4. Векторное произведение векторов

1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при приведении этих векторов к общему началу ближайший поворот от первого вектора ко второму виден с конца третьего вектора совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Замечание. Стандартный ортонормированный базис пространства V³ задается правой тройкой ортов.

2. Векторным произведением векторов иназывается вектор, направление и длина которого определяются следующими условиями:

1. ;

2 ,,- правая тройка (если векторыине коллинеарны);

3.

Векторное произведение векторов иобозначаетсяили.

3.Геометрический смысл векторного произведения двух векторов. Длина векторного произведения векторов иравна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

4. Механический смысл векторного произведения двух векторов. Если к точке А приложена сила , то момент этой силы относительно точки О равен .

5. Свойства векторного произведения двух векторов.

1. ; (антикоммутативность)

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6..

Данные свойства векторного произведения инвариантны относительно выбора системы координат.

6. Векторное произведение векторов ортонормированного базиса.

.

Все эти равенства удобно запоминать с помощью диаграммы. Произведение двух ортов взятых подряд по кругу дает третий орт, а в обратном направлении – третий со знаком «–».

7. Выражение векторного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе.

Координаты векторного произведения векторов иравны алгебраическим дополнениям элементов первой строки символического определителя

.

8. Двойное векторное произведение. Вектор называетсядвойным векторным произведением векторов . Справедливо равенство. Именно в таком виде формулу для вычисления двойного векторного произведения и запоминают. Для этого есть у нее название «бац минус цаб».

5. Смешанное произведение векторов

1. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор. Смешанное произведение векторов обозначаетсяили.

2. Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов. Модуль смешанного произведения векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов– правая, и отрицательно, если эта тройка – левая (если векторыкомпланарны, то их смешанное произведение равно нулю).

.

Следствие. Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, равен одной шестой модуля их смешанного произведения

.

3. Свойства смешанного произведения.

1. Если один из трех сомножителей равен нулю-вектору, то их смешанное произведение равно нулю ;

2. Критерий компланарности трех векторов: для того, чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю;

3. ;

4. ;

5. ;

4.Выражение смешанного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе. Смешанное произведение трех векторов в ортонормированном базисе равно определителю, строками которого являются координаты этих векторов данном базисе.

Пусть векторы , и имеют в ортонормированном базисе разложения

,,.

Тогда

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, строками которого являются координаты этих векторов в ортонормированном базисе, равен нулю.