Курс лекций по физике - Часть_2 - Электрическое_и_магнитное_поле_Оптика

Силовые линии не могут обрываться в пустоте, они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность (или приходят из бесконечности).

Для характеристики энергетических свойств электрического поля вводят еще одну характеристику, связанную с потенциальной энергией взаимодействия зарядов – по-

тенциал электрического поля.

Силы электростатического поля являются консервативными, работа этих сил при перемещении заряда не зависит от формы траектории, по которой перемещается заряд, а зависит только от начального и конечного положения заряда. Следовательно, как и для других консервативных сил, для электростатического поля можно ввести п о т е н -

Эта работа зависит от величины перемещаемого заряда q . Для характеристики

поля введем величину, определяемую только свойствами поля и не зависящую от вели-

чины заряда. Это работа сил электрического поля по переносу единичного положительного заряда, которая определяет р а з н о с т ь п о т е н ц и а л о в

т р и ч е с к о г о п о л я – это потенциальная энергия единичного положительного заряда в электрическом поле.

Воспользовавшись принципом суперпозиции, можно вычислить напряженность электрического поля, создаваемого произвольной системой точечных зарядов в любой точке пространства. Однако за исключением самых простых систем вычислить эту сумму (или интеграл в случае протяженных тел) крайне сложно и, чаще всего, получить аналитическое выражение не удается.

В то же время рассчитать поле ряда сложных, но симметричных систем зарядов, можно без применения принципа суперпозиции, используя теорему Гаусса (K. Gauß, 1777–1855), которая устанавливает более общую связь между зарядом и полем и занимает важное место в электростатике.

Прежде чем перейти к теореме Гаусса, введем понятие потока.

П о т о к через произвольную поверхность S , которую можно представить со-

вокупностью элементарных площадок, равен сумме элементарных потоков и выража-

ется интегралом

Как мы видим, поток через сферу не зависит от радиуса сферы.

Найдем теперь поток через произвольную замкнутую поверхность S , которую мы можем представить как совокупность участков сфер, причем тем точнее, чем меньше участки мы возьмем.

S0

Суммарный поток через эти участки, с одной стороны, будет равен потоку через поверхность S . С другой стороны, он будет равен суммарному потоку через участки, которые в совокупности образуют сферу S0 . Таким образом, поток через произволь-

ную замкнутую поверхность S будет равен потоку через сферу S0 , в центре которой

расположен создающий поле заряд. Поток через такую сферу мы нашли, следовательно, поток через произвольную замкнутую поверхность будет равен

Результат не зависит от местоположения заряда. Заряд Q может быть расположен в любой точке внутри поверхности S . Более того, если внутри поверхности находится не один заряд, а система зарядов Qi , то поток электрического поля системы зарядов будет равен сумме потоков, то есть

ности S . Тогда теорему Гаусса можно записать в виде

Как мы уже отмечали, теорема Гаусса важна не только теоретически, она позволяет легко найти напряженность электрического поля для симметричного распределения зарядов.

Воспользуемся теоремой Гаусса при нахождении поля, создаваемого бесконеч-

ной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда . П о в е р х н о с т н о й п л о т н о с т ь ю з а р я д а называют заряд единицы площади заряженной поверхности.

Вектор E может быть направлен только перпендикулярно плоскости (плоскость

безгранична и с любой стороны от произвольной точки на поверхности расположен

поток будет равен потоку через основания, на которых EdS EdS .

Все точки оснований эквивалентны, они ничем не отличаются друг от друга (как

ивсе точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от плоскости, так как плоскость безгранична). Это значит, что в любой точке оснований напряженность поля одинакова,

иее можно вынести за знак интеграла.

Учитывая все перечисленное, получим

поскольку интеграл от dS равен площади поверхности интегрирования. Мы вычисли-

ли поток по определению потока.

С другой стороны, по теореме Гаусса, поток равен суммарному заряду S0 уча-

Приравнивая правые части полученных выражений для потока, найдем в е л и -

ч и н у н а п р я ж е н н о с т и э л е к т р и ч е с к о г о п о л я п л о с к о с т и

E .

2 0

Вектор напряженности, как мы уже отмечали, перпендикулярен плоскости и направлен от нее, если заряд плоскости положительный, и к ней – если отрицательный.

Мы получили, что напряженность поля одинакова во всех точках поля по величи-

не и направлению, таким образом, электрическое поле бесконечной заряженной плоскости является однородным.

Рассмотрим другую простую, но важную систему зарядов – диполь.

Э л е к т р и ч е с к и м д и п о л е м называется система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов q и q , расположенных на расстоянии l друг от друга.

Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Расстояние l между зарядами диполя называют плечом диполя.

Основная характеристика диполя, называемая его д и п о л ь н ы м м о м е н т о м ,

где l – вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному заряду.

Дипольный момент p направлен по оси диполя также от отрицательного заряда к по-

ложительному.

Дипольным моментом обладают многие молекулы, например, двухатомная молекула CO (атом C имеет небольшой положительный заряд, а O – небольшой отрицательный заряд), несмотря на то, что молекула в целом нейтральна.

Найдем электрическое поле, создаваемое диполем.

Сначала рассмотрим точку, расположенную на серединном перпендикуляре, на

l