без непосредственного статистическогоБ |
анали |
В получают из предполагаемойриф ункции плотности вероятно стей, причем используют г т вые оценки, полученные в ходе разнообразных метрол гических мероприятий.
о т Наиболее распросираненным способом формализации не
полного знания зо распределении величины является по ст ули рование равновероятного распределения возможных значений этой величины в ука анны х границах.
Расширенную неопределенность U получают умножением
суммарной стандартной неопределенности и, на коэффициент |
|||
охвата к. |
|
о |
|
Фактически U представляет собой доверительный ин |
|||
тервал, которыйпс выбранной вероятностью накрывает истинное |
|||
знач |
|
изм ряемой величины. Коэффициент охвата к зависит |
|
|
ние |
|
|
от вида приписанного распределения и выбранной доверитель |
|||
ной вероятности. |
|||
Р |
|
|
|
По определению суммарная стандартная неопределенность |
измерения, представляет собой оценку среднего квадратиче ского отклонения результата косвенных измерений, посколь ку результат измерения получают из значений ряда других величин. Суммарную стандартную неопределенность при этом рассчитывают как значение квадратного корня из суммы дис
77
персий (или ковариаций) этих величин с учетом весовых ко эффициентов.
Ф актически понятие «суммарная стандартная неопреде ленность» следует рассматривать в двух вариантах:
- оценка неопределенности прям ы х измерений, получаемая «суммированием» нескольких составляю щ их, например, вы
|
й |
|
составляющ ие долж ны быть представлены оценками соответ |
||
ствующих дисперсий. |
и |
Б |
Вычисление ст андарт ной неопределенности ( иА) |
||
по т |
пу А |
|
званны х наличием погрешности применяемого прибора, по |
||
грешностей всех использованных мер и субъективной погреш |
ности (при условии отсутствия методической составляющей и проведении измерений в нормальных условиях);
емая «суммированием» составляющих погрешностейУрезульта тов прямых измерений, входящ их в функциональную зависи мость для расчета результата косвенных измерений.
- оценка неопределенности косвенных измерений, получа
Значения |
составляю щ их, входящ их в суммарную |
неопре |
деленность, |
Т |
как по |
могут быть получены путем оценивания |
типу А, так и по типу В, главное требованиеН- под корнем эти
Исходными данными для вы числения являю тся результа |
|||||
ты многократны х измерений:р |
|
||||
|
|
|
|
о(і = 1 |
|
|
|
|
|
т |
|
где п. - число и мерен й і-й входной величины. |
|||||
Стандартную |
неопределенностьи |
единичного измерения і-й |
|||
входной величины вычисляю т по формуле: |
|||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
где х. = — J2 xig |
- среднее арифметическое результатов изм е |
||||
е |
|
|
|
|
|
|
П. 9=1 |
|
|
|
|
рений і-й входной величины . |
|
||||
Р |
|
|
неопределенность |
измерений і-й входной |
|
Стандартную |
величины, при которых результат определяют как среднее арифметическое, вы числяю т по формуле:
78
В ы чи слен и е ст анд арт ной неопределенност и (и в) по т и п у В
Исходными данными для вы числения является следующая информация:
- данные предшествовавших измерений величин, входя щ их в уравнение измерения; сведения о виде распределения вероятностей;
- данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих приборов
и материалов; |
|
|
У |
|
|
|
|
- неопределенности констант и справочных данных; |
|||
|
|
Т |
|
- данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о |
|||
приборе и др. |
Н |
|
|
Неопределенности этих данных обычно |
представляют в |
||
|
Б |
от ее точечной |
|
виде границ отклонения значений величины |
оценки. При неполном знании о неопределенности некоторой і-й входной величины обычно постулируют равновероятное
распределение возможных значений |
величины в указан |
||||||||
ных (нижней |
и верхней) границах |
]. При этом стан |
|||||||
дартную неопределенность, выч |
сляемую |
по типу В, опреде |
|||||||
ляю т по формуле: |
|
|
|
|
|
этой |
|
||
|
|
|
и |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
- |
Ь; |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
||
|
|
|
|
о |
|
Ь.) |
- |
|
|
а для симметричных границ (± |
|
|
|||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uB{xl) = bi />}3. |
|
|||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
В случае другихззаконов распределения формулы для вы |
|||||||||
числения не |
|
ределенности по типу В будут иными. |
|||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления коэффициента корреляции используют |
|||||||||
согласованныеппары результатов измерений (хи, х ) (1=1,. |
|||||||||
где п.. - число согласованных результатов измерений: |
|||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
t { x u ~ x i)(x ii - * i) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
где х., х. - результаты прям ы х измерений, х., х .~ средние зна чения результатов прямых измерений.
79
В ы чи слен и е сум м а р н о й ст андарт ной
неопределенности ( u j
В случае некоррелированных результатов измерений хг,..., х т оценку дисперсии суммарной стандартной неопределенности вы числяют по формуле:
|
т |
df |
\ 2 |
|
|
|
|
U2 |
(Х;) |
|
|||
|
и, |
дх{ |
|
|||
df |
|
|
|
|
||
коэффициент і-ой стандартной неопре |
||||||
где — - весовой |
||||||
деленности, и2(х.) - |
|
|
|
У |
|
|
і-ая стандартная неопределенность. |
|
|||||
|
|
|
|
Т |
х т |
|
В случае коррелированных результатов измерений хг,..., |
оценку дисперсии суммарной стандартной неопределенности вычисляю т по формуле:
• |
1 ОХ. |
1=17=1 ох. о х . |
Н |
где г(х., х.) - |
коэффициент корреляции;Би (х .) - стандартная |
неопределенность входной вел ч ны i, вычисленная по типу |
||||||
А или по типу В. |
|
|
й |
|||
|
|
|
|
|
и |
|
В ы бор коэф ф ициент а хват а k п р и вы ч и слен и и |
||||||
|
|
р а сш и р ен н й рне пределенност и |
||||
В общем случае коэффициенто |
охвата выбирают в соответ |
|||||
ствии с формулой: |
|
т |
|
|||
|
|
|
|
иk —t-pVeff |
||
|
|
|
з |
распределения Стьюдента с эффектив |
||
где t (veff) ~~ квантиль |
||||||
ным числом сте еней свободы v |
и доверительной вероятно |
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
стью (уровн м доверия) р. |
|
|||||
|
п |
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
ил |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
df |
Число ст пеней свободы определяют по формуле:
дх,
где у. - число степеней свободы при определении оценки i-й входной величины: v. = п. - 1 ~ для вы числения неопределен ностей по типу А; V. =со - для вычисления неопределенностей по типу В.
80