Vmfmm_VvStat_307_2011

где С — произвольное постоянное число.

Если вариационный ряд состоит из равностоящих вариант с шагом h, то условные варианты целые числа.

Условным моментом k-го порядка называется начальный момент порядка k, вычисленный по формуле

Обычный момент равен условному, умноженному на hk ,

т.е νk =νk 'hk .

Центральные моменты через условные определяются равенствами:

μ2 =(ν2' −(ν1' )2 ) h2 ,

2°. Вычисление центральных моментов по условным целесообразно выполнять методом произведений в табличном виде по следующей схеме:

1)первый столбец таблицы содержит заданные варианты;

2)второй—заданные частоты;

3)третий столбец содержит условные варианты, вычисленные по формуле (1) ,причем за С выбирается варианта, расположенная в середине вариационного ряда.

4)четвертый столбец содержит niui , пятый — niui2 ,

шестой — ni (ui +1)2 .

5) шестой столбец служит для контроля, т.к.

40

∑ni (ui +1)2 = ∑niui2 +2∑niui +n.

Если требуется найти моменты четвертого порядка, то в седьмом столбце помещают niui3 , в восьмом — niui4 и девятом

ni (ui +1)4 .

Контролем в данном случае будет выражение

∑ni (ui +1)4 = ∑niui4 +4∑niui3 +6∑niui2 +4∑niui +n.

Если первоначальные варианты не являются равностоящими, то для сведения их к равностоящим весь интервал, в котором они заключены, делят на несколько равных частотных интервалов. Середины частотных интервалов образуют равностоящие варианты. За частоту каждой равностоящей варианты принимают сумму частот, попавших в соответствующий частотный интервал.

7.1. Методом произведений найти асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки

Решение. Составим расчетную таблицу. В качестве ложного нуля С выберем варианту (10), которая имеет наибольшую частоту и в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем О и над нулем последовательно записываем - 1 , - 2 , а под нулем последовательно записываем 1, 2, 3. Последовательность расчета приведена в таблице

41

Последний столбец служит для контроля вычислений

∑ni (ui +1 )4 =∑niui4 +4∑niui3 +6∑niui2 +∑niui +n =

=420 +4 104 +6 108 +4 20 +100 =1644.

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

μ3 =(ν3' −3ν2'ν1' +2(ν1' )2 ) h3

=(1,04 −3 1,08 0, 2 +2 0, 23 ) 23 =3, 264;

μ4 =(ν4' −4ν3'ν1' +6ν2' (ν1' )2 −3(ν1' )4 ) h4 =

(4, 2 −4 1,04 0, 2 +6 1,08 0, 22 −3 0, 24 ) 24 =57,952.

42

Выборочная дисперсия по условным моментам равна

D =(ν2' −(ν1' )2 )h2 =(1,08 −0,04)4 = 4,16.

Таким образом, асимметрия и эксцесс будут

ε= μ4 = 57,952 −3 = 0,35.

σ4 4,164

8.Вопросы для самопроверки

1.Что такое генеральная совокупность? Что такое выборка из генеральной совокупности? Какие требования к ней предъявляются? Что такое объем выборки? размах выборки?

2.Что собой представляет статистический ряд распределения случайной величины?

3.Что такое эмпирическая функция распределения? Каково ее значение для статистики?

4.Что представляет собой гистограмма? полигон частот? Статистическими аналогами какой функции они являются?

5.Что такое выборочное среднее? Что является оценкой математического ожидания генеральной совокупности?

6.Что такое выборочная дисперсия? Оценкой какого параметра она является? Какие соотношения и в каких случаях можно использовать для оценки дисперсии?

7.Какими свойствами должны обладать оценки генеральной совокупности? Что такое несмещенность оценки? состоятельность? эффективность?

43

9. Контрольные задания

Вариант 1

1.Найти объем выборки, при котором с надежностью 0,9108 можно утверждать, что точность оценки математического ожидания диаметров изготавливаемых валиков по выборочной средней будет равна 0,4 мм. Известно, что диаметр валиков в генеральной совокупности есть нормально распределенная случайная величина с σ = 2, 8 мм.

2.При анализе овощей на содержание нитратов

содержания нитратов в овощах, если по результатам 10 анализов их среднее содержание составило 2,54%.

3.Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной СВ Х- признака генеральной совокупности ,

если σг = 2,25; n = 625 и ХВ = 28.

4.Для данного вариационного ряда построить гисторгамму относительных частот и график функции вероятности F (х) эмпирического распределения. Найти начальные и центральные выборочные моменты первых четырех порядков и дать им соответствующее статистическое толкование:

Вариант 2

1.Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,25, а σ = 1,5.

2.Определить вероятность того, что допущенная при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего процента выполнения месячного плана рабочих цеха не

44

превысит 2%, если были обследованы 25 рабочих и известно, что процент выполнения плана рабочими есть нормально распределенная величина с σ = 8%.

3.Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной СВ Х - признака генеральной совокупности,

если σг = 1,5; n = 484 и ХВ = 12,5.

4.Для данного вариационного ряда построить гисторгамму относительных частот и график функции вероятности F (х) эмпирического распределения. Найти начальные и центральные выборочные моменты первых четырех порядков и дать им соответствующее статистическое толкование:

Вариант 3

1.По данным контрольных испытаний 16 ламп определено выборочное среднее квадратичное отклонение, равное 20 ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить с надежностью 0,95 верхнюю границу довериетльного интервала для генеральной регрессии.

2.Из большой партии электромагнитных реле были отобраны и подвергнуты контрольной проверке 600 шт. Среди них 18 шт. оказались дефектными. Определить вероятность того, что во всей партии доля бракованных реле окажется не меньше 0,01 и не больше 0,05.

3.Произведено 7 измерений длины детали: 5,01; 5,02; 5,03; 5,05; 5,07; 5,08; 6,00. Оценить с надежностью не менее 0,95 истинное значение длины детали.

4.Дан вариационный ряд:

45

а) Построить гистограмм относительных частот; б) найти эмпирическюу функцию вероятности и построить

ее график; в) найти выборочную среднюю, выборочные дисперсию и среднее квадратическое отклонение, "исправленные" дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс эмпирического распределения.

Вариант 4

1.Найти объем выборки, на основании которой можно получить интервальную оценку неизвестной генеральной доли

снадежностью 0,9545 и точностью 0,01, если предвариетльная оценка доли равна 0,36.

2.По результатам 9 измерений средняя высота исследуемой детали оказалась равной 50 мм, а выборочное среднее квадратическое отклонение равно 0,8 мм. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральняа средняя будет внутри интервала (0,98х; 1,02Х).

3.Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной СВ Х- признака генеарльной совокупности,

если σг = 1,8; n = 441 и ХВ = 25.

4. Для данного вариационного ряда построить гисторгамму относительных частот и график функции вероятности F (х) эмпирического распределения. Найти начальные и центральные выборочные моменты первых четырех порядков и дать им соответствующее статистическое толкование:

46

Вариант 5

1.Для определения доли дефектных изделий из партии взята случайная выборка объемом в 400 шт. Среди отобранных изделий оказалось 25 дефектных. Определить с вероятностью 0,9281 максимальную долю дефектных изделий во всей партии.

2.Найти интервальную оценку для генерального среднего квадратичного отклонения с надежностью 0,95 по следующим данным выборки: 10, 12, 10, 15, 11, 13, 12, 11, 15, 14, 10, 11, 12.

3.В 350 испытаниях, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью ρ = ρ (А), это событие произошло 210 раз. Найти доверитeльный интервал для неизвестной ρ с надежностью 0,95.

4.Дан вариационный ряд:

Построить гистограмму относительных частот и найти функцию вероятности данного распределения. Вычислить также начальные и центральные выборочные моменты первых четырех порядков и дать им надлежащую интерпретацию.

47