Сборник задач по Фин мен
.doc1. Проценты
Процентом некоторой величины называется сотая доля этой величины. Такой величиной может быть месячный доход семьи, годовая прибыль фирмы, сумма государственного бюджета. Чтобы указать, что величина выражена в процентах, используется специальное обозначение: %. Термин «процент» произошел от pro centum — на сотню, или за сто. В финансовых и статистических расчетах, а также во многих других областях принято выражать доли величин в процентах. Необходимо различать два понимания термина процент. Во-первых, процент выступает как процентное число, указывая на часть целой величины или долю. Такое понятие процента широко используется в социально-экономической статистике и законодательной практике регулирования предпринимательской деятельности. Во-вторых, процент связан с начислением сумм (процентных платежей) за определенные промежутки времени. При этом здесь аккуратнее было бы различать ставку процента (interest rate) как некоторое число, выраженное в процентах или долях (единицы) данной величины и проценты (interest) как соответствующее абсолютное количество данной величины.
1.1 Процентные вычисления
Пример 1. Господин Н, получив в наследство $65 000, купил на них две квартиры: однокомнатную за $25 000 и двухкомнатную за $40 000. Через год он продал эти квартиры, получив от продажи однокомнатной квартиры 40% прибыли, а от продажи двухкомнатной квартиры 30% прибыли. Сколько процентов прибыли господин Н получил от продажи двух квартир?
Решение. Вычислим сумму денег, полученную в качестве прибыли. Суммы прибыли от продажи однокомнатной и двухкомнатной квартир равны, соответственно:
25 000 * 0,4 = $10 000, 40 000 * 0,3 = $12 000.
Всего господин Н получил прибыль, равную $10 000 + $12 000 = $22 000.
Требуется определить, сколько процентов составляет $22 000 от $65 000. Обозначим искомое число процентов через x и найдем его значение по формуле
x = 22 000 / 65 000 * 100% = 33,85%.
Пример 2. Вычислим, на сколько процентов прибыль, полученная от продажи двухкомнатной квартиры господином Н из примера 1, больше, чем прибыль, полученная им от продажи однокомнатной квартиры.
Решение. В предыдущем примере мы уже нашли, что прибыль от продажи однокомнатной квартиры равна $10 000, а от продажи двухкомнатной квартиры — $12 000. Надо найти, на сколько процентов число 12 000 больше числа 10 000. Базой (100%) в этом случае является число 10 000. Вычислим, сколько процентов составляет число 12 000 от числа 10 000. Обозначим искомое число процентов через x и найдем его значение:
x = 12 000 / 10 000 * 100% = 120%.
Следовательно, сумма прибыли, полученная от продажи двухкомнатной квартиры, на 20% больше, чем сумма прибыли, полученной от продажи однокомнатной квартиры.
Пример 3. Вычислим, на сколько процентов прибыль, полученная от продажи однокомнатной квартиры господином Н из примера 1, меньше, чем прибыль, полученная им от продажи двухкомнатной квартиры.
Решение. В этом случае надо найти, на сколько процентов число 10 000 меньше числа 12 000. В этом примере базой (100%) является число 12 000. Вычислим, сколько процентов составляет число 10 000 от числа 12 000. Обозначим искомое число процентов через x и найдем его значение:
x = 10 000 / 12 000 * 100% = 83,33%.
Следовательно, сумма прибыли, полученной от продажи однокомнатной квартиры, на 16,67% меньше, чем сумма прибыли, полученной от продажи двухкомнатной квартиры.
1.2 Простые проценты
При инвестировании денег важную роль играет фактор времени: используемые в течение некоторого времени деньги должны приносить владельцу этих денег определенный доход, зависящий от длительности их использования. Величину дохода измеряют в процентах от суммы используемых денег. Практикуются два способа расчета процентов: начисление простых процентов и начисление сложных процентов. Здесь мы рассмотрим вопросы, связанные с начислением простых процентов. Если в тексте говорится об r%, то в формулах буквой r обозначается запись r% в виде десятичной дроби, т. е. 10% соответствует r = 0,1, а 100% соответствует r = 1.
Если сумма P увеличивается на r%, то полученная в результате сумма S называется наращенной суммой и вычисляется по формуле:
S = Р + Рr = Р(1 + r).
При этом величина P называется исходной суммой, а Pr — суммой начисленных процентов.
Пример 4. Сбербанк выплачивает по пенсионным вкладам 4% годовых (простых). Вычислим, какая сумма будет через год на счете пенсионера, положившего на счет 1 200 руб.
Решение. Через год на счету пенсионера будет сумма:
S = Р(1 + r) = 1 200*(1 + 0,04) = 1 248 руб.
Если имеется несколько периодов времени, в каждый из которых исходная сумма P увеличивается на r%, то говорят, что на сумму P начисляются простые проценты. Наращенная сумма S, полученная в результате начисления n раз по r% на сумму P, выражается формулой:
S = Р + Рrn = Р(1 + rn).
Формула, выражающая наращенную сумму при начислении простых процентов, получена при условии, что число n периодов начисления процентов – целое. По определению мы введем такую же формулу для любого положительного (не обязательно целого) числа периодов, которое будем обозначать буквой t:
S = Р(1 + rt).
Пример 5. В условиях примера 4 определим, какая сумма будет на счете вкладчика через пять лет и три месяца.
Решение. S = Р(1 + rt) = 1 200 * (1+0,04*5,25) = 1 452 руб.
Пример 6. Банк выплачивает 6% простых в год. Господин Федоров хочет получить через 2 года и 6 месяцев 10 000 руб. на подарок сыну к 16-летию. Вычислим, какую сумму он должен положить в банк в настоящий момент.
Решение. Нам дано: S = 10 000 руб., t = 2,5, r = 6% = 0.06. Надо найти P. Следовательно:
P = S / (1 + rt)
Подставляя данные задачи в эту формулу, получаем ответ:
Р = 10 000/(1 + 0,06*2,5) = 10 000/1,15 = 8695,65 руб.
Пример 7. В банк было положено 1 500 руб. Через 1 год 3 месяца на счете было 1 631,25 руб. Определим, сколько простых процентов в год выплачивает банк.
Решение. Нам дано: Р = 1 500 руб., t = 1,25, S = 1 631,25 руб. Надо найти r. Следовательно:
r = 1/t * (S/P +1) = 1/1,25 * (1 631,25/1 500 + 1) = 0,07 или 7%.
1.3 Учет векселей и простой дисконт
Простые проценты применяются в финансовой операции, которая называется учетом векселей и заключается в следующем: банк покупает вексель на сумму S у его владельца до истечения срока оплаты векселя по цене P, меньшей, чем S. Цена S рассчитывается по формуле:
P = S(1-td), где t — число лет, остающееся с момента учета векселя до срока его оплаты, d% — учетная ставка, установленная банком.
Заметим, что процент наращения r и учетная ставка d характеризуют приращение денег в единицу времени в долях либо расходного платежа P, либо доходного платежа S:
r= (S-P)/(P*t); d=(S-P)/(S*t).
Как следует из этих формул, величина ставки наращения r и учетной ставки d должна быть согласована с единицей измерения t. Например, если время измеряется в годах, то и соответствующая ставка будет годовая, а если время измеряется в месяцах, то — месячная.
Пример 8. Вексель выдан на 10 000 руб. с уплатой 15 октября. Владелец векселя учел его в банке 15 августа по учетной ставке 10%. Вычислим, какую сумму он получил. Вычислим также, какую сумму он получит, если срок уплаты по векселю 15 октября следующего года.
Решение. Число дней между 15 августа и 15 октября равно 60. Считая, что в году 360 дней (так принято при банковском учете), имеем t = 60/360 = 1/6. При S = 10 000, d = 0,1, t = 1/6 получаем ответ на первый вопрос:
Р = S(1-td) = 10 000 * (1 - 1/6* 0,1) = 9 833,33 руб.
Число дней между 15 августа и 15 октября следующего года равно 360 + 60 = 420 дней, т. е.
t = 420/360 = 7/6.
Получаем ответ на второй вопрос:
P = S(1-td) = 10 000 * (1 - 7/6* 0,1) = 8 833,33 руб.
Простым дисконтом называется процентный доход, вычитаемый из ссуды в момент ее выдачи или взимаемый банком при учете векселя. Термином «дисконт» называют порой также сам учет векселей.
Если процентная ставка простого дисконта — d%, величина ссуды — S (эта сумма должна быть возвращена), Р — величина ссуды, полученная в момент ее выдачи, t лет — срок, на который выдается ссуда, то простой дисконт равен Srt P = S-Srt. Следовательно, имеем формулу: Р = S(1-td).
Пример 9. Финансовая компания дает ссуду 5000 руб. на 3 года под простой дисконт, равный 5% в год. Определим, какую сумму получит клиент в момент получения ссуды.
Решение. Находим P при S = 5 000, d = 5%, t = 3:
P = S(1-td) = 5 000*(1 - 0,05*3) = 4 250 руб.
Пример 10. Производственная фирма берет в банке ссуду 10 000 руб. на три месяца. Определим, сколько она должна вернуть через три месяца, если возьмет ссуду под 8% простого дисконта.
Решение. При P = 10 000, d = 0,08, t = 0,25:
10 000 = S*(1-0,08*0,25).
Из этого равенства находим значение S:
S = 10 204,08 руб.
Пример 11. Вычислим, сколько должна вернуть банку фирма из примера 10, если она возьмет ссуду под 8% простых годовых.
Решение. При Р = 10 000, r = 0,08 и t = 0,25 получаем ответ:
S = P(1+rt) = 10 000 * (1 + 0,08 * 0,25) = 10 200 руб.
Сравнивая полученный результат с результатом примера 103, мы видим, что кредитору выгоднее давать ссуду под простой дисконт, чем под простой процент.
1.4 Сложные проценты
Объясним на простом примере, почему в финансовых расчетах используются не только простые, но и сложные проценты. Предположим, что владелец депозитного счета, на который начисляется r% простых в год, по истечении каждого года изымает вклад вместе с начисленными процентами и тут же вновь открывает депозит на всю полученную сумму. В результате проценты в каждом следующем году будут начисляться не только на начальную сумму, но и на начисленные в предыдущем году проценты. Через n лет, таким образом, будет накоплена сумма S, равная P(1+r)n, где P — сумма первоначального вклада. Формула
S = P(1+r)n
называется формулой сложных процентов для n периодов. Чтобы не заниматься бессмысленным переоформлением вкладов и иметь возможность вкладывать деньги в длительные проекты, банкиры уже давно стали использовать сложные проценты.
Поясним, как получается эта формула. В конце первого периода к исходной сумме Р прибавляется сумма Рг. Наращенная сумма S1 будет равна:
S1 = P + Pr
В конце второго периода к имеющейся сумме P(l + r)прибавляется сумма P(l + r)r. Наращенная сумма S2 составит:
S2 = P(1 + r) + P(1 + r)r = P(1 + r)2.
Аналогично, к концу третьего периода будем иметь наращенную сумму
S3 = P(1 + r)3, и к концу n-го периода наращенная сумма Sn будет равна:
Sn = P(1 + r)n
При выводе последней формулы мы считали число периодов n целым. В практике финансовых расчетов часто приходится вычислять суммы, наращенные за нецелое число периодов. Например, если рассматривается годовая ставка процентов (период равен одному году), то выведенная формула позволяет нам вычислить только суммы, наращенные за целое число лет. Однако имеется необходимость знать наращенную сумму за полгода (n = 0,5) или за 3 года 2 месяца (n = 19/6) и т. п. По определению для произвольного (может быть, и нецелого) числа периодов t наращенная сумма при начислении сложных процентов вычисляется по формуле:
S = P(1 + r)t
Множитель (1 + r)t называется множителем наращения.
Финансовое учреждение может указывать процентную ставку на любой период начисления, но для сравнения следует привести такую ставку к годовой. Например, если банк начисляет rm% сложных в месяц, то исходная сумма P за год превратится в наращенную сумму S = P(1+rm)12. Соответствующая годовая ставка r определяется равенством:
P(1+rm)12 = P(1+r), из которого определяем значение r:
r = (1+rm)12 - 1
Например, если rm = 6%, применяя эту формулу, получаем:
r = (1+0,06)12 -1 = 101,2%.
Пример 12. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20 000 руб. Какая сумма будет на его счете через 5 лет?
Решение. Находим наращенную сумму S при Р = 20 000, r = 0,08, t = 5:
S = 20 000*(1 + 0,08) 5 = 29386,56 руб.
В практике финансовых расчетов ставку сложных процентов, как правило, указывают за период, равный году, но начисление сложных процентов может производиться каждое полугодие, квартал, месяц или даже день. При этом за каждый такой период, равный 1/m части года, начисляются сложные проценты по ставке r/m сложных процентов. В этом случае:
S = P(1+r/m)tm,
где t — длительность промежутка времени, в течение которого начисляются сложные проценты (t измеряется в годах). Например, в случае одного квартала t = 0,25.
Чтобы показать, что при годовой ставке сложных процентов r вычисление сложных процентов производится m раз в году по ставке r/m, эту ставку обозначают jm. Тогда последняя формула принимает вид:
S = P(1+ jm /m)tm
Пример 13. Решим пример 12 при r = j4 = 8% и при r = j12 = 8%.
Решение. Применяем формулу при j4= 8%, получаем:
S = 20 000 * (1 + 0,08/4)5*4 = 29 718,95 руб.
при j12= 8%, получаем:
S = 20 000 * (1 + 0,08/4)5*12 = 29796,91 руб.
Мы видим, что при увеличении числа периодов начисления процентов при той же годовой процентной ставке наращенная сумма, полученная за одно и то же время, увеличивается.
Пример 14. Какую сумму следует вложить в банк, выплачивающий j12 = 7%, чтобы получить 3 000 руб. через 4 года 6 месяцев?
Решение. При S = 3 000, j12 = 0,07, m = 12, t = 4,5:
3 000 = P (1 + 0,07/12)12*4,5 Из этого равенства находим значение Р:
Р = 3000 / (1 + 0,07/12)12*4,5 = 2195,30 руб.
В примере 14 требовалось определить, какую сумму денег надо вложить в банк в настоящее время, чтобы получить сумму S через t лет в будущем. Решение такой задачи называется дисконтированием суммы S. Величина вклада определяется формулой:
P = S(1+ r)-t ,
если начисление r% сложных производится один раз в год в течение t лет, и формулой:
P = S(1+ jm /m)-tm ,
если начисление процентов производится по ставке jm в течение t лет. Множитель ((1+ r)-t называется дисконтным множителем.
Пример 15. Под какую процентную ставку j1 следует вложить 5 000 руб., чтобы через 2 года получить 7 000 руб.?
Решение. При S = 7 000, P = 5 000, t = 2 :
7 000 = 5 000*(1+r)2. Преобразуем последнее равенство и определим из него значение r:
(1 + r)2 = 1,4, откуда 1 + г = 1,183; r = 0,183 = 18,3% .
Пример 16. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20 000 руб. Через несколько лет на его счету была сумма, равная 29 386,56 руб. Сколько лет начислялись проценты?
Решение. Если S = P(1 + r)t, то
t = ln (S/P) / ln (1+r). При S = 29 386,56, P = 20 000 и r = 0,08
t= 5 лет.
Формула непрерывного начисления процентов по годовой ставке . Наращенная за время t сумма определяется формулой:
S = Реt.
Процентная ставка d в этом случае называется силой роста. Иногда силу роста обозначают j∞.
Пример 17. Решить пример 12 если банк начисляет j∞= 8%
Решение. При Р = 20 000, d= j∞ = 0,08, t = 5, находим наращенную сумму:
S = 20 000 * e0,08*5 = 29 836,49 руб.
1.5 Учет векселей по сложной учетной ставке
Операция банковского учета, рассмотренная в п. 1.3. иногда производится по сложной учетной ставке dc, начисляемой один раз в год, или по сложной учетной ставке fm, которая начисляется m раз в год в размере fm /m%. В этих случаях сумма денег P, выплачиваемая банком за вексель на сумму S, вычисляется по формулам:
P = S (1 - dc)t,
P = S (1 - fm/m)tm,
где t — величина промежутка времени от момента учета векселя до срока его выкупа (в годах).
Пример 1.8. Вексель выдан на 10 000 руб. с уплатой 15 октября. Владелец векселя погасил его в банке 15 августа того же года по сложной учетной ставке 10%. Сколько он получил? Сколько получит владелец векселя, если срок уплаты по нему 15 октября следующего года?
Решение. Число дней между 15 августа и 15 октября равно 60. При S = 10 000, dc = 0,1, t = 60/360 = 1/6:
P = 10 000 * (1 – 0,1)1/6 = 9825,93 руб.
Число дней между 15 августа и 15 октября следующего года равно 360 + 60 = 420 дней, то есть t = 420/360 = 7/6:
P = 10 000 * (1 – 0,1)7/6 = 8843,34 руб.
Сравнивая результат этого примера с результатом примера 8, мы замечаем, что если срок от момента учета до момента выкупа векселя меньше года, то учет по сложной ставке выгоднее для банка, чем по простой ставке, а если этот срок больше года, то банку выгоднее учет по простой ставке.
Задачи.
1. В России в цену товаров включается налог на добавленную стоимость (НДС). В чеках некоторых торговых сетей имеется информация о сумме уплаченного НДС. Чему равен НДС, если при покупке на сумму 139,36 руб. сумма налога составила 25,08 руб.?
2. Торговая компания купила 80 столов по цене 450 руб. за стол и 55 шкафов по цене 720 руб. за шкаф. Компания продала всю эту мебель, получив от продажи столов 22% прибыли, а от продажи шкафов 15% прибыли. Сколько процентов прибыли получила компания от продажи всей мебели?
3. Вычислите, на сколько процентов прибыль, полученная компанией, рассмотренной в задаче 2, от продажи столов, больше, чем прибыль, полученная компанией от продажи шкафов.
4. В условиях задачи 2 вычислите, на сколько процентов прибыль, полученная компанией от продажи шкафов, меньше, чем прибыль, полученная от продажи столов.
5. Торговая компания из задачи 2 увеличила количество закупленных столов на 40% и шкафов на 80%. На сколько процентов увеличилась прибыль компании, если вся закупленная продукция была продана?
6. В результате двукратного снижения цены на одно и то же число процентов цена домашнего кинотеатра уменьшилась с 62 тыс. руб. до 28 тыс. руб. На сколько процентов понижалась цена каждый раз?
7. В результате двукратного повышения цены на одно и то же число процентов цена автомобиля увеличилась с 300 тыс. руб. до 365 тыс. руб. Вычислите, на сколько процентов повышалась цена автомобиля каждый раз.
8. На сколько процентов новая цена автомобиля из задачи 7 больше первоначальной цены?
9. На сколько процентов первоначальная цена автомобиля из задачи 7 меньше новой цены?
10. Портфель ценных бумаг включает 20 облигаций, номинальная цена которых 50 руб., и 70 облигаций, номинальная цена которых 100 руб. Облигации первого вида приносят владельцу 12% дохода в год, второго – 9% дохода в год. Вычислите, сколько процентов годового дохода получит владелец данного портфеля от всех входящих в него облигаций.
11. Вычислите, на сколько процентов увеличится годовой доход владельца портфеля ценных бумаг из задачи 10, если он приобретет еще 80 облигаций первого вида.
12. В банк, выплачивающий 6% простых годовых, положили 6000 руб. Через сколько лет на счете будет 6 540 руб.?
13. Торговая фирма планирует приобрести новые помещения, за которые она должна заплатить 120000 руб. Фирма имеет два предложения. По первому предложению фирма должна выплатить эту сумму за 3 года, выплачивая в конце каждого года по 40 000 руб. По второму предложению фирма должна заплатить сразу 30000 руб., а остальные 90000 руб. погашать равными суммами каждые полгода, выплатив весь долг к концу третьего года. Какое предложение выгоднее для фирмы? На деньги начисляются 8% годовых (простых).
14. Покупатель приобрел дом, который стоит $50000. Он уплатил $20000 и выдал продавцу вексель на $ 35 000, который обязуется погасить через год. Под какой процент выдан этот вексель?
15. Компания получила в коммерческом банке ссуду в 90000 руб. на два года под простой дисконт, равный 12% в год. Какую сумму получила компания на руки?
16. Компания из задачи 15 желает получить при тех же условиях на руки 90 000 руб. Какую сумму она будет должна банку?
17. Какую сумму будет должна банку компания из задачи 16, если она получит ссуду под 12% годовых (простых)? Что выгоднее компании: взять ссуду под простой дисконт или под простые проценты?
18. Г-н Петров имеет вексель на 15000 руб., срок погашения которого 1 июля. Он хочет учесть его 1 марта того же года в банке, простая учетная ставка которого 7%. Какую сумму получит г-н Петров за этот вексель? Какую сумму получит г-н Петров, если срок этого векселя 1 июля следующего года?
19. Предприниматель положил 500000 руб. в банк, выплачивающий 6,5% годовых (сложных). По условиям вклада проценты начисляются только один раз в конце года. Какая сумма будет на счете этого клиента: а) через 6 месяцев, б) через 1 год, в) через 3 года, г) через 6 лет 6 месяцев?
20. Решить задачу 19, если банк начисляет проценты по ставке j4 = 6,5%.
21. Владелец мастерской может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты по ставке j6 = 10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить 20 000 руб. через 3 года 3 месяца?
22. Клиент вложил в банк 1 000 руб. Какая сумма будет на счете этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке: а) j1 = 5%, б) j6=5%, в) j12 = 5%, г) j360 = 5%, д) j∞ = 5%?
23. Какая сумма будет на счете клиента из задачи 22 при условии д) через 8 лет?
24. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке j∞ = 7%, чтобы через 10 лет на счете было 500000 руб.?