Лекция 2.
Координаты точки на проективной прямой и проективной плоскости. Условие коллинеарности трех точек прямой. Уравнение прямой. Преобразование проективных координат.
Определение 2.1. Точками общего положения называется система к-точек, причем К≥3, если никакие три из них не лежат на одной прямой.
Определение 2.2. Проективным репером или проективной системой координат на проективной плоскости называется упорядоченная система точек Е1 , Е2 , Е3 , Е.
Точки Е1 , Е2 , Е3 , называют координатными точками, а Е – единичной точкой репера.
Определение 2.3. Реперами согласованности называются векторы, порожденные проективным репером.
Если выбраны так, что , то говорят, что система этих векторов согласована относительно репера R.
Лемма 2.4. Если каждая из систем векторов () и () согласованы относительно данного репера , то существует такое число , не равное нулю, что , , , .
В проективном пространстве Рn проективный репер задаётся n+2 точками общего положения [Р1: R=(Е1, Е2, Е)].
Координаты на проективной плоскости
Пусть некоторый вектор порождает в проективной плоскости точку Х. В системе координат вектор можно выразить через базисные векторы .
Но так как векторы порождают проективную плоскость и проективную систему координат, то числа называются проективными координатами точки Х в проективном репере.
Х не является нулевым вектором, поэтому все его координаты не равны нулю, а, значит, координаты точки Х одновременно не могут равняться нулю.
Определение 2.5. Проективными координатами точки на проективной прямой (проективной плоскости) относительно проективного репера называют координаты вектора, порождающего данную точку, относительно базиса векторного пространства, согласованного с репером .
Свойства координат:
-
В проективном пространстве точка имеет к+1 координату;
-
Нет точки с нулевыми координатами;
-
Координаты – однородный набор чисел, поэтому они определяются с точностью до числового множителя;
-
Пропорциональные наборы определяют одну и ту же проективную точку.
Лемма 2.6. Если однородный набор является координатами некоторой точки Х в репере R, а система векторов () является согласованной относительно этого репера, то вектор также порождает точку Х, следовательно, Х=λУ (они порождают одну и ту же точку).
Задача: построить точку относительно проективного репера .
Теорема 2.7. (о принадлежности трёх точек одной прямой)
Три проективные точки Х, У, Z, заданные своими координатами
, принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда
Доказательство
-
Пусть задан репер , его векторы согласованы относительно R. Отсюда следует, что вектор порождает точку Х, - У, – Z;
-
Для того, чтобы точки Х, У, Z лежали на одной прямой необходимо, чтобы векторы , , располагались в одной плоскости аффинного пространства, т.е. они компланарны, а, значит, определитель
Проекция проективной точки на координатные прямые
Пусть задан репер R = (A1, A2, A3, E) и Х – произвольная точка проективного пространства, Х3 = (A3X) ∩ (A1A2).
R1 = (A2, A3, Е1),
R2 = (A1, A3, Е2),
R3=(A1,A2,Е3) – проективные реперы.
Теорема 2.8. (о координатах проекции точки на координатную прямую)
Если произвольная точка Х (х1 : х2 : х3), не совпадающая с A3, в репере R спроецирована на прямую (A1A2), то в репере R3 её проекция Х3 будет иметь координаты (х1 : х2 ).
Доказательство
1. Т.к. точка Х3 принадлежит прямой (А1А2), то в репере она имеет координаты (y1 : y2 : 0). Точки A3, X3, X коллинеарны. Следовательно,
2. Т.к. точка Е3 принадлежит прямой (А1А2), то в репере она имеет координаты (z1 : z2 : 0). Точки А3, Е, Е3 коллинеарны. Следовательно,
3. Пусть некоторая согласованная система векторов порождает проективный репер R, вектор - точку Х3, вектор - точку Е3. Тогда имеем: (*), (**)
Из равенства (**) следует, что система векторов согласована относительно репера R3. Тогда из равенства (*) получаем, что вектор имеет координаты (х1, х2). Значит, точка Х3 имеет координаты (х1 : х2 ) в репере R3.
Однородные и неоднородные координат на расширенной прямой и расширенной плоскости
Рассмотрим на расширенной прямой проективный репер
Система векторов согласована относительно данного репера, т.е.
М – произвольная точка, имеющая координаты относительно проективного репера .
На прямой рассмотрим аффинный репер , порожденный проективным репером . Пусть - координата точки М в аффинном репере , т.е. , .
Следовательно, точка М имеет координаты относительно репера . Учитывая, введенные выше обозначения для проективных координат точки М, получили , . Отсюда и
Таким образом, аффинные координаты собственной точки М равны отношению проективных координат этой точки в репере .
Проективные координаты называют однородными координатами точки М, аффинные - неоднородными координатами точки М.
Аналогичная связь между аффинными координатами и проективными координатами собственной точки прослеживается и на расширенной плоскости в репере : .
Уравнение прямой
Рассмотрим проективный репер R = (A1, A2, A3, E) на проективной плоскости. Прямая задана точками и . Точка - произвольная точка прямой . По теореме 2.7. имеем:
- уравнение прямой проходящей через две точки.
Разложив определитель по элементам первого столбца, имеем: , где - соответствующие разложению определители второго порядка. - координаты прямой.
Точки прямой порождены линейно зависимыми векторами соответственно, а значит справедливы равенства:
- векторное уравнение прямой;
- параметрические уравнения прямой.
Преобразование проективных координат.
Рассмотрим на проективной плоскости два проективных репера и . Точки порождаются системой согласованных векторов , т.е. . Известно положение нового репера относительно старого, то есть известны координаты новых координатных точек и относительно репера , порожденных соответственно системой векторов :
, , , |
|
Задача. Найти связь между координатами точки М относительно реперов и
1. Выразим векторы, репера через векторы репера :
(*)
2. Рассмотрим два случая.
1 случай. Система векторов согласована относительно репера , т.е. . (**)
-
Из (*) и (**) следует, что в этом случае выполняется совокупность равенств: , , .
-
Так как произвольная точка проективной плоскости порождается различными векторами и в реперах и , то по лемме 2.6. , где . Разложим векторы и по векторам соответствующих базисов: . Подставим вместо их разложения из формул (*):
()+()+()=
-
Так как векторы линейно независимы, то, приравнивая коэффициенты при соответствующих векторах в левой и правой частях получившегося выражения, имеем искомые формулы преобразования координат:
-
Матрица перехода от нового проективного репера к старому: . Определитель матрицы отличен от нуля, так как точки - неколлинеарные, векторы их порождающие - линейно независимы.
2 случай. Система векторов не согласована относительно репера , т.е. .
-
Согласуем систему векторов относительно репера : возьмем вместо векторов векторы , , согласованные относительно репера и порождающие точки соответственно, т.е. (***).
-
Запишем равенство (***)в координатной форме:
,
, (****)
-
Рассмотрим (****) как систему с неизвестными . Так как система - неоднородна и определитель отличен от нуля, то определяются однозначно, причем не равны нулю одновременно.
-
Матрица - матрица перехода от репера к реперу
Замечание. Аналогичные рассуждения приводят к формулам преобразования координат на проективной прямой: .