g5
.pdf
Пример. Нерезервированная система состоит из двух элементов |
|
и |
||||||
может работать в одном из двух режимов |
Переход системы из режима, |
|||||||
в режим |
происходит под действием пуассоновского, . |
потока событий с |
||||||
режиме |
|
|
1; |
обратный переход – с интенсивностью |
3 |
. В |
||
интенсивностью |
|
|
||||||
|
интенсивность пуассоновского потока отказов элемента |
равна |
||||||
1, второго – |
|
2; в режиме |
эти интенсивности равны |
|
|
|||
2, 4. Требуется определить надежность системы. Решение. Система может находиться в следующих состояниях: и – режим , оба элемента исправны;
н– режим , хотя бы один элемент неисправен;
и– режим , оба элемента исправны;
н– режим , хотя бы один элемент неисправен.
Уравнения Колмогорова для интересующих нас вероятностей таких состояний имеют вид:
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
и |
и, |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
и |
и. |
Пусть система начинает работу в режиме |
с начальными условиями |
|||||||||
|
0, |
и |
1, |
и |
0. |
|
|
|||
Решение будем искать в виде |
|
|
|
Подстановка такой пары функций |
||||||
в уравнения Колмогорова дает, |
систему. |
однородных |
алгебраических |
|||||||
уравнений: |
|
|
|
4 |
|
3 |
|
0, |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
λ |
9 D |
|
0. |
|
|
||
Из условия обращения в нуль определителя алгебраической системы |
||||||||||
находим |
|
|
|
13 |
33 |
|
0 |
|
|
|
|
3.459, |
|
|
9.541, |
|
|
||||
так что при |
решение системы алгебраических уравнений равно |
|||||||||
а при |
|
4 |
|
3 |
|
|
0.180 |
, |
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
1.847 |
. |
|
||
Отсюда следует, что решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:
и |
и |
. |
. |
, |
. |
0.180 |
. |
1.847 |
. |
||
Из начальных условий |
0, |
и 1, и |
0 находим |
|
|
так что окончательно |
и |
0.912, |
0.088, |
. |
, |
|
0.912 . |
0.088 |
|||
|
и 0.164 . |
0.164 . |
. |
|
|
Тогда надежность системы для начального режима |
равна: |
||||
|
|
и |
и . |
|
|
Аналогично, для начального режима :
и |
0.493 |
. |
0.493 |
и |
0.089 |
. |
0.911 |
|
|
и |
и . |
.
.
,
,
Если начальный режим в точности не известен, а известны только их вероятности, то надежность системы находится по формуле полной вероятности
.