ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА

Краткая теория

Гармоническим крутильным колебанием тела называется периодическое движение относительно оси, проходящей через центр тяжести этого тела, когда угол отклонения от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса.

Моменты инерции различных тел могут быть измерены методом крутильных колебаний с помощью трифилярного подвеса. Трифилярный подвес представляет собой диск массой m и радиуса R, подвешенный на трех симметрично располо­женных металлических нитях длиной λ., наверху эти нити закреплены по краям диска меньшего радиуса r (рис. 1).

При повороте, верхнего диска на небольшой угол вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр, все три нити, вследствие инерционности нижнего диска, примут наклонное положение, центр тяжести системы несколько приподнимется по оси вращения. Нижний диск начнет совершать крутильные колебания, период которых будет зависеть от момента инерции системы

Пусть при вращении диск поднялся на максимальную высоту h = h₁ – h₂ , тогда приращение потенциальной энергии составит ΔΠ = тgh. При похождении диском положения равновесия, вся его потенциальная энергия переходит в кинетическую: . Пренебрегая трением, можно записать закон сохранения механической энергии для этой системы: (1)

Если угол отклонения невелик, то можно утверждать, что колебания маятника будут происходить по гармоническому закону:

(2)

где – собственная частота колебания системы.

Угловую скорость диска можно найти, продифференцировав уравнение движения.Из уравнения видно, что максимальное значение угловой скорости равно: (3)

Найдем величину h при повороте диска на малый угол α₀:

(4)

Вследствие малости величины h можно утверждать, что.

Из рис.1 видно, что по теореме Пифагора, а по теореме косинусов:. Подставляя значения h₁² и h₂² в (4), получим . Вследствие малости угла поворота α₀ можно заменить синус угла его аргументом, выраженным в радианах: . (5)

Выражаем из (1) момент инерции и подставляем значения из (3) и (5):

Лабораторная установка

Лабораторная установка представляет собой трифилярный подвес. На платформу (нижний диск) устанавливаются грузы известной массы. Платформа может совершать колебания вблизи положения равновесия

Для приведения системы в колебательное движение верхний диск поворачивают на небольшой угол. Необходимо учитывать, что платформа должна совершать малые колебания, это обусловлено упрощением, допущенным при выводе формулы момента инерции - синус угла заменен аргументом.

Перед проведением эксперимента подвес устанавливают так, чтобы платформа была горизонтальна и могла совершать колебания без смещения центра тяжести в горизонтальной плоскости.

Экспериментальные задания

1 .Определение момента инерции платформы.

1.1. Определите массу платформы m₁, и грузов т₂, m₃. Измерьте радиусы дисков r, R и длины нитей λ. Результаты измерений и погрешности внесите в табл. 1.

Таблица1.

m1 кг	Δm1 кг	m2 кг	Δm2 кг	m3 кг	Δm3 кг	λ м	Δλ м	r м	Δr м	R м	ΔR м

1.2. Приведите ненагруженный маятник в колебательное движение.

1.3. Измерьте время N = 20 полных колебаний. Вычислите период колебаний системы. Результаты измерений и вычислений внесите в табл. 2.

1.4. Вычислите момент инерции платформы I₀ по (6) и аналитически определите погрешность ΔI₀.

1.5. Проведите измерения не менее 3 раз.

Таблица 2.

№	m, кг	N	t, с	T, с	I0 , кг·м2	ΔI0, кг·м2
1…3
Среднее значение

2. Определение момента инерции грузов, расположенных в центре платформы.

2.1. Установите в центре платформы два груза известной массы.

2.2. Приведите маятник в колебательное движение и измерьте период его колебаний.

2.3. Вычислите момент инерции маятника I₀' по (6) и погрешность ΔI₁'. (m = m₁ + m₂ + m₃). Данные внесите в табл. 3.

2.4. Вычислите момент инерции грузов I₁ = I₁' – I₀ . Учитывая, что моменты инерции I₁ и I₁' определены как диапазоны, необходимо проводить вычисления с учетом погрешностей каждой величины, то есть:

2.5. Проведите измерения не менее 3 раз.

Таблица 3.

№	m, кг	N	t, с	T, с	I1' , кг·м2	ΔI1' , кг·м2	I1 , кг·м2	ΔI1 , кг·м2
1…3
Среднее значение

3. Определение момента инерции грузов, симметрично расположенных относительна центра платформы.

3.1. Установите грузы симметрично центра платформы, на расстоянии d от него.

3.2. Приведите маятник в колебательное движение и измерьте период колебаний.

3.3. Вычислите момент инерции маятника I₂' по (6) и погрешность ΔI₂'.

3.4. Вычислите момент инерции грузов по формуле:

3.5. Проведите измерения не менее 3 раз. Результаты измерений внесите в таблицу 4.

Таблица 4.

№	m, кг	N	t, с	T, с	I2' , кг·м2	ΔI2' , кг·м2	I2 , кг·м2	ΔI2 , кг·м2
1…3
Среднее значение

4. Проверка теоремы Штейнера.

4.1. Используя значения момента инерции I₁, определите по теореме Штейнера момент инерции грузов массой т (т = т₂ + т₃), расположенных на расстоянии d от

оси вращения: I₂'' = I₁ + тd². При вычислениях следует помнить, что величины т и d измерены с погрешностью, а значит, это слагаемое вносит погрешность в величину момента инерции I₂''. Результаты вычислений внесите в табл.5.

4.2. Сравните значение I₂ и I₂'' с учетом погрешности. Изобразите графически сравнение моментов инерции в виде двух отрезков на координатной оси.

4.3. Теоретически вычислите момент инерции платформы – I_0T; грузов, относительно вертикальной оси, проходящей через их центр тяжести – I_1T ; грузов, относительно оси отстоящей от вертикальной, проходящей через центр инерции тела, на расстоянии d -I_2T и запишите их в табл.5. Сделайте рисунки, поясняющие теоретические вычисления моментов инерции тел.

Таблица 5.

I0 ± ΔI0 кг·м2	I0T кг·м2	I1 ± ΔI1 кг·м2	I1T кг·м2	I2 ± ΔI2 кг·м2	I2'' кг·м2	I2T кг·м2

4.4. Приведите примеры вычисления каждой величины. Получите и запишите в отчете формулы для аналитического определения погрешностей. Сделайте вывод по работе, в котором укажите результаты проверки теоремы Штейнера, а также охарактеризуйте метод измерения моментов инерции тел. Сравните результаты определения момента инерции аналитически и экспериментально, сделайте вывод о точности проведения измерений и вычислений.

Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки? Твердого тела?

2. Сформулируйте теорему Штейнера? Сделайте пояснительный рисунок.

3. Выведите рабочую формулу для вычисления момента инерции; а также формулы для расчета его абсолютной и относительной погрешности.

Ознакомьтесь с аналитическим доказательством теоремы Штейнера.