- •1.14. Определение последовательности, способы задания, операции над последовательностями. Предел последовательности.
- •1.15. Частичные пределы, верхний и нижний пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •1.16. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства
- •1.17.Основные теоремы о пределах
Лекция №5
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1.14. Определение последовательности, способы задания, операции над последовательностями. Предел последовательности.
Определение 1. Последовательностью действительных чисел называется отображение , определенное на множестве всех натуральных чисел Кратко ее обозначают символом . Число называется общим членом последовательности. Иными словами, последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.
Пример 1. . Тогда имеем , и т.д.
Заметим, что обратная операция – нахождение выражения -го члена последовательности по нескольким первым членам этой последовательности – не имеет однозначного решения.
Последовательности могут быть заданы и соотношением, задающим выражение -го члена последовательности через ее предыдущие члены.
Пример 2. Равенства ; , , () определяют соответственно арифметическую и геометрическую прогрессии. Рекуррентно задана и последовательность Фибоначчи , в которой каждый член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих. Полное рекуррентное задание этой последовательности таково: , , , .
Определение 2. Последовательности и называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей и (для частного ).
Предел последовательности.
Рассмотрим последовательность с общим членом , причлены последовательности неограниченно приближаются к 1. На языке математического анализа выражение «неограниченно приближается» означает, что какое бы малое числомы ни взяли, начиная с некоторого номеравсе члены последовательности будут сколь угодно мало отличаться от.
Определение 1.Числоназываетсяпределом последовательности, если для любого положительного числасуществует такой номер, что при всехвыполняется неравенство. Обозначение. Кратко определение предела записывается так:.
Неравенство равносильно двойному неравенству, которое показывает, что элементыпринаходятся в окрестности точки. Поэтому геометрически определение предела формулируется так.
Определение 2.Числоназывается пределом последовательности, если для любой-окрестности точкинайдется такое натуральное число, что все значения, для которых, попадут в-окрестность точки.
Ясно, что чем меньше тем больше число, но в любом случае внутри-окрестности точкинаходится бесконечное число членов последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов последовательности.
Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.
Неравенство |xn – a|<ε равносильно неравенствам -ε < xn - а <ε или а - ε < xn < a+ ε, которые показывают, что элемент xn находится в ε -окрестности точки а.
Рис.1
Поэтому определение предела последовательности геометрически
можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {xn}, если для любой ε-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения xn , для которых n > N, попадут в ε -окрестность точки а (см. рис. 1).
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, называетсярасходящейся.
Например, последовательность не имеет предела.
Теорема 1.Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Для доказательства утверждения применим метод от противного.
Пусть и . Если А1≠А2, то фиксируем непересекающиеся окрестности U(A1), U(A2) точек А1, А2. В качестве таковых можно взять, например, δ-окрестности этих точек при δ<│А1–А2│. По определению предела найдем числа N1, N2 такие, что все члены последовательности с номерами n>N1 попадут в окрестность точки А1, а с номерами n>N2 в окрестность точки А2. Тогда при n>max{N1, N2} получим xn U(A1)U(A2). Но это невозможно, так как пересечение U(A1)U(A2)=.
Теорема 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Доказательство: Пусть. Полагая в определении предела ε=1, найдем номер N такой, что n>N справедливо неравенство │xn–A│<1. Значит, при n>N имеем
│xn│<│A│+1. Если же теперь взять М>max{│x1│,│x2│,…,│xn│,│A│+1},
то получим, что n>N все члены последовательности ограничены │xn│<М.
Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажем, что .
Решение. Зададим произвольное и рассмотрим модуль разности между -м членом последовательности и числом 1: . В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер такой, что выполняется неравенство
. (1)
Для отыскания номера решим неравенство (1) относительно . Получим
. (2)
Из неравенства (2) следует, что в качестве можно взять целую часть числа : . В самом деле, если , то , т.е. справедливо неравенство (2), а значит, выполняется неравенство (1).
Итак, для произвольного мы указали такой номер , чтовыполняется неравенство. Это и означает по определению предела последовательности, что .