isu038
.pdf
здесь и в последующем υ′ – скорость любого шара после удара, υ - скорость
до удара. |
|
|
|
Для n последовательных соударений может быть написано n |
|||
уравнений: |
|
|
|
υ′ |
= kυ |
ü |
|
1 |
1 |
ï |
|
¢ |
= kυ2 |
ï |
|
υ2 |
(5) |
||
L |
|
ý. |
|
|
ï |
|
|
¢ |
|
ï |
|
υn |
= kυn þ |
|
|
Пренебрегая при движении силами трения, имеем: |
|
|
|||||||||
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
υ1 = υ2 |
,υ2 = υ3 ,...,υn = υn+1. |
|
||||||
|
Заменяя значения скоростей υ скоростями υ′ из уравнений (5) получим: |
||||||||||
′ |
¢ |
¢ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
υ1 |
= kυ1, υ2 |
= kυ1 |
= k(kυ1 ) = k υ1, |
|
|
|
|
= k(k |
n−1 |
n |
|
¢ |
¢ |
2 |
3 |
¢ |
¢ |
||||||
υ3 |
= kυ2 = k(k υ1 )= k υ1, …, υn = kυn−1 |
υ1 )= k |
υ1. |
||||||||
|
Из последнего равенства получим выражение для коэффициента |
||||||||||
восстановления в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = n |
υn |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(6) |
||
|
|
|
|
|
υ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Отношение скоростей в формуле (6) может быть заменено отношением расстояний, проходимых шарами и отсчитываемым по имеющимся шкалам.
Пусть при движении центр шара опустился вертикально на высоту h , тогда скорость его центра
будет
υ = |
|
, |
(7) |
2gh |
где g – ускорение силы тяжести.
Обозначим через l длину нити подвеса шара, α- угол отклонения шара, S – расстояние, проходимое шаром (рис. 1). Тогда из рисунка следует
|
h = l(1- cosα ) = 2l sin2 α . |
|||||
|
|
2 α |
|
α 2 |
2 |
|
При l >> S |
h = l sin |
= 2l |
. Учитывая, что |
|||
2 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|||
α = Sl , получим:
h = |
S |
2 |
. |
(8) |
|
2l |
|||||
|
|
|
|||
81
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Уравнения (6), (7), (8) дают для коэффициента восстановления следующее значение:
æ S |
1 |
|
|
|||
|
ö |
|
|
|
||
n |
n |
|
|
|||
ç |
|
÷ |
|
, |
(9) |
|
S |
|
|||||
k = ç |
÷ |
|
||||
è |
1 ø |
|
|
|
||
где S1 - расстояние, проходимое шаром до первого соударения, Sn -
расстояние, проходимое шаром после соударения n - го удара. Формула (9) получена в предположении, что сил трения нет.
Применим законы сохранения (1) и (2) для абсолютно упругого
центрального удара двух шаров, |
массы которых m1и m2 , |
векторы скорости |
|||||||||||||
соответственно υ |
1 |
и υ ′ |
, υ |
2 |
и υ ′ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
′ |
|
′ |
(10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m1υ1 + m2υ2 = m1υ1 + m2υ2 , |
||||||||||||
|
|
|
|
m1υ12 |
|
|
m2υ22 |
|
r |
|
r |
|
|||
|
|
|
|
+ |
= |
m1υ1¢ |
+ |
m2υ2 |
. |
(11) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||
Эти уравнения определяют векторы скорости шаров υ1′ и υ2′ после
соударения. Для нахождения последних напишем уравнения (10) и (11) соответственно в виде:
|
′ |
|
′ |
|
(12) |
m1(υ1 −υ1 ) = −m2 (υ2 −υ2 ), |
′ |
||||
′ |
′ |
|
′ |
(13) |
|
m1(υ1 −υ1 )(υ1 |
+υ1 ) = −m2 (υ2 |
−υ2 )(υ2 |
+υ2 ). |
||
Разделив уравнение (12) на уравнение (13), получим: |
|
||||
|
υ |
−υ ′ |
= −(υ −υ ′ ). |
(14) |
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
Знак минус означает, что относительная скорость после удара изменяет свое направление. Если удар неупругий (0 < k < 1), то вместо уравнения (14)
необходимо воспользоваться уравнением (4), записав его для векторов скорости, аналогично уравнению (12):
′ |
′ |
(15) |
k(υ1 −υ2 ) = −(υ1 |
−υ2 ). |
|
Теперь можно найти искомые скорости шаров после не абсолютно |
||
упругого удара. Для этого разрешим уравнение |
(15) относительно |
υ ′ и |
|
|
2 |
подставим его значение в уравнение (10). Получим выражение для скорости υ1′. Таким же способом, подставим значение υ1′ из уравнения (15) в уравнение (10), найдем скорость второго шара после удара:
r |
(m − m |
k)υ + m |
2 |
(1+ k)υ |
2 |
|
|
|
|||||||
υ1¢ = |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
||||||
r |
|
(m |
2 |
− m k)υ |
2 |
+ m (1+ k)υ |
|
||||||||
υ2 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
. |
(16) |
|||
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, − υ′ |
|
|||||||
Учитывая знаки скоростей +υ , |
+ υ ′ |
, −υ |
2 |
, а также равенство |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|||
масс m1 = m2 , получим из (16):
82
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
-υ′ |
= 0,5[(1- k)υ |
- (1+ k)υ |
2 |
]ü |
(17) |
|
¢ |
1 |
1 |
|
ý. |
||
= 0,5[(1+ k)υ1 - (1- k)υ2 ] |
þ |
|
||||
υ2 |
|
|||||
Далее, выразив скорости шаров через расстояния, проходимые ими, как это было выполнено при выводе формулы (9), окончательно получим:
- 2S1′ = S1(1- k)- S2 |
(1+ k)ü |
(18) |
|
¢ |
|
ý. |
|
= S1(1+ k)- S2 (1- k) þ |
|
||
2S2 |
|
||
′ |
′ |
|
|
Здесь S1, S2 , S1, S2 , – отклонения первого и второго шаров до и после
соударения. Уравнения (18) используются для экспериментальной проверки закона сохранения импульса.
Приборы и принадлежности:
установка (рис. 2), набор шаров, пластины для столкновения шаров.
Описание экспериментальной установки
Конструктивно установка (рис. 2) представляет собой треногу на трех подъемных винтах, трубу 2, которая
|
несет подвески шаров 3. Бифилярный |
||||||
|
подвес 4, несущий шар, имеет |
||||||
|
возможность перемещаться, |
изменяя |
|||||
|
тем самым межцентровое расстояние. |
||||||
|
Перемещение |
|
направляющей |
с |
|||
|
подвесами |
осуществляется |
|
при |
|||
|
помощи ручки 5. Трос, закрепленный |
||||||
|
на концах направляющей, перекинут |
||||||
|
через ролики и, проходя внутри |
||||||
|
трубы, наматывается на валик. С |
||||||
|
валиком связана ручка, которая |
||||||
|
выведена на |
лицевую |
сторону |
||||
Рис. 2 |
треноги. |
|
При |
изменении |
|||
|
межцентрового |
расстояния |
|
левую |
|||
|
|
||||||
|
шкалу 6 необходимо сместить. |
||||||
|
Электромагнит |
7, |
удерживающий |
||||
|
шар, подвешен на штанге 8 и может |
||||||
|
перемещаться вдоль штанги 9. Для |
||||||
|
изготовления |
шаров из пластилина |
|||||
|
им к установке |
придается |
пресс |
||||
форма с ручным прессом. Для удержания шара в отклоненном положении
электромагнитом к неметаллическим шарам приклеивается металлическая накладка. Электромагнит питается от источника постоянного напряжения в 6 В.
83
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Порядок выполнения работы
1.Чтобы выполнить, задачу необходимо убедиться в правильности подвеса шаров и хорошей центровке их для получения центрального удара. Измерения требуют внимания и аккуратности!
2.Для измерения коэффициента восстановления задают одинаковые
отклонения шаров |
|
. Поскольку отклоняют оба шара, то их |
|
|
|
удерживают в отклоненном состоянии с помощью пластин. Одновременно отпускают шары и отсчитывают количество соударений n одного из шаров от третьего до второго деления шкалы. Опыт повторяют 7 раз. Величину коэффициента восстановления шаров определяют по формуле (9).
Статистическую обработку результатов измерений выполняют с применением коэффициента Стьюдента. Результаты заносятся в таблицу 1.
3. Для проверки закона сохранения импульса задают левому шару отклонение 
=2о; 2,5о; 3,0о; 3,5о; 4,0о, правому 
=3о; 3,5о; 4,0о; 4,5о; 5,0о.
Шары освобождают и после первого удара отсчитывают отклонение 
левого шара и |
правого. Опыт повторяют 5 раз. Находят среднее |
арифметическое значение величин отклонений 
для каждого опыта и проверяют справедливость уравнений (18). Результаты заносятся в таблицу 2.
Таблица 1
Таблица 2
Контрольные вопросы и задания
1.Что называют столкновением материальных тел?
2.Какие физические явления происходят при столкновении двух
шаров?
3.Как записываются законы сохранения импульса и энергии при столкновении?
4.Какие столкновения называются абсолютно упругими, неупругими?
5.При каких условиях соударение называется центральным ударом?
84
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
6.Что называется коэффициентом восстановления тел при ударе? Его физический смысл?
7.Почему в установке применяют бифилярный подвес шаров?
8.Получите формулу для экспериментального определения коэффициента восстановления.
9.Выведите уравнения для проверки закона сохранения импульса.
Библиографический список
1.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М., 1986. Гл. 10.
2.Иверонова В.И. Физический практикум. М., 1967. Задача 18.
3.Техническое описание прибора.
Техника безопасности
При запуске, обслуживании и уходе за прибором необходимо соблюдать правила безопасного труда, относящиеся к эксплуатации устройств, использующих напряжение до 250 В.
Эксплуатация прибора допустима только в случае заземления!
85
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Лабораторная работа 1-8
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
Цель работы: изучение теории неупругого столкновения Задача работы: определение скорости полета снаряда при помощи
крутильного баллистического маятника.
Теория
Существует два предельных случая соударения: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. При абсолютно упругом ударе между телами действуют только абсолютно упругие силы. Их действие не приводит к превращению механической энергии в тепловую. То есть, при абсолютно упругом ударе тел, составляющих замкнутую систему , выполняются оба закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. После абсолютно упругого соударения скорости тел различны, и тела могут двигаться в разных направлениях.
При абсолютно неупругом ударе потенциальная энергия тел полностью или частично превращается в их внутреннюю энергию. При таком ударе совсем не происходит упругой деформации тел (как впрочем при любом неупругом ударе) и закон сохранения механической энергии не выполняется, но выполняется для соударяющихся тел закон сохранения импульса. При
этом после взаимодействия тела движутся в
|
|
|
|
|
одном направлении и с одинаковой по величине |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
скоростью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данной работе неупругий удар изучается с |
|||||
|
|
|
|
|
помощью |
баллистического |
маятника. |
|||
|
|
|
|
|
Баллистический |
маятник |
схематически |
|||
|
|
|
|
v |
представляет собой установку, изображенную на |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
рис.1. В маятник в горизонтальном направлении |
||||||
|
|
|
|
m |
стреляют |
снарядом, |
имеющим |
массу |
и |
|
Рис.1 |
скорость |
. Снаряд прилипает |
к маятнику |
и |
||||||
|
||||||||||
|
сообщает общей массе системы некоторую |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
скорость |
. Если время соударения снаряда с |
||||
|
|
|
|
|
маятником |
мало по сравнению с периодом |
||||
колебания |
, маятник |
не успевает |
заметно |
отклониться |
от исходного |
|||||
положения за время соударения. Это значит, что во время удара не возникают силы, стремящиеся вернуть маятник в исходное положение. В этом случае систему «снаряд - маятник» можно рассматривать как
Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы.
86
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
замкнутую и применить к ней законы сохранения. После попадания снаряда в маятник, он начинает совершать колебания вокруг вертикальной оси. Считая удар полностью неупругим и пренебрегая силами трения, на основании закона сохранения момента импульса (момент импульса системы до удара равен моменту импульса после удара) можно написать:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(1) |
где |
– |
|
масса |
снаряда, |
- |
его скорость, R |
- |
расстояние |
от оси |
|||||||||
вращения |
до |
центра |
масс грузов, |
|
масса одного |
груза, |
|
|
- |
момент |
||||||||
инерции маятника без грузов, |
– |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
расстояние от оси вращения до точки |
||||||||||||||||||
удара пули, |
|
- его угловая скорость после соударения со снарядом. Из |
||||||||||||||||
выражения (1) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Величины |
|
|
|
могут быть непосредственно измерены. Поэтому |
||||||||||||||
для определения |
|
снаряда |
|
нужно найти |
начальную |
угловую |
||||||||||||
скорости |
|
|||||||||||||||||
скорость маятника |
и его момент инерции |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение угловой скорости маятника
Кинетическая энергия вращательного движения маятника |
, |
где 
- момент инерции маятника с грузами, переходит в потенциальную энергию, равную работе по закручиванию нити. Найдем её величину. Используя закона Гука, упругий момент нити M пропорционален углу поворота α маятника:
|
. |
(3) |
где - постоянная момента упругих сил.
Элементарная работа против сил упругости по закручиванию нити на угол 
равна 
. После интегрирования обеих частей равенства имеем:
. (4)
Закон сохранения механической энергии в этом случае запишется в виде:
. (5)
|
|
|
|
где |
|
. Из выражения (5) получим: |
|
|
|
|
|
87
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
, |
(6) |
|
|
|
где 
- наибольший угол поворота маятника.
Используя основной закон динамики вращательного движения твердого тела:
. (7)
с учетом выражения (3) можно записать уравнение колебаний баллистического маятника в виде:
|
|
|
|
|
. |
|
|
(8) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частным |
решением этого уравнения является: |
|
, |
где |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величина |
|
- есть круговая частота , которая по определению равна |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, маятник будет совершать гармонические колебания с периодом:
|
|
|
|
|
|
. |
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя в формуле (10) величину |
|
|
ее значен6ием из выражения (6), |
||||
|
|
|
|
|
|
||
получим |
|
, откуда искомая начальная угловая скорость маятника |
|||||
равна: |
|
|
|
|
|
|
(11) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение момента инерции маятника
Для определения момента инерции маятника |
воспользуемся |
||
формулой (10), переписанной в виде: |
|
||
|
|
. |
(12) |
88
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
Применим формулу (11) |
для двух положений грузов на расстоянии |
|
и |
|||||||||||||
|
от оси вращения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
где |
|
и |
|
|
- |
|
периоды колебаний маятника, соответствующие |
|||||||||
положениям грузов |
|
|
и |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
Из системы уравнений (13) получим:
(14)
Подставляя выражение (11) и (14) в (2), получим окончательную формулу для определения скорости полета снаряда:
. (15)
Описание экспериментальной установки
Общий вид баллистического крутильного маятника FPM-09 показан на рис. 2. Основание I оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют
выставлять горизонтальное положение прибора. На основании закреплена колонна 3, к которой крепятся верхний 4, средний 5 и нижний 6 кронштейны.
К среднему кронштейну прикреплен пружинный пистолет 7, обеспечивающий полет пули, а также
прозрачный экран с нанесенной на него шкалой 8 для отсчета угла
поворота маятника при попадании в него груза. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки, на которой
Рис.2 подвешен маятник. Маятник состоит из двух стержней 9, перемещаемых грузов 10, двух кювет, наполненных пластилином 11, указателем 12,
перекрывающим световой поток идущий к фотоэлектрическому датчику 13. Фотоэлектрический датчик соединен с секундомером, шкала которого выведена на переднюю панель прибора.
89
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
На лицевой панели 14 размещены следующие клавишные переключатели: «СЕТЬ» - включатель сети, «СБРОС» - сброс измерителя, «СТОП» - окончание измерения. На задней панели установки находятся: выходное гнездо, служащее для подключения фотоэлектрического датчика и заземляющий зажим.
Порядок выполнения работы
Для приготовления прибора к работе необходимо:
1.заземлить прибор;
2.произвести выравнивание прибора;
3.включить сетевой шнур в сеть, нажать переключатель "сеть", проверяя, все ли разряды измерителя высвечивают цифру 0, а также светится ли
лампочка фотоэлектрического датчика. Прибор готов к работе сразу после включения сетевого напряжения и не нуждается в нагреве.
Определение скорости полёта снаряда проводится по следующей схеме:
1.максимально удалить грузы друг от друга (R1 максимально) масса одного груза M0 = 192 г.;
2.обнулить маятник, т.е. установить маятник в таком положении, чтобы
черта на шкале показывала угол отклонения |
|
; |
3.вставить снаряд в пружинный «пистолет», выстрелить и измерить максимальный угол отклонения 
;
4.включить и обнулить счетчик времени;
5.отклонить маятник на угол 
, включить измеритель времени и пустить маятник;
6.измерить время десяти полных колебаний и вычислить период
колебаний |
|
. Нажатие клавиши "СТОП" произвести после девятого |
||||||||
колебания; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
минимально приблизить |
грузы друг к другу ( |
|
минимально) и |
||||||
повторить действия указанные в пунктах 2, 4, 5 (без выстрела снаряда); |
||||||||||
8. |
измерить время десяти полных колебаний и вычислить период |
|
; |
|||||||
9. |
скорость полета снаряда |
вычислить по формуле (15). |
|
|
||||||
10. |
Для положения грузов |
|
|
провести не менее 5 |
выстрелов пули и |
|||||
соответственно не менее 5 отчетов отклонения маятника. Выполнить
статистическую обработку результатов измерения с использованием метода Стьюдента.
Контрольные вопросы
1.В каком случае к системе снаряд-маятник можно применить законы сохранения?
2.Дайте определение момента силы, момента инерции твердого тела?
90
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com