Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie

∞

(−1)

n

3. Найти интервал сходимости ряда å

(x − 4)3n ., исследовать

(4n −1)

3

n 1

=

an

.

an+1

n→∞

an =

(−1)n

;an+1 =

(−1)n+1

=

(−1)n+1

.

АГНИ

(4n −1)3

(4(n +1) −1)

3

(4n + 3)3

R = lim

an

= lim

− (4n + 3)3

= lim (

4n + 3

)3

= lim (1+

4

)3

= 1, так как

4

→ 0

an+1

4n −1

4n −1

n→∞

n→∞

n→∞

4n −1)

n

→∞

при n → ∞ .

т

<R.

о

0

x − 4

<1,

л

−1 p x − 4 p 1и,

б

3 p x p 5.

б

в точках x=3,x=5.

Далее следует исследовать ряд на сходимостьи

V.

ая

Разложить периодическую функцию f (x) =

x −1,0 ≤ x ≤ 3, в ряд Фурье по

т

к

на симметричный промежуток (второй полупериод) [-

необходимо продолжитьро

е

n

n

3,0), ч тным образом, т.е симметрично относительно оси ОУ. Для четной

функции все коэффициенты b

= 0 , а коэффициенты a

вычисляются по

Э

формуламл

: an

=

2

l

f (x)cos πnx dx =

2

3

x −1

cos πnx dx .

ò

ò

l

0

l

3

0

3

Так как

x -1

ìx -1, x ³ 1

, то отрезок интегрирования разобьем с учетом этого на

= í

- x, x p 1

î1

2

3

πnx

2

1

πnx

3

πnx

dx) .

an =

ò

x -1

cos

dx

=

(ò(1- x) cos

dx +

ò (x -1)cos

3

3

3

3

3

0

0

1

При n=0 получим a0

2

1

3

5

.

=

(ò (1- x)dx + ò (x -1)dx) =

3

3

0

1

Для вычисления остальных коэффициентов при косинусах кратных дуг

òudv = uv

ba - ò vdu ,

ка

применим метод интегрирования по частям:

е

b

b

т

a

a

о

u = 1- x, dv = cos

πnx dx.

примем в первом интеграле

3

.

б

du = -dx,v =

3

sin πиnx

πnл3

и

б

ая

3

πn

3

an

=

2

3

(1- x)sin

πnx

1

+

3

1

πnx

dx) +

2

3

(x

-1)

3

-

3

3

πnx

dx) .

(

0

òsin

(

1

òsin

3

πn

3

πn

3

3

πn

πn

3

нн

0

1

3

π 2n2

роn 3

0

π 2n2

3

1

π 2n2

3

an = 2

(-

9

cos

πnx

1 +

9

cos πnx

3 =

6

((-1)n +1-

2cos πn) ,

к

πn

= 0 .

т.к.cosπn

=т(-1) ,sin

е

∞

л

∞

С довательно, искомое разложение функции в ряд Фурье имеет вид

Э

a0

+ åan cos

πnx =

5

å ((-1)n +1- 2cos

πn) cos

πnx .

f (x) =

+

2

n=1

3

6

n=1

3

3

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального

исчисления. Учебник. В 3-х томах.-С-Пб: Лань,2009.- 2080 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Учебник.в 2-х т.-

С-Пб:Лань,2008.-912 с.

АГНИ

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т.

е

6. Виноградова И.А., Олехник

С.Н.,

Садовничий В.А. Задачи и

т

упражнения по математическому анализу. Пособиекадля университетов.-

М.: Дрофа,2010.-Ч.1.-725 с.

оСадовничий В.А. Задачи и

упражнения по математическому ана изуи. Пособие для университетов.-

М.: Дрофа,2010.-Ч.2.-712 с.

б

и

л

8. Фихтенгольц Г.М. Курс д фференциального и интегрального

исчисления. Учебное посо ие для ВУЗов.Т.2.-С.-Пб.: Лань. 2009.-864 с.

ая

9. Берман Г. Сборник задач по курсу математического анализа.

нн

Уч.пособие.-С-Пб.,:Изд-во «Профессия»,2009.-432 с.

10. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу

ро

для ВТУЗ в .М.: АСТ,2009.- 495с.

т

11. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Учебное

к

пособие для ВТУЗов.-СПб.: Мифрил.Ред.физ.мат.лит.,2009.-208 с.

е

л

Э

12. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.-

Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,2010.-176 с.

15.

задач по высшей математике.1курс.-М. Айрис-Пресс,2005.-592 с.

16. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и

задачах.

М.:Высш.шк.,1999.- Ч.1-304 с,Ч.2.-416 с.

АГНИ

17.

высшей математике. Часть 1.-Альметьевск:АГНИ,2009.-156 с.

ка

18.

е

т

векторного анализа. - Альметьевск :АГНИ,2010.-108 с.

о

19.

функции одной

переменной и

лего приложения для решения

нефтегазопромысловых задач.бУчебное пособие. -Альметьевск:

АГНИ,2009.- 144 с.

и

б

20. Зарипова З.Ф. Кратные интегралы.- Альметьевск: АГНИ,2006, 85 с.

21.

Ларина Л.Н.,

ая

22.

нн

23.

ро

т

: АГНИ,2005, -28 с.

Альметьевскк

е

24.

л

Э

для проверки остаточных знаний студентов.- Альметьевск:АГНИ,2010.-

120 с.