- •Глава 4. Элементы аналитической геометрии.
- •§1. Понятие уравнения линии. Составление уравнения линии
- •§2. Расстояние между двумя точками
- •§3. Деление отрезка в данном отношении
- •§4. Координаты точки пересечения линий
- •§5. Прямая на плоскости
- •§6. Понятие об уравнении плоскости и прямой в 3-х мерном пространстве
- •§7. Кривые второго порядка
- •§8. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривых 2-го порядка
§6. Понятие об уравнении плоскости и прямой в 3-х мерном пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку
и нормальному вектору
Пусть точка , тогда вектор.
Так как , то, тогда
- векторное уравнение плоскости
или
- уравнение плоскости в координатах
Общее уравнение плоскости
В уравнении раскроем скобки и приведем подобные:
- общее уравнение плоскости,
где А, В, С – координаты нормального вектора;
х, у, z – координаты точки М.
Частные случаи:
D = 0 – плоскость, проходит через начало координат:
Если отсутствует одна из координат, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси:
Если отсутствуют две координаты, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости:
Для построения плоскости необходимо общее уравнение, путем деления на свободный член D, привести к уравнению плоскости в отрезках на осях:
Взаимное расположение двух плоскостей
Прямая в пространстве
Определение 1. Прямая в системе ОХУZ рассматривается как линия пересечения двух плоскостей.
Прямая в может быть задана с помощью направляющего вектора.
Определение 2. Вектор , параллельный прямойназываетсянаправляющим вектором прямой.
Пусть на прямой известна точка, т.е.. Возьмем на этой прямой произвольную точку. Тогда.
Так как их координаты пропорциональны:
- канонические уравнения прямой,
где m, n, p – любые действительные числа, в том числе и ноль, т.к.
запись символическая. Но одновременно все три координаты m, n, p нулю
быть равными не могут.
§7. Кривые второго порядка
Определение 1. Кривой второго порядка называется линия, которая аналитически определяется уравнением 2-й степени относительно х и у.
, где
А, В, С, D, Е, F – действительные числа.
В зависимости от значения коэффициентов А, В, С получаются различные виды кривых, причем коэффициенты А, В, С не могут одновременно равняться нулю.
К кривым второго порядка относятся:
окружность
эллипс
гипербола
парабола
Рассмотрим каждую из этих кривых.
Окружность
Определение 1. Множество точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром, называется окружностью.
- нормальное уравнение окружности,
где а и b координаты центра окружности: С (а; b).
Если а = b = 0, то - каноническое уравнение окружности (С(0;0)).
Эллипс
Определение 1. Множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, называется эллипсом.
- каноническое уравнение эллипса, где
а – большая полуось;
b – малая полуось.
- нормальное уравнение эллипса.
Гипербола
Определение 1. Множество точек плоскости, разность расстояний, которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2а, называется гиперболой.
- каноническое уравнение гиперболы, где
а – действительная полуось;
b - мнимая полуось.
- нормальное уравнение гиперболы,
- уравнение асимптот гиперболы.
Гипербола, как график дробно - линейной функции
Пусть дана дробно - линейная функция . Докажем, что этому уравнению на плоскости тоже соответствует гипербола.
Преобразуем правую часть уравнения:
- уравнение гиперболы, как графика обратной пропорциональности со смещенным центром.
Парабола
Определение 1. Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом, и одной прямой, называемой директрисой, называется параболой.
Параллельный перенос осей координат
Существуют формулы перехода от старой системы координат к новой для облегчения построения линий:
и, наоборот: от новой системы к старой:
Пример: построить линию