Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2.7ИДЗ матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

					1	ln	y2 1		x C2.
					1
2
2
Найдем теперь C2 , учитывая из									начальных условий, что x 0 и
y 2		:
y 2	2	:
			1	ln7 0 C				2	C	2		ln7	.
2				ln7 0 C					C				.
2											2

В итоге частный интеграл уравнения будет иметь вид:

1ln y2 1 x ln7.

Ответ: 1ln y2 1 x ln7.

4.Решите системы дифференциальных уравнений:

4.1.y1 2y1 y2,y2 3y1 2y2.

Выпишем первое уравнение системы y1 2y1 y2 и продифференцируем обе части уравнения по x:

y1 2y1 y2 .

Из второго уравнения системы y2 подставим в полученное равенство y1 2y1 3y1 2y2 .

Из первого уравнения системы выражаем y2 y1 2y1 и подставляем в последнее равенство. Тогда уравнение принимает вид

y1 2y1 3y1 2y1 4y1.

Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую и приведем подобные:

y1 y1 0.

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид

k2 1 0.

Корни этого уравнения действительные и различные: k1 1, k2 1. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

y1 C1ex C2e x.

Наконец найдём y2 :

y	2	2y y					y		2		2(C ex					C	e x ) C ex C		e x 3C ex C		e x.
	2		1	1					2						1	2	1	2	1	2
						x					x
			(x) C1e C2e ,
y1			(x) C1e C2e ,
Ответ:			(x) 3C ex C									e x.
y		2	(x) 3C ex C									e x.
		2			1					2
				4.2.		y		y						5cosx				y (0) 0,
				4.2.		1							2		y2			1
						y2		2y1							y2			y2(0) 3

Выпишем первое уравнение системы y1 y2 5cosx и продифференцируем обе части уравнения по x:

y1 y2 5sinx.

Из второго уравнения системы y2 подставим в полученное равенство y1 2y1 y2 5sinx.

Из первого уравнения системы выражаем y2 y1 5cosx и подставляем в последнее равенство. Тогда уравнение принимает вид

y	2y	y 5cosx 5sinx
1	1	1
y y 2y			5cosx 5sinx.
1	1	1

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

y1 y1 2y1 0.

Его характеристическое уравнение имеет вид k2 k 2 0.

Корни этого уравнения действительные и различные: k1 1, k2 2. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

y10 C1e2x C2e x.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения

y1 y1 2y1 5cosx 5sinx.

Правая часть уравнения имеет вид

f(x) e x Pn1 (x)cos x Qn2 (x)sin x .

Внашем случае n1 n2 0, 0, 1. Так как значение i не сов-

падает с корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

y1 Acosx Bsinx.

Найдем y1 Asinx Bcosx и y1 Acosx Bsinx. Подставим выражения для y1, y1 и y1 в исходное уравнение. В результате получаем:

Acosx Bsinx Asinx Bcosx 2Acosx 2Bsinx 5cosx 5sinx.

Приравнивая коэффициенты при sinx и cosx в левой и правой частях уравнения, получаем систему уравнений:

3B A 5,

3A B 5.

Из первого уравнения системы выразим неизвестное A 5 3B и подставим во второе уравнение системы. Получаем

15 9B B 5.

Откуда B 2. Тогда A 1.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид y1 cosx 2sinx

Общее решение неоднородного уравнения определяется формулой y(x) y0(x) y(x),

где y0(x) общее решение соответствующего однородного уравнения, y(x) частное решение неоднородного уравнения.

Следовательно,

y1 C1e2x C2e x cosx 2sinx.

Для того чтобы найти неизвестную функцию y2 , найдем y1 и подста-

вим в равенство y2 y1 5cosx. Получим

y1 2C1e2x C2e x sinx 2cosx,

y2 2Ce1 2x C2e x sinx 2cosx 5cosx, y2 2Ce1 2x C2e x sinx 3cosx.

Запишем общее решение системы дифференциальных уравнений

		C1e	2x	C2e	x		cosx 2sinx,
y1
		2C e2x C				e x sinx 3cosx.
y	2
		1		2

Используя начальные условия y1(0) 0,y2(0) 3, найдем значения констант C1 и C2 :

			C		1		,
			C				,
0 C1 C2 1,				1	3
0 C1 C2 1,					3
		3				2
3 2C1	C2	3				2
			C2		3		.
					3

Теперь частное решение системы имеет вид

									y					1	e2x				2	e x			cosx 2sin x,
									y						e2x					e x			cosx 2sin x,
											1		3					3
													3					3
													2					2
													2				2x	2				x
									y2							e					e		sinx 3cosx.
									y2							e					e		sinx 3cosx.
													3					3
y			1	e2x				2		e x cosx 2sin x,
y				e2x						e x cosx 2sin x,
	1	3					3
		3					3
Ответ:		2					2
		2				2x	2					x
y2					e						e		sinx 3cosx.
		3					3

Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 5

Вариант №0

1. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для общего члена ряда

un tg 4n

и проверьте, выполняется ли необходимый признак сходимости.

2.	Найдите сумму ряда
									54
									54		.
											.
								n 1 n2 5n 4
3.	Исследуйте ряды на сходимость, используя признаки сравнения
					n2									3n
3.1.					n2			;		3.2.				3n	.
3.1.			3		2			;		3.2.			4	n	.
	n 1 n				2n	3					n 1		4	1
4.	Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Даламбера
					n!									n
4.1.					n!		;			4.2.				3			.
4.1.		n			2		;			4.2.						n	.
	n 1 2			(n 3)							n 1	(3n 2) 5

5. Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Коши

	3n 2		n 1		4n 3
			3
5.1.			;	5.2.			.
		4n 3			(n 3)	n
n 1				n 1

6. Исследуйте ряды на сходимость, используя интегральный признак

6.1.

;

6.2.

n 1

(n 5)ln

(n 5)

7. Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость

n 1

n ;

( 1)

7.1.

7.2.

;

n 1

6n 5

n 1

n 4

sin

7.3. ( 1)n

n 1

8. Исследуйте ряды на сходимость, используя различные признаки сходимости

( 1)

n 1

8.1.

;

8.2. ( 2n2

2n2 1);

(n 3)!

n 1

8.3. tg

8.4. ( 1)

;

n 1

8.5.

n 1

2 n!

Решение

1. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-

го члена ряда un tg и проверьте, выполняется ли необходимый при- 4n

знак сходимости.

Найдем сначала пять первых членов

n 1: u1 tg ; 4

n 2: u2 tg ; 8

n 3: u3 tg ; 12

n 4: u4 tg ; 16

n 5: u5 tg . 20

Проверим теперь выполнение необходимого признака, для этого

найдем предел общего члена ряда limun :

limtg tg0 0.

n 4n

Следовательно, необходимый признак выполняется.

2. Найдите сумму ряда

	54
	54	.
n 1 n2 5n 4		.
n 1 n2 5n 4

Представим общий член ряда un n2 5n 4 в виде суммы двух дробей:

				54											54							18						18							1					1
un																			=											=18											.
un		n	2																=		n 1					n 4				=18									n 4		.
		n		5n 4							(n 1)(n 4)										n 1					n 4							n 1						n 4
Найдем теперь n-частичную сумму ряда Sn :
Sn u1 u2 u3 un
	1 1								1	1						1		1					1						1						1 1
18				18										18						18											18
18				18					3	6				18		4		7		18											18
	2 5								3	6						4		7					5						8						6 9
1						1								1			1								1					1								1				1
18								18														18												18
18								18														18								3				18							n	4
n 2					n 1							n 1 n					2							n n						3							n 1				n	4
	1 1 1								1					1			1								13					1					1					1
18																						18																				.
18																						18														n 3				n 4		.
	2 3					4 n 2							n 3 n				4								12 n 2											n 3				n 4
По определению сумма ряда S																		равна S limSn. Подставим в эту фор-
																												n
мулу полученное выражение для Sn , получим
			13						1					1			1						18				13			39		.
S lim 18
S lim 18				12
n				12			n 2						n 3 n				4										12 2

Ответ: S 39. 2

3.3. Исследуйте ряды на сходимость, используя признаки сравнения

n2 1

3.1.

n 1

Для исследования ряда на сходимость используем предельный при-

знак сравнения. Общий член исследуемого ряда u

n2 1

эквива-

n3 n 1

лентен

эталонному ряду

n 1

общим

членом

, так как

. Ряд

расходится.

Вычислим предел отно-

n 1 n

n 1

шения

n2 1

(n2

1)n

n3 n

lim

n3 n 1

lim

n n3 n 1

Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то ис-

следуемый ряд

n2 1

ведет себя так же как ряд, с которым срав-

n 1 n3 n 1

нивали

, т.е. расходится.

n 1

Ответ: ряд

расходится.

n 1 n

n 1

3.2.

n 1

Для исследования ряда на сходимость используем предельный при-

знак сравнения. Общий член исследуемого ряда u

эквивален-

2n 1

3 n

тен

эталонному

ряду q

общим

членом

, так как

n 1

3 n

Ряд

расходится

1).

Вычислим

n 1

предел отношения

3n 2n

2n ln2

lim

1 0.

n (2n 1) 3n

n 2n 1

n 2n ln2

Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то ис-

следуемый ряд

ведет себя так же как ряд, с которым сравнива-

n 1

2n 1

3 n

ли

, т.е. расходится.

n 1

Ответ: ряд

расходится.

n 1

4. Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Даламбера

4.1.

n 1

нашем

случае общий

член

ряда

Тогда

2n(n2 3)

n 1

(n 1)!

. Найдем предел отношения

un 1

2n 1((n 1)2

(n 1)!

(n 1)! 2n

(n2 3)

n!(n 1) 2n (n2

2n 1

((n 1)2

lim

=lim

lim

n n! 2n 1 ((n 1)2 3)

n n! 2n 2 (n2 2n 4)

2n(n2 3)

(n 1) (n2

n3 n2

3n 3

3n2 2n 3

lim

2n (n2 2n 4)

n2 2n 4

2n 2

lim

6n 2

Так как значение предела больше единицы, то ряд расходится.

Ответ: ряд

расходится.

n 1

4.2.

n 1 (3n 2) 5

нашем

случае

общий

член

ряда

Тогда

5n(3n 2)

3n 1

. Найдем предел отношения

n 1

5n 1(3(n 1) 2)

3n 1

3n 1 5n (3n 2)

3n 3 5n (3n 2)

lim

5n 1(3(n 1) 2)

lim

n 3n 5n 1 (3n 1)

n 3n 5n 5 (3n 1)

5n(3n 2)

3(3n 2)

3n 2

=lim

lim

n 5(3n 1)

5n 3n 1

5n 3

Так как значение предела меньше единицы, то ряд

схо-

дится.

n 1

(3n 2) 5

Ответ: ряд

сходится.

n 1 (3n 2) 5

5. Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Коши

n 1

3n 2 3

5.1. n 1 4n 3

n 1

В нашем случае общий член ряда

n 1

n 1 1

3n 2

limn

=lim

4n 3

3n 2

.Найдем limn un :

4n 3

n 1

3n 2

=lim

4n 3

3 3 = 3 0,75.

Так

как

значение

предела limn un

меньше

единицы,

то

ряд

3n 2

n 1

сходится.

4n 3

n 1

3n 2

n 1

Ответ: ряд

сходится.

n 1

4n 3

n 3

5.2.

n 1 (n 3)

В нашем случае общий член ряда u

4n 3

.Найдем limn u

(n 3)n

n 3

limn

4n 3

(4n 3)n

4 n

4 4 n

=lim

=0.

(n 3)

n n 3

Так

как

значение

предела limn

меньше единицы, то

ряд

3n 2

n 1

сходится.

4n 3

n 1

3n 2

n 1

Ответ: ряд

сходится.

n 1

4n 3

6. Исследуйте ряды на сходимость, используя интегральный признак

6.1.

n 1

4n 3

Общий член ряда u

Составим функцию

f (x)

(n 3)n

найдем несобственный интеграл

10 x

2 10

) 2

ln10

0 2 10 1 0,2 . ln10 ln10

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.20193.92 Mб52. Сущность процесса реструктуризации.doc
#
16.12.201832.08 Кб42.2.1.2. Виброакустические колебания.docx
#
16.12.201846.77 Кб62.2.1.4. Электромагнитные поля и излучения.docx
#
16.12.201874.24 Кб42.2.1.5. Ионизирующие излучения.doc
#
22.07.201935 Кб242.4.2.Герметичные системы, находящиеся под давл....docx
#
25.03.20161.12 Mб252.7ИДЗ матан.pdf
#
25.03.201613.27 Mб82.docx
#
23.08.2019280.58 Кб1012.Ответы на билеты по газу.doc
#
26.11.201950.29 Кб320,21,22.docx
#
25.03.201619.92 Кб1320.docx
#
29.05.2015969.44 Кб32007-issom-blr.pdf