Vmfmm_StatGip_308_2011
.pdf
xi |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
24 |
ni |
3 |
4 |
13 |
13 |
15 |
13 |
11 |
12 |
10 |
4 |
2 |
Проверить при уровне значимости 0,05, справедлива ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности.
Решение. Методом произведений находим выборочную среднюю xв и выборочное среднее квадратическое отклонение
σв . Для этого составим таблицу
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
xi |
ni |
ui |
niui |
n u 2 |
|
|
|
|
|
i i |
|
4 |
3 |
-5 |
-15 |
75 |
|
6 |
4 |
-4 |
-16 |
64 |
|
8 |
13 |
-3 |
-39 |
117 |
|
10 |
13 |
-2 |
-26 |
52 |
|
12 |
15 |
-1 |
-15 |
15 |
|
14 |
13 |
0 |
0 |
0 |
|
16 |
11 |
1 |
11 |
11 |
|
18 |
12 |
2 |
24 |
48 |
|
20 |
10 |
3 |
30 |
90 |
|
22 |
4 |
4 |
16 |
64 |
|
24 |
2 |
5 |
10 |
50 |
|
|
n=100 |
|
∑niui = −20 |
∑niui |
2 =586 |
Вычислим условные моменты первого и второго порядков:
M1* = ∑nniui = −10020 = −0, 2; M2* = ∑nniu2i = 100586 = 5,86.
40
Поскольку шаг равен h= 6 - 4 = 2 и ложный нуль С= 14, то xв = M1*h +C = −0, 2 2 +14 =15,6.
σв |
= |
М |
2* −(М1* )2 |
h2 |
= |
(5,86 −0, 22 ) 4 = 4,82. |
|
|
|
|
|
|
|
Теоретические частоты находим, пользуясь табл. 1, по
формуле ni' = nh |
ϕ(ui ) в табличном виде |
|
|
|
|||||||
|
σ |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
xi |
|
|
|
xi − xв |
|
ϕ(ui ) |
' |
100 2 |
ϕ(ui ) |
|
|
|
|
|
ui = |
|
σв |
|
|
ni = |
4,82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
4 |
|
|
-2,41 |
|
|
0,0219 |
0,91 |
|
|
|
2 |
6 |
|
|
-1,99 |
|
|
0,0551 |
2,29 |
|
|
|
3 |
8 |
|
|
-1,58 |
|
|
0,1145 |
4,75 |
|
|
|
4 |
10 |
|
|
-1,16 |
|
|
0,2036 |
8,45 |
|
|
|
5 |
12 |
|
|
-0,75 |
|
|
0,3011 |
12,49 |
|
||
6 |
14 |
|
|
-0,33 |
|
|
0,3778 |
15,67 |
|
||
7 |
16 |
|
|
0,08 |
|
|
|
0,3977 |
16,50 |
|
|
8 |
18 |
|
|
0,50 |
|
|
|
0,3521 |
14,61 |
|
|
9 |
20 |
|
|
0,91 |
|
|
|
0,2637 |
10,94 |
|
|
10 |
22 |
|
|
1,33 |
|
|
|
0,1647 |
6,83 |
|
|
11 |
24 |
|
|
1,74 |
|
|
|
0,0878 |
3,64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий Пирсона (1) ищем в табличном виде
41
|
I |
ni |
ni' |
ni −ni' |
(ni −ni' )2 |
(ni −ni' )2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
' |
|
|
|
|
|
4,37 |
i |
|
1 |
3 |
0,91 |
2,09 |
4,80 |
|
||
2 |
4 |
2,29 |
1,71 |
2,92 |
1,28 |
|
|
3 |
13 |
4,75 |
8,25 |
68,06 |
14,33 |
|
|
4 |
13 |
8,45 |
4,55 |
20,70 |
2,45 |
|
|
5 |
15 |
12,49 |
2,51 |
6,30 |
0,50 |
|
|
6 |
13 |
15,67 |
-2,67 |
7,13 |
0,45 |
|
|
7 |
11 |
16,50 |
-5,50 |
30,25 |
1,83 |
|
|
8 |
12 |
14,61 |
-2,61 |
6,81 |
0,47 |
|
|
9 |
10 |
10,94 |
-0,94 |
0,88 |
0,08 |
|
|
10 |
4 |
6,83 |
-2,83 |
8,01 |
1,17 |
|
|
11 |
2 |
3,64 |
-1,64 |
2,69 |
0,74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
χн2 = 28,10 |
|
Таким образом, χн2 = 28,10 . Из таблицы критических точек распределения χ2 (табл. 7) при уровне значимости α = 0,05
ичисел степеней свободы k=m -3 = 11-3 = 8 находим
χкр2 =(0, 05;8)=15,5.
Поскольку χн2 > χкр2 , то гипотезу о нормальном
распределении генеральной совокупности отвергаем.
6.2. Задано эмпирическое распределение выборки объема n=100:
xi , xi+1 |
2-7 |
7-12 |
12-17 |
17-22 |
22-27 |
27-32 |
ni |
4 |
16 |
50 |
15 |
10 |
5 |
Проверить при уровне значимости 0,025, справедлива ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности.
Решение. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины. При
42
вычислении выборочной средней и выборочного среднего квадратического отклонения методом произведений перейдем от данного интервального распределения по формуле
xi* = 12 (xi + xi+1 ) к распределению равностоящих вариант
xi* |
|
4,5 |
|
9,5 |
|
|
|
14,5 |
|
19,5 |
24,5 |
|
29,5 |
||
ni |
|
4 |
|
|
16 |
|
|
|
50 |
|
15 |
10 |
|
|
5 |
Находим выборочную среднюю |
x* и выборочное среднее |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
квадратическое отклонение σв .Составим таблицу |
|
|
|||||||||||||
xi* |
|
|
|
ni |
|
|
ui |
|
niui |
|
|
niu2i |
|||
4,5 |
|
|
|
4 |
|
|
-2 |
|
-8 |
|
|
16 |
|
||
9,5 |
|
|
|
16 |
|
|
-1 |
|
-16 |
|
|
16 |
|
||
14,5 |
|
|
|
50 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
19,5 |
|
|
|
15 |
|
|
1 |
|
|
15 |
|
|
15 |
|
|
24,5 |
|
|
|
10 |
|
|
2 |
|
|
20 |
|
|
40 |
|
|
29,5 |
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
15 |
|
|
45 |
|
|
∑ |
|
|
|
n=100 |
|
|
|
|
|
∑niui = 26 |
|
∑niu2i = 26 |
|||
Условные моменты первого и второго порядков |
|||||||||||||||
|
M1* = |
∑niui = |
26 |
= 0, 26; M2* = ∑niu2i |
= 132 =1,32. |
||||||||||
|
100 |
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
100 |
|
|||||
Так как шаг равен h= 9,5 - 4,5 = 5 и ложный нуль С =14,5,
то xв* = M1*h +C = 0, 26 5 +14,5 =15,8.
σв |
= |
М |
2* −(М1* )2 |
h2 |
= |
(1,32 −0, 262 ) 25 = 5,123. |
|
|
|
|
|
|
|
43
По |
формулам |
z = |
x + x |
* |
, z |
|
= |
x |
− x |
* |
найдем |
i в |
|
i+1 |
i+1 |
в |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
i |
σв |
|
|
|
σв |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интервалы ( zi , zi+1 ),полагая, что наименьшему значению
первого интервала соответствует -∞, а наибольшему значению последнего интервала +∞.
Вычислим теоретические вероятности pi и теоретические частоты n'i .Для этого составим таблицу.
Наблюдаемое значение критерия Пирсона находим в табличном виде
i |
ni |
n'i |
ni −n'i |
(ni −n'i )2 |
|
(ni −n'i )2 |
|
|
|
|
|
|
|
n'i |
|
1 |
4 |
4,27 |
-0,27 |
0,07 |
0,016 |
|
|
2 |
16 |
18,7 |
-2,7 |
7,29 |
0,39 |
|
|
3 |
50 |
36,13 |
13,87 |
188,22 |
5,209 |
|
|
4 |
15 |
25,59 |
-14,59 |
212,87 |
7,194 |
|
|
5 |
10 |
9,84 |
0,16 |
0,03 |
0,003 |
|
|
6 |
5 |
1,47 |
3,53 |
12,46 |
8,476 |
|
|
∑ |
100 |
100 |
|
|
|
χн2 = 21, 29 |
|
44
Таким образом, χн2 = 21, 29 . Из таблицы критических точек распределения χ2 (табл. 7) при уровне значимости α = 0,025 и числе степеней свободы k = m- 3 = 6-3 = 3 находим
χкр2 (0,025;3)=9, 4.
Поскольку χн2 > χкр2 , то нулевая гипотеза о нормальном распределении отвергается.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк, 1997.
2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. -
М.: Высш. шк, 2006.
3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. -
М.: Наука, 1999.
4.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты) / В.Ф. Чудесенко. - М.: Высш. шк, 2007.
5.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
6.Кибзун А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами / А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов. – М.: Физматлит, 2002.
7.Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика / А.М. Андронов, Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. – СПб.: Питер, 2004.
8.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д.Т. Письменный.
–М.: Айрис-пресс, 2004.
45
46
47
48
49