0. Введение

Эволюционный процесс появления комплексных чисел связан с математическими действиями. Каждому математическому действию соответствует обратное действие: сложению – вычитание, умножению – деление, возведению в целую положительную степень – извлечение корня.

Сумма любых двух натуральных чисел является натуральным числом. Следовательно, прямое действие – сложение, не выводит нас за пределы множества натуральных чисел . Однако обратное действие – вычитание, выводит нас за пределы этого множества. Действительно, результаты следующих разностей:,не являются натуральными числами, то есть действие вычитание не выполнимо в множестве натуральных чисел.

Действие вычитание становится выполнимым, если к множеству натуральных чисел присоединить нулевое число и все целые отрицательные числа. Полученное множество называется множеством целых чисел . На множестве целых чисел выполнимы оба действия: прямое – сложение и обратное – вычитание. Таким образом, желание выполнить действие вычитание, привело нас к расширению множества натуральных чисел до множества целых чисел.

На множестве целых чисел выполнимо также прямое действие – умножение. Обратное действие – деление выводит нас за пределы множества целых чисел. Чтобы и действие деление было возможным нужно к множеству целых чисел присоединить все несократимые дроби. Полученное множество называется множеством рациональных чисел . Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех арифметических действий, то есть в результате сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на 0) рациональных чисел, опять получится рациональное число. Если ограничиться этими действиями и решением линейных уравнений и систем, то множество рациональных чисел является полным.

На языке десятичных дробей рациональными числами являются такие десятичные дроби, которые либо конечные, либо бесконечные периодические.

Дальнейшее расширение числовых множеств связано с нелинейными уравнениями и, в первую очередь, с квадратными. Рассмотрим квадратное уравнение . В множестве рациональных чисел это уравнение не имеет решения, хотя его дискриминантявляется положительным. Следующее наше желание состоит в том, чтобы все квадратные уравнения с положительными дискриминантами имели решения. Это приводит нас к понятию иррациональных чисел.

Иррациональными числами называются бесконечные десятичные непериодические дроби. Множество иррациональных чисел обозначим . В множестве иррациональных чисел уравнениеимеет решение:. Это число не является рациональным. Действительно, предполагая противное, получим, что существует несократимая простая дробьтакая, что, гдеи– взаимно простые натуральные числа. Умножив наи возведя в квадрат обе части полученного равенства, будем иметь:

Правая часть последнего равенства является четным числом, следовательно, число – четное, то есть, где– натуральное число Тогда

Левая часть последнего равенства является четным числом, следовательно, число – четное, то есть, где– натуральное число. Тогда дробьявляется сократимой. Это противоречит нашему предположению, что дробьне является сократимой.

Из определения рациональных и иррациональных чисел следует, что множества рациональных чисел и иррациональных чиселне имеют общих элементов.

Объединение множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел называется множеством вещественных или действительных чисел . Следовательно, число называется вещественным или действительным, если оно либо рациональное число, либо иррациональное. На множестве вещественных чисел имеют решения все квадратные уравнения с неотрицательными дискриминантами. Остается рассмотреть только один случай, а именно, случай с отрицательным дискриминантом. Простейшим квадратным уравнением с отрицательным дискриминантом является. Отсюда, получаем. Так как квадрат любого вещественного числаудовлетворяет неравенству, то уравнениена множестве вещественных чисел не имеет решения. Вводится новое число, называемоемнимой единицей и обладающее свойством . Формально мнимая единица записывается в виде. Используя это обозначение, мы расширяем также область определения и область значений квадратного корня. Можно теперь извлекать квадратный корень из любого отрицательного числа. Например,. Решение же произвольного квадратного уравненияс отрицательным дискриминантом приводит нас к числам вида, гдеисуть вещественные числа. Такие числа называютсякомплексными. Множество комплексных чисел обозначается .