личина урожайности вычисляется как взвешенная по частоте середина интервалов х' (по формуле (5.2)):
Соотношение между средней величиной, медианой и модой
Различие между средней арифметической величиной, медианой и модой в данном распределении невелико. Если распределение по форме близко к нормальному закону, то медиана находится между модой и средней величиной, причем ближе к средней, чем к моде.
При правосторонней асимметрии х > Me > Mo; при левосторонней асимметрии х < Me < Mo.
Для умеренно асимметричных распределений справедливо равенство: |Мо — х\ = 3|Ме — х\.
5.8. Показатели размера и интенсивности вариации
Абсолютные средние размеры вариации
Следующим этапом изучения вариации признака в совокупности является измерение характеристик силы, величины вариации. Простейшим из них может служить размах, или амплитуда вариации, — абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой совокупности значений. Таким образом, размах вариации вычисляется по формуле
R= Xmax — Xmin. (5.16)
Поскольку величина размаха характеризует лишь максимальное различие значений признака, она не может измерять закономерную силу его вариации во всей совокупности. Предназначенный для данной цели показатель должен учитывать и обобщать все различия значений признака в совокупности без исключения. Число таких различий равно числу
154
сочетаний по два из всех единиц совокупности, по данным табл. 5.6 оно составит: С143 = 10 153. Однако нет необходимости рассматривать, вычислять и осреднять все отклонения. Проще использовать среднюю из отклонений отдельных значений признака от среднего арифметического значения признака, а таковых всего 143. Но среднее отклонение значений признака от средней арифметической величины согласно известному свойству последней равно нулю. Поэтому показателем силы вариации выступает не алгебраическая средняя отклонений, а средний модуль отклонения, или среднее линейное отклонение.
Этот показатель рассчитывается по формуле
Это означает, что в среднем урожайность в изучаемой совокупности хозяйств отклонялась от средней урожайности по области на 6,85 ц/га. Простота расчета и интерпретации составляют положительные стороны данного показателя, однако математические свойства модулей «плохие»: их нельзя поставить в соответствие с каким-либо вероятностным законом, в том числе и с нормальным распределением, параметром которого является не средний модуль отклонений, а среднее квадратическое отклонение (в англоязычных программах для ПЭВМ называемое «The standard deviation», сокращенно s.d. 155
или просто s, в русскоязычных — СКО). В статистической литературе среднее квадратическое отклонение от средней величины принято обозначать малой (строчной) греческой
Следует указать, что некоторое округление средней величины и середин интервалов, например до целых, мало отражается на величине а, которая составила бы при этом 8,55 ц/га.
Среднее квадратическое отклонение по величине в реальных совокупностях всегда больше среднего модуля отклонений. Соотношение о: а зависит от наличия в совокупности резких, выделяющихся отклонений и может служить индикатором «засоренности» совокупности неоднородными элементами: чем это соотношение больше, тем сильнее подобная «засоренность». Для нормального закона распределения а: а ~ 1,2.
Понятие дисперсии
Квадрат среднего квадратического отклонения дает величину дисперсии а2. Формула дисперсии:
156
для несгруппированных данных
Расчет по формулам (5.21) и (5.23) приведет к погрешности дисперсии того же порядка, что и погрешность, допущенная при округлении средней величины. Математик В. С. Итенберг показал, что расчет по формулам (5.22) и (5.24) приводит к погрешности дисперсии, на порядки большей, нежели допущенная при расчете средней, что видно из приведенного ниже примера (табл. 5.7).
157
Для распределения сельскохозяйственных предприятий по урожайности в табл. 5.6 q = (36,25 - 25,09) = 5,58 ц/га. Сила вариации в центральной части совокупности, как правило, меньше, чем в целом по всей совокупности. Соотношение между средним модулем отклонений и средним квартильным отклонением также служит для изучения структуры вариации: большое значение такого соотношения говорит о наличии слабоварьирующего «ядра» и сильно рассеянного вокруг этого ядра окружения, или «гало» в изучаемой совокупности. Для данных табл. 5.6 соотношение a : q = 1,23, что говорит о небольшом различии силу вариации в центральной части совокупности и на ее периферии.
Для оценки интенсивности вариации и для сравнения ее в разных совокупностях и тем более для разных признаков необходимы относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношения абсолютных показателей силы вариации, рассмотренных ранее, к средней арифметической величине признака. Получаем следующие показатели:
1) относительный размах вариации р (коэффициент осцилляции):
159