Контрольная работа 2 курс заочное обучение (1)
.pdf
Числовые характеристики статистической совокупности. Параметры распределения
Выборочным средним называется среднее арифметическое значение признака Х в выборочной совокупности:
xВ = x1 n1 + x2 n2 + ... + xk nk . n
Выборочное среднее является оценкой для генерального среднего или является оценкой неизвестного математического ожидания с.в., если выборка получена в результате наблюдения над некоторой случайной величиной.
Медиана – средний член упорядоченного ряда значений. Для нахождения медианы нужно расположить все значения в порядке возрастания или убывания и найти средний по порядку член ряда. В случае n – чётного числа в середине ряда окажутся два значения, тогда медиана будет равна их полусумме.
Мода – наиболее часто встречающееся значение случайной величины. Медиана, мода и среднее значение являются характеристиками положе-
ния – около них группируются измеренные значения случайной величины. Выборочной дисперсией называется дисперсия признака Х в выборочной
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
совокупности: |
DВ = |
∑(xi |
− |
|
В )2 ni . |
||
x |
|||||||
|
|||||||
|
|
n i=1 |
|
|
|
||
Для вычисления дисперсии также используют формулу:
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
− ( |
|
B )2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
DВ = X 2 − |
X |
2 = |
∑ xi2 |
ni |
|
||||||
x |
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
||
Выборочным средним квадратическим отклонением называется величина:
|
σ В = DВ . |
Коэффициент вариации – это отношение среднеквадратичного отклоне- |
|
ния к среднему значению: |
V = σ В . |
xB
Коэффициент вариации выражается в долях единицы или (после умножения на 100) в процентах. Вычисление коэффициента вариации имеет смысл для положительных случайных величин.
Размах – это разность между максимальным хmax и минимальным хmin зна-
чениями свойства: |
R = xmax − xmin . |
31
Дисперсия, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации, а также размах являются мерами рассеяния значений случайной величины около среднего значения. Чем они больше, тем сильнее рассеяние.
Асимметрия – степень асимметричности распределения значений случайной величины относительно среднего значения,
|
1 |
|
k |
|
|
|
A = |
|
∑(xi |
− |
|
В )3 ni . |
|
|
x |
|||||
nσ |
3 |
|||||
|
|
i=1 |
|
|
|
Эксцесс – степень остроили плоско-вершинности распределения значений случайной величины относительно нормального закона распределения,
|
1 |
|
k |
|
|
|
Е = |
|
∑(xi |
− |
|
В )4 ni − 3. |
|
|
x |
|||||
nσ |
4 |
|||||
|
|
i=1 |
|
|
|
Асимметрия и эксцесс являются безразмерными величинами. Они отражают особенности группировки значений случайной величины около среднего значения.
Рассмотренные статистические характеристики относятся к множеству значений х1, х2, ..., хn. Если множество представляет собой выборку из генеральной совокупности, то возникает задача оценки её статистических характеристик по выборочным данным. Наибольшее значение имеют оценка математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.
Математическое ожидание случайной величины М(х) – это её среднее значение в генеральной совокупности (генеральное среднее ХГ ). Оно, за редким исключением, бывает неизвестно, и приходится пользоваться его приближённой оценкой (точечной оценкой) – выборочным средним значением xB , определяемым по формуле (1). При увеличении числа наблюдений выборочное среднее стремится к пределу – к математическому ожиданию.
Дисперсия генеральной совокупности D(х) – это число, равное среднему квадрату отклонений случайной величины от её математического ожидания (генеральная дисперсия). Если математическое ожидание известно, то дисперсию находят по формуле:
D(X ) = 1 ∑k (xi − M (x))2 ni . n i=1
Если математическое ожидание неизвестно, то определяют оценку дисперсии по формуле:
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
n |
|
S 2 = |
|
∑(xi |
− |
|
В )2 ni |
или |
S 2 = |
DB . |
||
|
x |
|||||||||
n − 1 |
|
|||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
n − 1 |
|||
При увеличении числа наблюдений n оценка дисперсии S2 стремится к дисперсии генеральной совокупности D(х).
32
S2 называется несмещённой или исправленной выборочной дисперсией.
Величина |
S = S 2 = |
n |
DB . |
|
|
n − 1 |
|
называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением.
Графическое изображение статистического распределения
Вариационные ряды приобретают большую наглядность, когда они изображаются графически в виде полигона и гистограммы.
1) Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают интервалы вариационного ряда, а по оси ординат частоты (или относительные частоты). Полученная столбиковая диаграмма, состоящая из сомкнутых прямоугольников, называется гистограммой.
2) Ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x1 ;n1 ),(x2 ;n2 ),...,(xk ;nk ), называется полигоном частот. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi , а на оси ординат – соответствующие им частоты ni .
Пример. По результатам тестирования по математике студентов некоторой группы 1-го курса получены данные о доступности заданий теста (отношение числа учащихся, правильно выполнивших задания, к числу тестировавшихся учащихся), представленные ниже, в таблице. Тест содержал 25 заданий.
Доступностьзадания, xi , % |
25-35 |
35-45 |
45-55 |
55-65 |
65-75 |
75-85 |
85-95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество задач, ni |
1 |
1 |
5 |
7 |
7 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Построить гистограмму.
Решение. Откладываем на оси абсцисс семь отрезков длиной 10. На них, как на основаниях, строим прямоугольники, высоты которых соответственно равны 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Полученная ступенчатаяфигураиявляетсяискомойгистограммой.
33
Пример. Учебные достижения студентов 1-го курса по математике за работу в семестре характеризуются данными, представленными в таблице.
Количество баллов, xi |
6 |
10 |
25 |
31 |
34 |
37 |
43 |
48 |
51 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число учащихся, ni |
2 |
1 |
3 |
4 |
4 |
6 |
5 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построить полигон частот.
Решение. Строим точки, основываясь на данных из таблицы. Полученные точки соединяем отрезками прямой. Полигон частот изображен на рисунке.
Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов. Конечно, в этом случае полигон лишь приближенно отображает зависимость частот от значений аргумента.
34
§4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»
Общие методические указания к выполнению контрольной работы
К выполнению контрольных работ следует приступать после изучения соответствующего теоретического материала.
Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой указаны ФИО студента, шифр, номер контрольной работы. Решения задач должны быть достаточно подробными.
Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3-4 см.
После получения работы с отметкой «на доработку» студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки и предоставить работу на повторное рецензирование.
На зачет или экзамен студент должен явиться с зачтёнными контрольными работами.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с двумя последними цифрами его учебного шифра. Например, последние две цифры 51, тогда следует рассматривать задачи под номерами 16, 40, 44, 62, 92, 111.
Студент может обратиться на кафедру для получения устной или письменной консультации.
35
Таблица вариантов
Вари- |
Номера задач |
Вари- |
Номера задач |
Вари- |
Номера задач |
|
ант |
ант |
ант |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
00 |
1, 26, 43, 66, 90,102 |
34 |
8, 21, 43, 67, 97,101 |
67 |
7, 26, 46, 63, 90,102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
9, 33, 54, 65, 92,103 |
35 |
11, 33, 52, 77, 87,104 |
68 |
14, 33, 53, 71, 85,105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
10, 27, 41, 70, 82,106 |
36 |
10, 40, 42, 68, 86,105 |
69 |
20, 38, 45, 70, 93,107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
03 |
12, 21, 55, 64, 94,104 |
37 |
17, 22, 51, 80, 96,108 |
70 |
4, 32, 48, 62, 88,109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
04 |
14, 32, 42, 71, 81,110 |
38 |
20, 34, 59, 75, 100,110 |
71 |
15, 24, 54, 74, 86,118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
05 |
18, 34, 56, 73, 93,109 |
39 |
9, 35, 41, 76, 88,111 |
72 |
13, 39, 57, 78, 95,101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
06 |
11, 35, 48, 63, 83,111 |
40 |
11, 21, 43, 63, 85,117 |
73 |
8, 23, 47, 69, 92,112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
07 |
2, 22, 44, 67, 89,112 |
41 |
2, 30, 48, 71, 94,113 |
74 |
18, 25, 55, 73, 97,114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
08 |
13, 25, 53, 74, 91,115 |
42 |
10, 22, 42, 78, 86,116 |
75 |
5, 37, 58, 79, 94,105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
09 |
17, 31, 45, 72, 95,116 |
43 |
12, 28, 53, 72, 96,117 |
76 |
19, 40, 49, 64, 87,118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
6, 28, 58, 80, 88,103 |
44 |
18, 34, 55, 64, 87,102 |
77 |
12, 36, 44, 72, 96,113 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
19, 23, 47, 68, 96,108 |
45 |
1, 35, 54, 61, 84,119 |
78 |
6, 31, 56, 61, 89,120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
20, 36, 52, 77, 87,101 |
46 |
17, 38, 41, 70, 95,102 |
79 |
3, 23, 44, 71, 83,103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
5, 24, 57, 69, 98,120 |
47 |
3, 27, 45, 79, 93,115 |
80 |
13, 21, 47, 73, 92,104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
8, 30, 46, 75, 84,105 |
48 |
19, 29, 56, 69, 88,106 |
81 |
15, 27, 54, 67, 93,119 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
4, 37, 51, 79, 99,107 |
49 |
6, 26, 46, 65, 89,108 |
82 |
1, 36, 43, 66, 94,114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
15, 39, 59, 62, 97,107 |
50 |
13, 32, 57, 73, 83,106 |
83 |
12, 40, 46, 74, 84,109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
3, 40, 49, 78, 85,110 |
51 |
16, 40, 44, 62, 92,111 |
84 |
4, 29, 42, 65, 81,112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
7, 38, 60, 76, 100,113 |
52 |
4, 23, 47, 77, 82,114 |
85 |
2, 24, 53, 72, 95,115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
16, 29, 50, 61, 86,116 |
53 |
20, 24, 50, 66, 97,117 |
86 |
11, 22, 59, 75, 82,118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
3, 29, 44, 63, 81,119 |
54 |
5, 37, 58, 74, 98,120 |
87 |
5, 28, 41, 69, 85,101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
6, 23, 53, 69, 85,102 |
55 |
14, 39, 59, 68, 99,103 |
88 |
6, 25, 45, 70, 86,104 |
|
|
|
|
|
|
|
36
Вари- |
Номера задач |
Вари- |
Номера задач |
Вари- |
Номера задач |
|
ант |
ант |
ант |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
22 |
12, 28, 60, 64, 93,105 |
56 |
7, 31, 51, 76, 91,106 |
89 |
10, 35, 51, 68, 90,107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
13, 36, 57, 73, 94,108 |
57 |
9, 36, 60, 80, 100,109 |
90 |
8, 30, 52, 63, 99,110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
5, 24, 45, 72, 92,111 |
58 |
15, 33, 52, 75, 90,112 |
91 |
14, 26, 50, 76, 97,113 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
1, 32, 49, 78, 82,114 |
59 |
8, 25, 49, 67, 81,115 |
92 |
16, 34, 55, 62, 91,116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
16, 26, 48,74, 91,117 |
60 |
1, 27, 43, 67, 99,118 |
93 |
7, 32, 58, 77, 96,119 |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
2, 38, 46, 65, 84,120 |
61 |
9, 34, 50, 76, 81,101 |
94 |
9, 37, 49, 64, 88,102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
18, 31, 54, 70, 83,103 |
62 |
3, 29, 52, 68, 91,103 |
95 |
17, 33, 56, 80, 100,104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
15, 37, 56, 79, 90,105 |
63 |
10, 22, 51, 65, 83,106 |
96 |
19, 39, 60, 78, 87,107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
19, 27, 55, 61, 95,108 |
64 |
2, 28, 59, 75, 82,109 |
97 |
18, 38, 57, 61, 98,110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
7, 25, 47, 66, 98,111 |
65 |
16, 21, 41, 66, 100,112 |
98 |
20, 31, 48, 79, 89,113 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
14, 39, 58, 62, 89,114 |
66 |
17, 35, 60, 80, 84,115 |
99 |
11, 30, 42, 77, 98,116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
4, 30, 50, 71, 99,116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основная литература
1.Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 11-е изд., перераб. – М. : Высшее образование, 2008.
2.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М. : Юрайт: Высш. образование, 2009.
3.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М. : Высшее образование, 2010.
37
Задания
1–20. Решить задачу
1.Вероятности попадания при каждом выстреле для трёх стрелков равны соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трёх стрелков имелось два попадания. Найти вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
2.Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0.01, 0.04 и 0.08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал один элемент.
3.Студент знает 50 из 60 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает три вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.
4.В колоде 36 карт. Вынимаются по 1 карте без возвращения. Найти вероятность того, что последовательно будут вынуты бубновая, пиковая карта и шестёрка треф.
5.В урне 6 синих, 2 красных и 2 зелёных кубика. Найти вероятность того, что среди трёх извлечённых наудачу кубиков окажется два синих и один красный.
6.В трёх ящиках находится по 10 деталей, из них в первом 6 стандартных, во втором 8 стандартных, в третьем 9 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что из этих трёх деталей не менее двух стандартных.
7.В коробке лежат 18 деталей, из них 9 окрашенных и 9 неокрашенных. Найти вероятность того, что среди пяти извлечённых наудачу деталей оказалось не менее четырёх окрашенных.
8.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 наудачу выбирается одна, а потом из оставшихся четырёх другая цифра. Найти вероятность того, что обе выбранные цифры нечётные.
9.Цифры 0,1,2,3 написаны на четырёх карточках. Карточки расположили в случайном порядке. Какова вероятность того, что из них сложено 4-х-значное число?
10.В ящике разложено 20 деталей. Известно, что 5 из них являются стандартными. Рабочий случайным образом берет 3 детали. Какова вероятность того, что хотя бы одна деталь стандартная?
11.Из 7 карточек разрезной азбуки составлено слово колокол. Эти карточки рассыпали и затем собрали в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово колокол?
12.Для того чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее 2 бомб. Сбросили 3 бомбы с вероятностями попадания 0.1, 0.3, 0.4. Найти вероятность разрушения моста.
38
13.Имеется урна, в которой 3 белых и 6 чёрных шаров. Определить вероятность того, что при выборе из урны двух шаров они окажутся разных цветов.
14.В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что все эти команды попадут в одну и ту же группу.
15.На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число. Найти вероятность того, что оно будет четным.
16.Батарея из трёх орудий произвела залп, причём 2 снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями равны соответственно
0,4, 0,3 и 0,5.
17. Из колоды в 52 карты выбираются случайным образом без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что будут выбраны карты разных значений.
18.Из последовательности чисел 1, 2, 3, …, 50 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 17, а другое больше 17?
19.Имеется пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Найти вероятность того, что два из них имеют одинаковую стоимость.
20.В барабане револьвера 7 гнёзд, из них в 5 заложены патроны, а 2 оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается 1 из гнёзд. После этого нажимается спусковой крючок. Найти вероятность того, что, повторив такой опыт 2 раза подряд, мы оба раза выстрелим.
21–40. Решить задачу
21.3 экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в
30человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй – 3 студентов, а третий – 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трёх экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго – только 10%, у третьего – 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
22.В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соот-
ветственно 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 и 0.9.
39
а) Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берёт одно из ружей наудачу.
б) Произведённый выстрел оказался успешным. Найти вероятность того, что выстрел был сделан из четвёртого ружья.
23.Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объёма поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?
24.Имеются две урны. В первой 7 красных и 8 синих шаров, во второй – 5 красных и 10 синих. Из наудачу взятой урны наудачу вынимают шар. Какова вероятность того, что он красный?
25.Третья часть одной из трёх партий деталей является второсортной, остальные детали во всех партиях первого сорта. Деталь, взятая из одной партии, оказалась первосортной. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали.
26.Три оператора радиолокационной установки проводят соответственно 25%, 35% и 40% всех измерений, допуская при этом 5%, 4% и 2% ошибок соответственно. Случайно выбранное измерение оказалось ошибочным. Найти вероятность того, что оно было выполнено третьим оператором.
27.Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами. Первый завод изготавливает 2/3 всех приборов, второй – 1/3. На первом заводе 3% брака, на втором – 4%. Найти вероятность того, что приобретённый вами прибор исправен.
28.В группе 5 студентов выучили все 40 экзаменационных вопросов, 6 человек –
35из 40, а 10 человек только 25 вопросов. Какова вероятность того, что наудачу вызванный студент ответит на один вопрос билета.
29.Компьютеры одной марки производят 2 предприятия. Первое предприятие выпускает 3/4 всех компьютеров, второе – 1/4. На первом предприятии 1% брака, на втором – 2%. Найти вероятность того, что купленный вами исправный компьютер произведён на втором предприятии.
30.На трёх станках изготовляют детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0.7, если она изготовлена на первом станке, 0.8 – если на втором и 0.9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
40