Irodova_I.P._Lineinye_funcionaly_i_operatory_v_kurse_funkcionalnogo_analiza

Найдем теперь элемент наилучшего приближения p . Как следует из формулы (7.1), для этого нужно найти функцию m C[−1, 1], удовлетворяющую условиям kmk = 1 и f(m) = kfk. В этом нам поможет подход, который мы использовали при вычислении нормы функционала (см. третий раздел). Когда мы оценивали kfk снизу, мы по существу находили функцию m, для ко-

торой выполнялись необходимые условия. В данном примере m(t) = 1, тогда p (t) = t2 − 35 .

Пример 7.5. Вычислить расстояние в пространстве C[−1, 1] от элемен-

1

R

та x0(t) = t до ядра функционала f(x) = tx(t)dt. Найти элемент наилуч-

−1

шего приближения или минимизирующую последовательность.

Решение. Поступим аналогично тому, как это было сделано в предыдущем

1

примере. Так как f(x0) = 23 и kfk = R |t|dt = 1, то ρ(x0, kerf) = 23 .

−1

Докажем, что не существует непрерывной функции m, норма которой равна 1 и f(m) = kfk. Предположим, что такая функция существует и пусть найдется t (0, 1), что m(t ) < 1. Так как m – непрерывная функция, то найдется число δ > 0 такое, что m(t) < 1 для любого t (t − δ, t + δ) T(0, 1). Тогда,

другой стороны, kfk = 1. Это противоречие доказывает, что m(t) = 1 для любой точки t (0, 1). Аналогично доказывается, что m(t) = −1 для любой точки t (−1, 0). Но функция, удовлетворяющая таким условиям, не может быть непрерывной в нуле. Итак, мы доказали, что функции m не существует, а значит не существует элемента наилучшего приближения.

Найдем тогда минимизирующую последовательность. Рассмотрим функци-

1

R

онал f(x) = tx(t)dt на более широком, чем C[a, b], пространстве ограничен-

−1

ных функций M[a, b]. Тогда функция mb(t) = sgnt удовлетворяет условиям:

kmbkM[a,b] = 1 и f(mb) = kfk = 1. Так как mb не является непрерывной, то ее нужно ”подправить” (см. пример 3.4). Подправим функцию mb в нуле, где у нее

есть разрыв. Непрерывные функции mn определим по формуле

Тогда минимизирующая последовательность pn может быть найдена по формуле (7.2). Имеем

2

pn(t) = t − 3 1 − 3n12 mn(t).

8.

Линейные непрерывные операторы

Пусть L и L1 – два линейных нормированных пространства. Линейным оператором, действующим из L в L1, называется отображение A, удовлетворяющее условию

A(αx + βy) = αAx + βAy.

Линейный функционал является частным случаем линейного оператора. Совокупность всех x L, для которых оператор A определен, называется

областью определения A и обозначается D(A). Областью значений оператора A называется множество

J(A) = {y L1 : y = Ax, x D(A)}.

Оператор называется непрерывным в точке x0 DA, если из kxn −x0kL → 0 следует, что kAxn −Ax0kL1 → 0. Оператор называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке x D(A).

Линейный оператор, действующий из L в L1, называется ограниченным, если существует такая постоянная C, что

kAxkL1 ≤ CkxkL

для любого x L.

Можно дать другое определение ограниченного оператора.

Линейный оператор A : L → L1 называется ограниченным, если он каждое ограниченное множество переводит в ограниченное.

Задача 8.1. Доказать равносильность двух определений ограниченного оператора.

Приведем некоторые простейшие свойства линейных непрерывных операторов (сравнить со свойствами линейных непрерывных функционалов, отмеченных во втором разделе).

43

Задача 8.10. Пусть ядро интегрального оператора (8.1) является непрерывной функцией. Доказать, что если этот оператор действует в пространстве L1[a, b], то он является непрерывным.

Указание. Доказать, что выполняется неравенство

kAxkL1[a,b] ≤ ckxkL1[a,b];

Задача 8.11. Доказать, что интегральный оператор (8.1), действующий из пространства Lf1[a, b] в C[a, b], является непрерывным, если ядро оператора – непрерывная функция.

Пример 8.3. Пусть интегральный оператор (8.1) действует из L2[a, b] в L2[a, b]. Доказать, что он является непрерывным, если ядро оператора измеримо на квадрате Q = [a, b] × [a, b] и

v

Z

u

N := u |K(s, t)|2dsdt < ∞.

t

Q

Решение. Для доказательства непрерывности оператора A используем неравенство Коши–Буняковского:

Пример 8.4. Рассмотрим линейный оператор A, действующий из lp в lq, где p1 + 1q = 1 и 1 < p < ∞. Тогда оператор задается с помощью бесконечной

Доказать, что если

∞∞

то A будет ограниченным оператором.

9.

Норма оператора и примеры ее вычисления

Пусть A – линейный непрерывный оператор, действующий из нормированного пространства L в нормированное пространство L1. Так как A ограниченный оператор, то существует такая постоянная c, что для любого x L

kAxkL1 ≤ ckxkL.

Наименьшее из чисел c, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой оператора A и обозначается kAk.

Задача 9.1. Доказать, что норму любого линейного ограниченного оператора, действующего из L в L1, можно вычислить по одной из следующих формул

Задача 9.2. Пусть H – гильбертово пространство, A – линейный ограниченный оператор, действующий в H. Доказать, что

|(Ax, y)| kAk = sup kxkkyk ;

здесь точная верхняя грань берется по всем x, y H и x 6= 0, y 6= 0.

Задача 9.3. Пусть L, L1 – банаховы пространства, A – линейный ограниченный оператор, действующий из L в L1. Всегда ли равенства

а) kxk1 = kAxkL1 ;

б) kxk2 = kxkL + kAxkL1 задают в L норму? Будет ли в этой норме L банаховым пространством?

Пример 9.1. Вычислить норму оператора A : C[−2, 1] → C[−2, 1], задан-

ного формулой

Ax(t) = x(0)t + x(1)t2.

48

Так как это верно для любого t, то kAxk ≤ 6kxk и kAk ≤ 6.

Чтобы получить противоположное по знаку неравенство, нужно подобрать непрерывную функцию xb C[−2, 1] такую, что

kAxbkC[−1,2]

kxbkC[−1,2]

= 6.

Нетрудно заметить, что xb(t) ≡ 1 удовлетворяет этому условию. Как следует из задачи 9.1, kAk ≥ для любой функции x C[−1, 2]. Тогда kAk ≥ 6. Итак, kAk = 6.

Пример 9.2. Вычислить норму оператора A : C[−1, 3] → L2[−1, 3], заданного формулой

3

Z

Ax(t) = t x(s)ds.

−1

Решение. Из определения нормы в пространстве L2[−1, 3] следует, что

Оценку можно продолжить, если учесть, что |x(s)| ≤ kxkC[−1,3]. Имеем

Вычислив интеграл, получим