Сопромат (Методичка)
.pdf
61
62
63
Работа № 4
Расчет статически неопределимой балки
Задание
Построить эпюру внутренних изгибающих моментов и упругую линию, подобрать балку двутаврового сечения [1] и определить прогиб посередине пролета балки, если [σ] = 160 МПа.
Таблица 4.1 – Исходные данные
Номер |
l, м |
q, кН/м |
F, кН |
М, кН.м |
варианта |
|
|
|
|
1 |
8 |
10 |
16 |
32 |
2 |
6 |
16 |
20 |
24 |
3 |
4 |
12 |
18 |
20 |
4 |
2 |
20 |
16 |
24 |
5 |
6 |
8 |
20 |
16 |
6 |
4 |
16 |
18 |
20 |
7 |
8 |
12 |
16 |
16 |
8 |
2 |
20 |
18 |
32 |
9 |
4 |
8 |
20 |
28 |
0 |
6 |
10 |
16 |
20 |
Пример решения
Построить эпюру внутренних изгибающих моментов и упругую линию, подобрать балку двутаврового сечения и определить прогиб посередине пролета балки, если [σ] = 160 МПа.
Дано: q = 20 кН/м; М = 20 кНм; l = 4 м; [σ] = 160 Мпа.
Решение:
Определяются опорные реакции из уравнений статики:
∑M A |
= 0; mA |
+ M −q |
l |
|
7l |
+ RB l = 0; mA + RB l −50 = 0; |
(4.1) |
||||
|
|
8 |
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||
∑МВ |
=0; mA |
+ M + q |
l |
|
|
l |
|
− RAl = 0; mA − RAl +30 =0. |
(4.2) |
||
|
8 |
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
Берется начало координат в точке А, тогда при x = 0 y0 = 0, и тогда
64
универсальное уравнение прогибов балки на пролете АВ:
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
3l 4 |
|
||
|
mA x2 |
|
M x − |
|
|
|
|
RA x3 |
|
q x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
EJy = − |
− |
|
2 |
+ |
|
− |
|
|
|
; |
||||
2 |
2 |
|
|
6 |
|
24 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
при х = 0 м yB = 0, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 = −mA 8 − M 2 + RA 10,7 −40,83. |
|
|
|
|
(4.3) |
|||||||||
Складывая уравнения (4.2) и (4.3), получим: |
||||||||||||||
mA 8 − RA 32 + 240 − mA 8 + RA 10,7 −10,83 = −RA 21,13 +199,17 =0 ; |
||||||||||||||
RA =9,35кН. Из (4.2) mA |
= 7,4 кНм; из (4.1) RB =10,65 кН. |
|||||||||||||
Проверка: ∑Y = 0; RA |
+ RB |
− q 1 |
=0 ; 9,35 + 10,65 – 20 = 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Построение эпюры изгибающих моментов Мх:
0 |
≤ х1 ≤ 2м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M I = −m |
A |
+ R |
A |
x ; M |
X =0 |
= −7,4 кНм; M |
X = |
2 |
=11,3 кНм; |
|||||
|
X |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
0 |
≤ x2 |
≤ 3 |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M XII = −mA |
− M + RA x2 ; |
M X =2 = −8,7 кНм; |
|
M X =3 = 0,65 кНм; |
||||||||||
0 |
≤ x3 |
≤1 м |
|
|
x32 |
|
|
|
|
|
|
|||
M XIII = RB |
x3 −q |
; M X =0 = 0 ; M X =1 = 0,65 кНм; |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
M max =11,3 кНм.
По полученным результатам строится эпюра внутренних изгибающих моментов (рисунок 4.1).
Выбор двутавровой балки при |
WX = |
M |
= 70,6 |
см3: |
|||||||||||||
max |
|
||||||||||||||||
[σ] |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
M max |
11,3 103 |
Нм |
=150 МПа; |
|
|
||||||||
σдейств |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
табл |
8,17 10 |
−5 |
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
WX |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
W табл |
= 81,7 см3; №14 J =572 см4; |
|
|
|
|
||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет недогруза: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Н= |
[σ]−σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
действ |
100% = 6,25% <15%. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
[σ] |
|
|
|
|
||||||||||||
65
Рисунок 4.1 – Эпюра внутренних изгибающих моментов Мх и упругая линия
66
Построение упругой линии балки:
1) |
х = 0; |
у = 0; |
|
|
|
|
−mA x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) х = 1 м; E J y |
|
= |
|
+ |
R |
A |
|
|
; E J y |
= −2,1 кНм3; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−2,1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
у = |
|
|
|
|
= – 1,8 10−3 |
м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
2 108 572 10−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) х = 2 м; E J y |
|
= −2m |
|
+ R |
|
|
|
; E J y |
|
|
= −2,34 кНм3; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
A |
A |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
y2 |
=– 2,05 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 −2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) х = 3 м; E J y3 |
= −mA 4,5 + RA |
|
27 |
|
− M |
|
= −1.3 кНм3; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
y3 |
=– 1,1 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
31 |
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−mA |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
M x − |
|
|
|
|
q x |
− |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||
5) х = 4 м; E J y4 |
= |
|
+ |
RA |
|
|
|
− |
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
= 0 ; |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
yB |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По полученным результатам строится упругая линия (рисунок 4.1).
67
Расчетная схема
68
69
70