4. Моделирование генеральной совокупности по результатам выборки.

Процесс моделирования генеральной совокупности состоит из трёх этапов:

4. Подбор типа модели, то есть выбора вида закона или функции распределения генеральной совокупности.

5. Определение параметров выбранной модели.

6. Проверка адекватности выбранной модели.

Выбор характера распределения генеральной совокупности делается либо на основе теоретических представлений, либо чисто эмпирически по виду гистограмм или эмпирических интегральных функций распределения. Вспомним известные из курса теории вероятностей основные распределения.

4.1. Виды распределений

Для описания совокупностей с дискретным спектром значений часто используют следующие законы:

7. Равномерное распределение:

Это распределение применяется тогда, когда возникает предположение, что число значений признака конечно и все значения признака равновероятны.

8. Геометрическое распределение:

Оно содержит один параметр и показывает, с какой вероятностью придётся провести данное число испытаний до появления некоторого события, вероятность которого при каждом испытании равна.

9. Гипергеометрическое распределение:

Это распределение показывает вероятность того, что в безвозвратной выборке объёма из совокупности, содержащейN элементов, окажется элементов, обладающих некоторым признаком, если в совокупности содержитсятаких элементов.

10. Распределение Бернулли (биноминальное ):

Это распределение с одним параметром даёт вероятность того, что виспытаниях некоторое событие произойдётраз, если в каждом испытании его вероятность равна.

При , гипергеометрическое распределение переходит в распределение Бернулли.

11. Распределение Пуассона:

Если велико, асравнительно мало, то распределение Бернулли аппроксимируется распределением Пуассона с значением параметра. Кроме того, этим законом хорошо описываются распределения различных величин в системах массового обслуживание, например числа вызовов за определённое время.

12. Полиноминальное распределение:

Этот закон описывает вероятность того, что в испытаниях с полной группой изсобытий, событиепроизойдётраз,…раз. Параметры- одинаковые в каждом испытании вероятности появления события

Среди распределений непрерывных случайных величин чаще всего встречаются:

10. Нормальное распределение с плотностью:

,

Нормальное распределение в математической статистике играет особо важную роль. Это связано во-первых с тем, что многие характеристики изучаемых объектов являются случайными величинами, распределёнными действительно по нормальному, или близкому к нему закону. Во вторых, даже в тех случаях, когда эти характеристики не являются случайными величинами, их определение связано с ошибками измерения, которые чаще всего распределены по нормальному закону. И наконец, распределение многих статистик с ростом объёма выборки асимптотически приближается к нормальному.

11. Показательное распределение с плотностью:

12. Равномерное распределение с плотностью:

13. Гамма-распределение :

14. Бета-распределение:

15. Распределение Вейбулла:

16. Логнормальное распределение:

17. Распределение хи-квадрат:

По этому закону распределена сумма квадратов:

18. Распределение Стьюдента:

Так распределена, в частности, величина

В двух последних распределениях - нормально распределённые независимые величины с одинаковыми параметрами распределенияи. Величинав этих распределениях называется числом степеней свободы.

Для всех этих распределений в среде Excel имеются соответствующие опции, позволяющие вычислять значения как плотности вероятности, так и интегральной функции. Рассмотрим для примера нормальное распределение. Предположим, нам надо найти значения плотности и интегральной функции для нормального распределения с параметрами для значения аргумента от -2 до 12 с шагом 2.Сначала создадим столбец аргументов, а в соседнем столбце выделим ячейку рядом с начальным значением аргумента, вызовем мастера функций, и в менюСтатистические раскрываем окно НОРМРАСП.

Далее, выделением столбца значений аргумента вносим его координаты в окно Х, в окно «Среднее» - значение , в окно «Стандартное откл» –значение , в окноИнтегральная – выражение «ложь», которое указывает, что надо вычислять плотность распределения. После нажатия «»в ячейкепоявляется значение. Чтобы получить значение плотности для остальных значений аргумента, надо навести курсор на чёрный квадратик в правом нижнем углу рамки ячейки, в которой появился этот результат, нажать левую клавишу мыши, и, не отпуская её, выделить весь столбец, предназначенный для результатов.

Для каждой из функций распределения в меню есть и обратные, которые позволяют находить нужные квантили распределений.