task_74895
.pdf140ГЛАВА 5. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
Та б л и ц а 5 7
Y (л/100 л. т.) |
X1 (л. с.) |
X2 (л) |
X3 (км/ч) |
X4 (л) |
1,3 |
39 |
12 |
40 |
10 |
1,3 |
42 |
8 |
75 |
8 |
0,8 |
53 |
8 |
90 |
9,45 |
1,3 |
53 |
11 |
70 |
8,85 |
2,2 |
70 |
21,5 |
40 |
21 |
2,2 |
72 |
17 |
80 |
13 |
1,8 |
73,5 |
10 |
90 |
9,3 |
2,2 |
75 |
16 |
30 |
10,6 |
2 |
75 |
22,8 |
60 |
22 |
2,1 |
75 |
15 |
40 |
12 |
2,2 |
90 |
16 |
70 |
13,1 |
2,3 |
90 |
17 |
60 |
10,6 |
1,8 |
98 |
15 |
60 |
11,8 |
2,8 |
110 |
39 |
35 |
38,5 |
2,2 |
115 |
27 |
70 |
23 |
2,1 |
115 |
29 |
60 |
20 |
2,1 |
120 |
35 |
50 |
35 |
2 |
150 |
36 |
45 |
35,9 |
2 |
180 |
44 |
40 |
41 |
1,8 |
175 |
54 |
40 |
39 |
Вариант № 24. Имеются данные, характеризующие зависимость
нормы расхода Y моторного масла на угар и замену марки Y0 = 0,55 |
от |
||||||
максимальной мощности X1 двигателя, диаметра X2 цилиндра, линейной |
|||||||
нормы X3 расхода топлива и скорости X4 (табл. 58). |
|
Т а б л и ц а |
5 8 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
Y (л/100 л. т.) |
X1 (л. с.) |
X2 (мм) |
|
X3 (л) |
X4 (км/ч) |
|
|
1,3 |
39 |
76 |
|
12 |
40 |
|
|
1,3 |
42 |
76 |
|
8 |
75 |
|
|
0,8 |
53 |
72 |
|
8 |
90 |
|
|
1,3 |
53 |
76 |
|
11 |
70 |
|
|
2,2 |
70 |
82 |
|
21,5 |
40 |
|
|
2,2 |
72 |
92 |
|
17 |
80 |
|
|
1,8 |
73,5 |
82 |
|
10 |
90 |
|
|
2,2 |
75 |
92 |
|
16 |
30 |
|
|
2 |
75 |
82 |
|
22,8 |
60 |
|
|
2,1 |
75 |
92 |
|
15 |
40 |
|
|
2,2 |
90 |
92 |
|
16 |
70 |
|
|
2,3 |
90 |
92 |
|
17 |
60 |
|
|
1,8 |
98 |
92 |
|
15 |
60 |
|
|
2,8 |
110 |
101,6 |
|
39 |
35 |
|
|
2,2 |
115 |
92 |
|
27 |
70 |
|
|
2,1 |
115 |
92 |
|
29 |
60 |
|
|
2,1 |
120 |
92 |
|
35 |
50 |
|
|
2 |
150 |
100 |
|
36 |
45 |
|
|
2 |
180 |
108 |
|
44 |
40 |
|
|
1,8 |
175 |
108 |
|
54 |
40 |
|
§ 26. Лабораторная работа № 6 |
141 |
Вариант № 25. Имеются данные, характеризующие зависимость нормы Y расхода моторного масла на угар и замену марки Y0 = 0,55 от
максимальной мощности двигателя X1, оборотов при максимальной мощ- ности X2, линейной нормы X3 расхода топлива и скорости X4 (табл. 59).
|
|
|
|
Т а б л и ц а 5 9 |
Y (л/100 л. т.) |
X1 (л. с.) |
X2 (об/мин) |
X3 (л) |
X4 (км/ч) |
1,3 |
39 |
4200 |
12 |
40 |
1,3 |
42 |
4400 |
8 |
75 |
0,8 |
53 |
5400 |
8 |
90 |
1,3 |
53 |
5400 |
11 |
70 |
2,2 |
70 |
2800 |
21,5 |
40 |
2,2 |
72 |
4000 |
17 |
80 |
1,8 |
73,5 |
5800 |
10 |
90 |
2,2 |
75 |
2600 |
16 |
30 |
2 |
75 |
2600 |
22,8 |
60 |
2,1 |
75 |
2600 |
15 |
40 |
2,2 |
90 |
4000 |
16 |
70 |
2,3 |
90 |
4000 |
17 |
60 |
1,8 |
98 |
4500 |
15 |
60 |
2,8 |
110 |
2800 |
39 |
35 |
2,2 |
115 |
3200 |
27 |
70 |
2,1 |
115 |
3200 |
29 |
60 |
2,1 |
120 |
3300 |
35 |
50 |
2 |
150 |
3200 |
36 |
45 |
2 |
180 |
3200 |
44 |
40 |
1,8 |
175 |
3200 |
54 |
40 |
ГЛАВА 6
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
§ 27. Пакет MathCAD и математическая статистика
В предыдущих параграфах мы изучили, как обрабатывать статисти- ческие данные «вручную», т.е. средневековым способом. Для понимания языка математической статистики, для того чтобы хорошо знать ее «ду- шу», для умелого обращения с математическими моделями в инженерной или иной научной практике,— для формирования статистических компе- тенций очень значим каждый штрих «ручной» работы. Но сегодня этого уже недостаточно будущему инженеру. Как лопату сменил экскаватор, как каурые и буланые уступили дорогу автомобилям, так и та математическая статистика, которая веками исполнялась «вручную», уступила с насторо- женной радостью той математической статистике, которая сегодня шагу ступить не может без компьютера, без новых информационных техноло- гий. Это означает, что появились новые — мощные, быстрые, эффектив- ные — способы получения статистик: их обеспечивают вычислительные системы высокого уровня, без которых сегодня немыслимы инженерные
§ 27. Пакет MathCAD и математическая статистика |
143 |
расчеты. К таковым относятся, например, системы: Maple, Mathcad, MathLab, Mathematica. У них есть свои достоинства (это радует) и недостатки (это настораживает). Настораживает то, что, предавшись компьютерным вычислениям, скрытым от него на 99,99 %, инженер, особенно тот, кото- рый не работал «вручную», может не понять языка математической стати- стики и может неправильно истолковать полученные статистики, а, следо- вательно, ошибется при принятии решения.
Мы рекомендуем студентам, обратиться к пакету MathCAD, который не предназначен для программирования сложных задач (для этого есть традиционные языки программирования, системы MathLab, Mathematica),
но который завоевал популярность во всем мире благодаря главным своим достоинствам:
]легкость и наглядность программирования задач;
]запись сложных математических выражений в том виде, в котором они обычно записываются инженерами на листе бумаги (т.е. отсут- ствие специального языка программирования) — следствие того, что создатели пакета сделали достаточно удобный интерфейс;
]возможность создания встроенными средствами высококачествен- ных технических отчетов с таблицами, графиками, текстом.
Кроме мелких недоработок есть два существенных недостатка, ог- раничивающих применение MathCAD в качестве средства программиро- вания:
∙отсутствие встроенных средств отладки программ, которые есть в других средах программирования;
∙относительно недостаточная скорость расчетов.
Пакет MathCAD создан разработчиками как инструмент для работы расчетчиков-инженеров. Он не предназначен для профессиональных мате- матиков. Пакет MathCAD создавался как суперкалькулятор, позволяющий легко справляться с рутинными задачами инженерной практики, ежеднев- но встречающимися в работе. Сюда можно отнести решение алгебраиче- ских и дифференциальных уравнений с постоянными и переменными па- раметрами, анализ функций, поиск их экстремумов, численное и аналити- ческое дифференцирование и интегрирование, вывод таблиц и графиков при анализе найденных решений.
MathCAD имеет богатый набор функций математической статисти- ки, позволяющих вычислять характеристики выборки данных (средние ве- личины, дисперсию, коэффициенты корреляции и др.), функция плотности вероятности, функции распределения вероятности, квантили вероятности для 17 различных видов распределения случайных величин. Кроме того, в MathCAD есть генераторы случайных чисел, соответствующие всем 17 ви- дам распределения, позволяющие эффективно проводить моделирование методом Монте-Карло.
MathCAD содержит 16 различных функций для оценки параметров
§ 27. Пакет MathCAD и математическая статистика |
145 |
вов А, В;
]corr(А, В) — возвращает коэффициент корреляции двух мас- сивов А, В.
Чаще на практике используется коэффициент корреляции, даю- щий относительную, а не абсолютную (как ковариация) оценку связи двух массивов. Чем ближе к единице коэффициент корреляции, тем
Рис. 19. Построение гистограммы и вариационного ряда.
теснее связь.
В § 4 статистические расчеты были выполнены нами вручную, при этом пришлось проделать огромный объем рутинных вычислений. Пример на рис. 19 показывает, как легко рассчитывается очень трудо- емкая статистическая задача. Для построения гистограммы используем встроенную функцию histogram(k, B)т, возвращающую матрицу из
146 ГЛАВА 6. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ…
двух строк. Первая из них — значения середины интервалов, вторая — частоты.
Рис. 20. Лабораторная работа № 1.
Функции распределения вероятностей
В MathCAD имеются встроенные функции для оценки 17 видов рас- пределения случайных величин. Эти функции рассчитывают функцию плотности вероятности, функции распределения вероятности, квантиль вероятности, генерируют вектор случайных чисел, распределенных по любому из 17 видов распределения.
§ 27. Пакет MathCAD и математическая статистика |
147 |
Функции распределения вероятностей различаются написанием пер- вой буквы, а оставшаяся часть имени функции указывает на выбранный вид распределения (в списке функций эта часть обозначена звездочкой). d*(x, par) — плотность вероятности;
р*(х, par) — функция распределения; q*(P, par) — квантиль распределения;
r*(M, par) — вектор из М независимых чисел, распределенных по выбран- ному закону.
Здесь:
∙х — значение случайной величины;
∙Р — значение вероятности;
∙par — список параметров распределения.
Чтобы получить функции, относящиеся, например, к нормальному распределению, надо вместо звездочки поставить norm. Список парамет- ров для нормального распределения содержит две величины:
∙μ — математическое ожидание;
∙σ — среднее квадратическое отклонение.
Указанные функции приобретают вид: dnorm(x, μ, σ), pnorm(x, μ, σ), qnorm(P, μ, σ), rnorm(M, μ, σ).
Перечислим все типы распределения вместе с их параметрами, обо- значив звездочкой первую букву встроенных функций.
∙*beta(x, s1, s2) — бета-распределение, x — значение случайной величи-
ны (0 < x < 1), s1, s2 — параметры (s1, s2 > 0).
∙*binom(k, n, p) — биномиальное распределение, n — целый параметр (0 < k < n), p — вероятность успеха единичного испытания (0 < p < 1).
∙*cauchy(x, l, s) — распределение Коши, l — параметр разложения, s — параметр масштаба (s > 0).
∙*chisq(x, d) — χ2-распределение (хи-квадрат-распределение), d — число степеней свободы (d > 0).
∙*exp(x, r) — экспоненциальное распределение, r — показатель экспонен-
ты (r > 0).
∙*F(x, d1, d2) — распределение Фишера, d1, d2 — числа степеней свобо-
ды (d1, d2 > 0).
∙*gamma(k, s) — гамма-распределение, s — параметр формы (s > 0).
∙*geom(k, р) — геометрическое распределение, р — параметр, равный ве-
роятности успеха единичного испытания (0 ≤ р ≤ 1), к — целое число (к
> 0).
∙*hypergeom(k, a, b, n) — гипергеометрическое распределение, a, b, n — целые параметры.
∙*lnorm(x, μ, σ) — логарифмически нормальное распределение, μ — нату- ральный логарифм математического ожидания, σ — натуральный лога- рифм среднеквадратичного отклонения (σ > 0).