Решение тригонометрических неравенств
Задача 1.
Решить неравенство cos x > 1/2.
Решение.
По определению косинуса cos x – это абсцисса точки единичной окружности. Чтобы решить неравенство cos x > 1/2, нужно выяснить, какие точки единичной окружности имеют абсциссу, большую 1/2.
Абсциссу, равную 1/2, имеют две точки единичной окружности М1 и М2.
Точка М1 получается поворотом точки Р (0; 1) на угол -π/3, а также на углы -π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …; точка М2 – поворотом на угол π/3, а также на углы π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …
Абсциссу, большую 1/2, имеют все точки М дуги единичной окружности, лежащие правее прямой М1М2. Таким образом, решениями неравенства cos x > 1/2 являются все числа х из промежутка -π/3 < х < π/3.
Ответ. Все решения данного неравенства – множество интервалов π/3 + 2πn < х < π/3 + 2πn, n € Z.
Задача 2.
Решить неравенство cos x ≤ 1/2.
Решение.
Абсциссу, не большую 1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности. Поэтому решениями неравенства cos x ≤ 1/2 являются числа х, которые принадлежат промежутку π/3 ≤ х ≤ 5π/3.
Ответ. Все решения данного неравенства – множество отрезков π/3 + 2πn ≤ х ≤ 5π/3 + 2πn, n € Z.
Задача 3.
Решить неравенство sin x ≥ -1/2.
Решение.
Ординату, не меньшую -1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности. Поэтому решениями неравенства sin x ≥ -1/2 являются числа х, принадлежащие промежутку -π/6 ≤ х ≤ 7π/6. Все решения данного неравенства – множество отрезков -π/6 + 2πn ≤ х ≤ 7π/6 + 2πn, n € Z.
Отметим, что все точки окружности, лежащие ниже прямой М1М2, имеют ординату, меньшую -1/2. Поэтому все числа х € (-5π/6; -π/6) являются решениями неравенства sin x < -1/2.
Ответ. Все решения этого неравенства – интервалы (-5π/6 + 2πn; -π/6 + 2πn), n € Z.
Задача 4.
Решить неравенство cos (x/4 – 1) ≤ -(√2/2).
Решение.
Обозначим x/4 – 1 = у. Решая неравенство cos у ≤ -(√2/2), находим 3π/4 + 2πn ≤ у ≤ 5π/4 + 2πn, n € Z.
Заменяя у = x/4 – 1, получаем 3π/4 + 2πn ≤ x/4 – 1 ≤ 5π/4 + 2πn, откуда 1 + 3π/4 + 2πn ≤ x/4 ≤ 1 + 5π/4 + 2πn, 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.
Ответ. 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.
Текст задания:
Решите тригонометрические уравнения
|
Решение тригонометрических уравнений Вариант 1 | |||
|
А) Выберите номер правильного ответа | |||
|
А1 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А2 |
Решите
уравнение:
|
1)
4)
| |
|
А3 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А4 |
Найдите
сумму корней уравнения
|
1)
| |
|
В) Напишите правильный ответ | |||
|
В1 |
Укажите
количество корней уравнения
| ||
|
В2 |
Решите
уравнение:
| ||
|
С) Приведите подробное решение данного задания. | |||
|
С |
При
каком наименьшем значении параметра
| ||
|
Решение тригонометрических уравнений Вариант 2 | |||
|
А) Выберите номер правильного ответа | |||
|
А1 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А2 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А3 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А4 |
Найдите
сумму корней уравнения
|
1)
| |
|
В) Напишите правильный ответ | |||
|
В1 |
Укажите
количество корней уравнения
| ||
|
В2 |
Решите
уравнение:
| ||
|
С) Приведите подробное решение данного задания. | |||
|
С |
При
каком наибольшем значении параметра
| ||
|
Решение тригонометрических уравнений Вариант 3 | |||
|
А) Выберите номер правильного ответа | |||
|
А1 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А2 |
Решите
уравнение:
|
1)
4)
| |
|
А3 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А4 |
Найдите
сумму корней уравнения
|
1)
| |
|
В) Напишите правильный ответ | |||
|
В1 |
Укажите
количество корней уравнения
| ||
|
В2 |
Решите
уравнение:
| ||
|
С) Приведите подробное решение данного задания. | |||
|
С |
При
каком наименьшем значении параметра
| ||
|
Решение тригонометрических уравнений Вариант 4 | |||
|
А) Выберите номер правильного ответа | |||
|
А1 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А2 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А3 |
Решите
уравнение:
|
1)
3)
| |
|
А4 |
Найдите
сумму корней уравнения
|
1)
| |
|
В) Напишите правильный ответ | |||
|
В1 |
Укажите
количество корней уравнения
| ||
|
В2 |
Решите
уравнение:
| ||
|
С) Приведите подробное решение данного задания. | |||
|
С |
При
каком наибольшем значении параметра
| ||
2)
4)
2)
3)
2)
;4)
,
принадлежащих промежутку
2)
3)
4)
,
принадлежащих промежутку
уравнение
имеет множество решений? Решите
уравнение при найденном значении
параметра.
2)
4)
2)
4)
2)
-
;4)
,
принадлежащих промежутку
2)
3)
4)
,
принадлежащих промежутку
уравнение
имеет множество решений? Решите
уравнение при найденном значении
параметра.
2)
4)
2)
3)
2)
;4)
,
принадлежащих промежутку
2)
3)
4)
,
принадлежащих промежутку
уравнение
имеет множество решений? Решите
уравнение при найденном значении
параметра.
2)
4)
2)
4)
2)
-
;4)
,
принадлежащих промежутку
2)
3)
4)
,принадлежащих
промежутку
уравнение
имеет множество решений? Решите
уравнение при найденном значении
параметра.
Решите тригонометрические неравенства
|
1) |
7) ctg2x - ctgx - 2 ≤ 0; |
|
2) |
8) |
|
3) |
9) |
|
4) -2 ≤ tgx < 1; |
10) 4sinxcosx(cos2x - sin2x) < sin6x; |
|
5) 2sin2x - 5sinx + 2 > 0; |
11) sinxsin3x ≥ sin5xsin7x; |
|
6) |
12) sinx + sin2x + sin3x > 0. |
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
уметь:
- Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;
- Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;
- Вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- Решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;