2.4.3. Аналитическое исследование кривошипно-ползунного механизма

Используем метод замкнутых векторных контуров.

Рис.2.6. Замкнутый векторный контур кривошипно-ползунного механизма

Рассмотрим замкнутый векторный контур OABCO (рис.2.6). Соблюдая единообразие отсчёта углов, определяющих положения звеньев, составим векторное уравнение

a + L₁ + L₂ = X_c (1)

Спроектируем векторное уравнение (1) на координатные оси Х и Y:

Решение задачи о положениях. Определим функции положения ползуна и шатуна Х_с(₁) и ₂(₁). Из (2б) получаем

,

откуда функция положения шатуна выражается в виде

.

Из (2а) получаем функцию положения ползуна

.

Решение задачи о скоростях. Определим аналоги скоростей ползуна и шатуна и . Для этого продифференцируем уравнения (2а) и (2б).

Из (3б) получаем аналог скорости шатуна

;

тогда угловая скорость шатуна вычисляется по формуле

.

Из (3а) получаем аналог скорости ползуна

;

тогда скорость ползуна вычисляется по формуле

.

Решение задачи об ускорениях. Определим аналоги ускорений ползуна и шатуна и .

Для этого продифференцируем уравнения (3а) и (3б):

Из (4б) получим аналог ускорения шатуна .

Тогда угловое ускорение шатуна можно вычислить по формуле

.

Из (4а) получим аналог ускорения ползуна .

Тогда угловое ускорение ползуна можно вычислить по формуле

.

Аналитическое исследование шарнирного четырёхзвенника, кулисного механизма, тангенсного механизма, синусного механизма и других приведены в /3/ и других учебниках по теории механизмов и машин.

3. Силовой анализ механизмов

3.1. Задачи силового анализа

Его также называют кинетостатическим, так как для определения сил реакций в кинематических парах, возникающих в движущихся звеньях, используют уравнения статики.

Основными задачами силового анализа являются:

а) определение сил реакций в кинематических парах механизмов, находящихся под действием заданных внешних сил; эти реакции затем используются при расчёте звеньев и элементов кинематических пар (подшипников, например) на прочность, жёсткость, долговечность и т.д.;

б) определение уравновешивающей силы Р_ур или уравновешивающего момента М_ур, приложенных к ведущему звену механизма; они уравновешивают внешние силы, приложенные к механизму. Эти величины нужны для, например, выбора двигателя, приводящего механизм в движение.

3.2. Силы, действующие в механизме

Различают две большие группы сил:

а) движущие силы Р_дв или их моменты М_дв, которые имеют следующие основные признаки:

- они совершают положительную работу;

- направлены в сторону скорости точки приложения силы или под острым углом к ней, а для М_дв - в сторону вращения звена;

- задаются посредством механической характеристики двигателя;

б) силы сопротивления Р_с и их моменты М_с, которые:

- совершают отрицательную работу;

- направлены противоположно скорости.

Они подразделяются на силы:

- полезного сопротивления Р_п.с (и моменты М_п.с);

- вредного сопротивления: а) трения в кинематических парах,

б) сопротивления среды,

в) внутреннего сопротивления (например,

упругость звеньев).

Кроме того, существуют:

- силы веса Q = V, где  - плотность, V – объём звена;

• силы инерции Р_и = - а_S m, моменты сил инерции М_и = - J_S  ,

где m, I_S – масса и момент инерции звена; а_S и  - ускорения;

• силы реакций в кинематических парах R.

Силы инерции звеньев и моменты сил инерции

Из курса теоретической механики известно, что все силы и моменты сил инерции звена, совершающего плоскопараллельное движение и имеющего плоскость симметрии, параллельную плоскости движения, могут быть сведены к:

Рис.3.1. - главному вектору силы инерции Р_и = - а_S m, приложенному к центру масс S звена;

- паре главных векторов сил инерции, момент которых М_и = - J_S  (рис.3.1).

Главный вектор сил инерции Р_и = - а_S m в дальнейшем будем называть силой инерции, а главный момент сил инерции М_и = - J_S  - моментом сил инерции, где m – масса звена, J_S – массовый момент инерции звена относительно оси, проходящей через его центр тяжести, а_S – ускорение центра тяжести,  – угловое ускорение звена.

Р_и и М_и направлены в стороны, противоположные ускорениям.

Удобно для дальнейших расчётов заменить Р_и и М_и одной силой. При этом можно использовать 3 метода:

а) Метод замещающих точек /3,с.252/;

б) Перенос силы Р_и на плечо . При этом момент сил инерции М_и заменяется парой сил Р_и с плечом h_u, причём одна из них приложена к центру масс звена (точке S) и направлена противоположно преобразуемой силе Р_и. Здесь К – центр качания звена.

в) Определение центра качания звена через мгновенный центр ускорений (МЦУ).

При этом сила инерции Р_u переносится параллельно самой себе на расстояние, вычисленное по формуле

, мм.

Здесь – мгновенный центр ускорений (МЦУ) звена. Отрезок откладывается в сторону, являющуюся продолжением отрезка .

3.3. Статическая определимость кинематической цепи

При силовом анализе механизмов (при определении неизвестных сил, приложенных к движущимся звеньям) можно использовать законы и уравнения статики. Это положение докажем следующим образом.

Проанализируем некоторые параметры реакций в кинематических парах 5 и 4 классов:

Кинематические пары 5-го класса	Равновесие каждого звена	Известные величины	Неизвестные величины
		Точка приложения	Величина, направление
		Направление	Величина, точка приложения
		Точка приложения, направление	Величина

Таким образом, плоская кинематическая цепь, состоящая из кинематических пар 5 и 4 классов, имеет 2Р₅ + Р₄ неизвестных величин сил реакции.

В то же время для одного звена можно составить 3 уравнения статики, а для n звеньев – 3n уравнений статики.

Кинематическая цепь будет статически определима, если число неизвестных величин сил реакций не превышает числа возможных уравнений статики, то есть

3n = 2Р₅ + Р₄ .

Это есть условие статической определимости кинематической цепи. Полученное равенство можно записать в следующем виде

3n - 2Р₅ – Р₄ = 0.

Но запись слева от знака равенства является числом степеней свободы кинематической цепи W, то есть

W = 3n - 2Р₅ – P₄=0.

Как известно (см. раздел 1 настоящего учебного пособия), таким свойством (W=0) обладают структурные группы (или группы Ассура). То есть группы Ассура являются статически определимыми кинематическими цепями.

Отсюда можно сформулировать порядок (последовательность) силового анализа рычажного механизма.

3.4. Порядок (последовательность) силового анализа

рычажного механизма

а) выделяем из механизма последнюю (крайнюю, самую удаленную от ведущего звена) структурную группу и проводим её силовой расчёт, используя уравнения статики;

б) выделяем из механизма следующую структурную группу и проводим её силовой расчёт;

в) силовой расчёт заканчиваем силовым расчётом ведущего звена.

Пример: задан 6-звенный рычажный механизм (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Рычажный механизм

Последовательность силового анализа

1. Проводим силовой расчёт структурной группы 4-5 (то есть определяем неизвестные реакции в кинематических парах, если известны внешние силы, действующие на звенья 4 и 5).

2. Проводим силовой расчёт структурной группы 2-3;

3. Проводим силовой расчёт ведущего звена: