§ 17.4 Мощность переменного тока

При протекании переменного тока по участку цепи электромагнитное поле совершает работу, и в цепи выделяется джоулево тепло. Мгновенная мощность в цепи переменного тока равна произведению мгновенных значений тока и напряжения: P= IU. Практический интерес представляет среднее за период переменного тока значение мощности

P=P_cp=I_mU_mcosωt·cos(ωt+φ) (17.36)

Здесь I_m и U_m – амплитудные значения тока и напряжения на данном участке цепи, φ – фазовый сдвиг между током и напряжением. Если участок цепи содержит только резистор с сопротивлением R, то фазовый сдвиг φ = 0:

(17.37)

Для того, чтобы это выражение по виду совпадало с формулой для мощности постоянного тока, вводятся понятия действующих или эффективных значений силы тока и напряжения:

и (17.38)

Средняя мощность переменного тока на участке цепи, содержащем резистор, равна

(17.39)

Если участок цепи содержит только конденсатор емкости C, то фазовый сдвиг между током и напряжением. Поэтому

(17.40)

Аналогично можно показать, что P_L = 0.

Таким образом, мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении. Средняя мощность переменного тока на конденсаторе и катушке индуктивности равна нулю.

Примеры решения задач

Пример . Колебательный контур состоит из воздушного плоского конденсатора (расстояние между пластинами d=1мм, площадь поперечного сечения S=2 см² каждая) и соленоида без сердечника (длина ℓ=10см, площадь поперечного сечения S₁=2 см², число витков N=100). Пренебрегая сопротивлением контура, определите частоту ω₀ собственных колебаний контура.

Дано: d=1 мм=1∙10^-3 м; S=100 см²=10^-2 м²; ε=1; ℓ=10см=0,01м; S₁=2 см²=2∙10^-4 м²; N=100; μ=1.

Найти: ω₀.

Решение. Собственная частота колебательного контура

, (1)

где индуктивность соленоида

(2)

(μ₀=4π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная; μ- магнитная проницаемость среды; ℓ - длина соленоида; S₁- площадь его поперечного сечения; N - число витков соленоида) и ёмкость плоского конденсатора

(3)

(ε₀ – 8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная; ε- диэлектрическая проницаемость среды; d - расстояние между пластинами конденсатора; S - площадь пластин конденсатора).

Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1) и учитывая, что (с=3∙10⁸ м/с – скорость распространения света в вакууме), найдём искомую частоту собственных колебаний контура:

.

Ответ: ω₀=2,12∙10⁷ рад/с.

Пример . Колебательный контур содержит конденсатор ёмкостью С=40 нФ и катушку индуктивностью L=1,6 мГн. Определите максимальное напряжение U_m на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока I_m в колебательном контуре равна 1A. Сопротивлением контура пренебречь.

Дано: С=40нФ=40∙10^-8 Ф; L=1,6 мГн=1,6∙10^-3 Гн; I_m=1А; R=0.

Найти: U_m.

Решение. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора

, (1)

где q_m – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора ёмкостью С.

В случае свободных незатухающих колебаний (R=0) заряд на обкладках конденсатора совершает гармонические колебания по закону

q=q_mcosω₀t,

где собственная частота колебательного контура

(2)

Сила тока в колебательном контуре

,

где максимальная сила тока

I_m=ω₀q_m,

откуда

(3)

[учли формулу (2)].

Подставив выражение (3) в Формулу (1), найдём искомое максимальное напряжение на обкладках конденсатора

.

Ответ: U_m=200 В.

Пример . Частота свободных незатухающих электромагнитных колебании в контуре, содержащем катушку индуктивности L=0,5 Гн, составляет 50 Гц. Запишите для данного контура уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора в зависимости от времени, если максимальная энергия магнитного поля Wm в катушке составляет 4 мкДж.

Дано: L=0,5 Гн; ν₀=50 Гц; Wm =4 мкДж=4∙10^-6 Дж.

Найти: q(t).

Решение. В случае свободных незатухающих колебаний (R≈0) заряд на обкладках конденсатора совершает гармонические колебания по закону

q=q_mcosω₀t, (1)

где q_m - амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора с циклической

частотой

ω₀=2πν₀, (2)

Максимальная энергия магнитного поля в катушке

(3)

где I_m – амплитуда колебаний силы тока. Из уравнения (3)

. (4)

Продифференцировав уравнение (1) по времени, определим силу тока в колебательном контуре:

,

где амплитуда силы тока I_m=ω₀q_m. Тогда

(5)

Подставив выражение (4) в формулу (5) и учитывая (2), найдём амплитуду колебаний заряда

Вычисляя, получаем q_m=1,27∙10^-5 Кл

Подставив в уравнение (1) числовые значения q_m и ω₀, искомое уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения заряда на обкладках конденсатора примет вил:

q=1,27∙10^-5cos100πt, Кл.

Ответ: q=1,27∙10^-5cos100πt, Кл.

Пример . Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью С=100 пФ, катушки индуктивности L=0,01 Гн и резистора сопротивлением R=20 Ом. Определите: 1) период затухающих колебаний; 2) через сколько полных колебаний амплитуда тока в контуре уменьшится в е раз..

Дано: C=100пФ =1∙10^-7 Ф; L=0,01 Гн; R=20 Ом.

Найти: 1) Т; 2) N.

Решение. Искомый период электромагнитных колебаний в контуре

(учли, что собственная частота контура и коэффициент затухания).

Число полных колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды силы

тока в е раз,

, (1)

где время релаксации

.

Подставив это выражение в формулу (1), найдём искомое число полных колебаний:

.

Ответ: 1) Т=0,2 мс; 2) N=5.

Пример . Определите добротность Q колебательного контура, если собственная частота ω₀ колебательного контура отличается на 5% от частоты ω свободных затухающих колебаний.

Дано: ω₀=1,05 ω.

Найти: Q.

Решение. В реальном колебательном контуре ( т.е. обладающем сопротивлением) частота ω свободных затухающих электромагнитных колебаний меньше собственной частоты ω₀ колебательного контура (при R≈0):

, (1)

где δ– коэффициент затухания.

Добротность колебательного контура

,

где логарифмический декремент затухания Т (Т- период затухающих колебаний ). Учитывая приведённые формулу, найдём коэффициент затухания

. (2)

Подставив выражение (2) в формулу (1), получаем

или

откуда искомая добротность

Ответ: Q=1,56