Irodova_I.P._Lineinye_funcionaly_i_operatory_v_kurse_funkcionalnogo_analiza

Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если

A : C[0, 1] → C[0, 1]; Ax(t) = tx(1) − t2x(0).

Вариант IV

Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функционала на единичном шаре, если

1

f : C[−3, 1] → R; f(x) = 2x 12 + R t4 · x(t)dt.

−3

Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:

2

f : L2[−1, 2] → R; f(x) = R t3 · x(t)dt.

−1

Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если

f : l1 → R; f(x) = λ · x1 − 5x2 + (6 − λ)x3 − 7x4.

Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−2, 3] → R в виде

3

R

интеграла Стилтьеса f(x) = x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем

Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x до ядра линейного функционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую

последовательность:

f : l1 → R; f(x) = x1 − 2x2 + 3x3; x = (2, 1, −1, 0, 0, ...).

Задача 6. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Используя геометрический подход, найти все продолжения функционала f0 на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана– Банаха:

L = l12, L0 = x l12 : x1 + 4x2 = 0 , f0(x) = x1 − 4x2.

Задача 7. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f – продолжение f0 и kfk = kf0k:

L = l∞3 , L0 = x l∞3 : x1 − 2x3 , f0(x) = x1 − 2x3.

Задача 8. Вычислить норму оператора, если

а) f : C[−2, 3] → C[0, 3]; Ax(t) = t · x(0) + t2 · x(1);

1

fn(x) = R (cos nt + t) · x(t)dt.

0

Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если

A : C[0, 2π] → C[0, 2π]; Ax(t) = sin tx(0) + cos tx(1).

Вариант V

Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функционала на единичном шаре, если

Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:

2

f : L3[−1, 2] → R; f(x) = R t3 · x(t)dt.

−1

Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если

f : l∞ → R; f(x) = −2λx1 + 3x2 − (8 − λ)x5.

Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−3, 1] → R в виде

1

R

интеграла Стилтьеса f(x) = x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем

Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x до ядра линейного функционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую последовательность:

f : l∞ → R; f(x) = x1 − 2x2 + 3x3; x = (−1, 0, 2, 0, 0, ...).

Задача 6. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Используя геометрический подход, найти все продолжения функционала f0 на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана– Банаха:

Задача 7. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f – продолжение f0 и kfk = kf0k:

Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов fn : l2 → R. Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если

fn(x) = xn+1 − xn+2.

Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если

A : C[0, 2] → C[0, 2]; Ax(t) = tx(2) − t3x(0).

Вариант VI

Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функционала на единичном шаре, если

Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:

2

R

f : L4[−1, 2] → R; f(x) = |t| · x(t)dt.

−1

Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если

f : l2 → R; f(x) = −λx1 + 3x2 + (5 + λ)x6.

Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−1, 1] → R в виде

1

R

интеграла Стилтьеса f(x) = x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем

−1

виде функционала, вычислить норму f, если

Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x до ядра линейного функционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую последовательность:

1

f : L2[−2, 1] → R; f(x) = R t · x(t)dt; x (t) ≡ 1.

−2

Задача 6. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Используя геометрический подход, найти все продолжения функционала f0 на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана– Банаха:

L = l22, L0 = x l22 : 4x1 − 2x2 = 0 , f0(x) = 5x2.

Задача 7. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f – продолжение f0 и kfk = kf0k:

Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов fn : l1 → R.

Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если fn(x) = (n+1n ) · x1 − xn3 .

Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если

A : C[0, 3] → C[0, 3]; Ax(t) = (t2 − 1)x(0) + x(1).

Вариант VII

Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функционала на единичном шаре, если

Задача 2. Доказать, что функционал f : L2[−1, 2] → R линейный, и вычислить его норму:

2

R

f(x) = |t − 1| · x(t)dt.

1

Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если

f : l3 → R; f(x) = 2λx1 − x2 + 6λx4.

Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, 3] → R в виде

3

R

интеграла Стилтьеса f(x) = 3x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об об-

0

щем виде функционала, вычислить норму f, если f(x) = x(1)−4x(2)+5x(3).

Задача 5. Вычислить расстояние в пространстве X от элемента x X до ядра линейного функционала f, заданного на X. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую последовательность:

1

f : L3[−2, 1] → R; f(x) = R x(t)dt; x (t) = |t|.

−2

Задача 6. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Используя геометрический подход, найти все продолжения функционала f0 на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана– Банаха:

L = l12, L0 = x l22 : 4x1 − 2x2 = 0 , f0(x) = 5x2 − x1.

Задача 7. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f – продолжение f0 и kfk = kf0k:

Задача 9. Пусть задана последовательность операторов fn : C[0, 1] → R.

Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если fn(x) = x n1 .

Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если

A : C[0, 2] → C[0, 2]; Ax(t) = etx(0) + x(1).

Вариант VIII

Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функционала на единичном шаре, если

f : C[−3, 2] → R; f(x) = 4x(1) − 5x(2) + e · x(−1).

Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:

3

f : L3[−1, 3] → R; f(x) = R et · x(t)dt.

−1

Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если

f : l∞ → R; f(x) = (2 − λ)x2 − 4λx3 − x4.

Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−2, 2] → R в виде

2

R

интеграла Стилтьеса f(x) = x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем

−2

виде функционала, вычислить норму f, если

2

f(x) = x(1) − R et · x(t)dt.

−2

Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x до ядра линейного функционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую последовательность:

Задача 6. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Используя геометрический подход, найти все продолжения функционала f0 на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана– Банаха:

L = l12, L0 = x l12 : 3x1 − 9x2 = 0 , f0(x) = 4x1.

Задача 7. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –

fn(x) = 2x n1 + x(0).

Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если

A : C[−1, 0] → C[−1, 0]; Ax(t) = tx(t) + x(0).

Вариант IX

Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функционала на единичном шаре, если

3

f : C[0, 3] → R; f(x) = R t · et · x(t)dt.

0

Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:

3

R

f : L5[−1, 3] → R; f(x) = t · x(t)dt.

−1

Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если

f : l1 → R; f(x) = (4 − λ)x1 − (λ + 1)x2 − 3x5.

Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, π] → R в виде инте-

π

R

грала Стилтьеса f(x) = x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем виде

0

функционала, вычислить норму f, если

π

R

f(x) = 2x(2) + sin t · x(t)dt.

0

Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x до ядра линейного функционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую

последовательность:

1

f : C[−3, 1] → R; f(x) = x(0) + R t3 · x(t)dt; x (t) = t + 2.

−3

Задача 6. Пусть L0 – подпространство L. На L0 задан линейный функционал f0. Используя геометрический подход, найти все продолжения функционала f0 на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана– Банаха:

L = l∞2 , L0 = x l∞2 : 4x1 − x2 = 0 , f(x) = 2x2.