Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie
.pdfРешение. Дано ЛНДУ II порядка с правой частью специального вида.
Решение данного уравнения ищем как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения уравнения.
Соответствующее однородное уравнение имеет вид y′′ −8y′ + 20y = 0 . |
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Характеристическое уравнение: k 2 −8k + 20 = 0. |
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АГНИ |
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D = 64 - 80 = -16, |
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= 4i, |
k1,2 = |
8 ± 4i |
= 4 ± 2i . |
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D |
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2 |
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Решение соответствующего однородного уравнения: |
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yo.o = e4x (C1 cos2x + C2 sin 2x) . |
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Осталось |
отыскать частное |
решение уравнения |
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y |
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по |
виду |
правой |
части |
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уравнения. |
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е |
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Представим |
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правую |
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часть |
т |
кав |
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виде |
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f (x) = 10(sin 2x + cos2x) = e |
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о |
ак |
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как |
числа |
вида |
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0x |
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и |
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α ± βi = 0 ± 2i не являются корнями характерист ческ го уравнения, то искомое |
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частное решение примет вид y = |
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л |
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Аcos2x + Bsin 2x . Найдем производные первого |
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~ |
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б |
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~ |
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y |
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и второго порядка для функции |
и подставим их в уравнение. |
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~ |
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y ′ = −2Аsin 2x + 2B cos 2x, |
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б |
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~ |
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− 4B sin 2x |
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и |
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y ′′ = −4Acos 2x |
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ая |
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− 4Acos2x − 4Bsin 2x −8(−2Asin 2x + 2Bcos2x) + 20(Acos2x + Bsin 2x) = 10sin 2x +10cos2x |
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í |
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,í |
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8нн. |
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(−4A −16B |
+ 20A)cos2x + (−4B +16A + 20B)sin2x =10sin2x +10cos2x . |
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ро |
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ì16A -16B = 10 |
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ì |
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5 |
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ïA = |
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î16A +16B = 10 |
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ïB = 0 |
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~ |
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5 |
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т |
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к |
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î |
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8 |
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е |
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cos 2x , а общее решение |
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Итак, ис омое частное решение уравнения y = |
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л |
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Э |
= e4 x (C1 cos 2x |
+ C2 sin 2x) + 5 |
сos2x . |
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yо.н |
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8 |
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7. y′′ + y = |
1 |
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, y(0) = 1, y′(0) = 0 . |
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cos x |
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Решение. Дано ЛНДУ II порядка. Воспользуемся методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
101
Решение соответствующего однородного уравнения :
y′′ + y = 0 .
Характеристическое уравнение: k 2 +1 = 0, k = ±i.
yо.о = С1 cos x + C2 sin x .
Далее, |
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искомое решение ЛНДУ |
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II |
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порядка будем |
искать в виде |
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yо.н |
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= С1 (x) cos x + C2 (x)sin x , где функции С1(х),С2(х) подлежат определению. |
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ì |
′ |
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′ |
y2 |
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, здесь y1 (x) = cosx, y2 (x) = sin x . |
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Составим систему Лагранжа: íïC1 |
y1 + C2 |
= 0 |
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ï |
¢ |
¢ |
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¢ |
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¢ |
= f (x) |
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АГНИ |
|||
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îC1 |
y1 + C2 |
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y2 |
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|||||||
ì |
′ |
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′ |
sin x = 0 |
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′ |
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′ |
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ïC1 |
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cos x + C2 |
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= 1. |
||||||||||
í |
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1 |
. Решив систему, получим C1 |
= -tgx,C2 |
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ïC1¢(-sin x) + C2 |
¢ cos x = |
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ка |
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cos x |
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î |
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е |
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Итак, |
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т |
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||||
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о |
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||||
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C ′ |
= - |
ò |
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tgxdx; |
C (x) = ln |
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cos x |
~ |
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и |
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+ C |
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1 |
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1 |
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1 |
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л |
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¢ |
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~ |
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. |
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C2 |
= 1; C2 (x) = x + C2 |
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б |
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Значит, искомое решение |
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и |
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б |
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yо.н |
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= (ln |
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cos x |
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~ |
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~ |
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, где |
~ |
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~ |
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+ C1 )cos x + (x + C2 )sin x |
С1,C2 -произвольные константы. |
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нн |
ая |
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ро |
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т |
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к |
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е |
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л |
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Э |
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102
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∞ |
2 |
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n π |
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|
∞ |
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n -1 |
|
n2 |
|
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|||||
14. |
ån |
|
×sin |
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. |
|
29. å |
( |
|
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|
) |
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|
. |
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2n |
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n + 5 |
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|||||||||||||
|
n=1 |
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n=2 |
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|
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|
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||||||
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∞ |
5 |
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|
n |
|
π |
|
∞ |
|
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7n2 |
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|
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n2 |
|
||
15. |
ån |
|
× arctg |
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. |
30. å |
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
. |
||
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3n |
7n |
2 |
+ 5 |
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||||||||||||||
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n=1 |
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|
n=1 |
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∞ |
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(-1)n |
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|
n |
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∞ |
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(n +1) |
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2n |
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АГНИ |
||||||||||||||
III.Найти интервал сходимости ряда, исследовать поведение ряда на концах |
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интервала |
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||||||||
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∞ |
(n - 2) |
3 |
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2n |
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∞ |
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(n +1) |
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|
n |
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1. å |
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(x + 3) |
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|
. |
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16. å |
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(x + 6) |
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. |
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||||||||||||||||||||
2n + 3 |
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(3n +1) |
2 |
3 |
n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n=1 |
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n=1 |
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|
каn |
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||||||||||||||||||||||||||||
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∞ |
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1 |
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|
2n |
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|
∞ |
|
(n +1) |
|
|
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||||||||||||||||||||
2. å |
|
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|
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(x - 3) . |
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17. å |
|
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|
3 |
(x - |
4) . |
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|||||||||||||||||||||||||||
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n=1 |
(n +1)5 |
|
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n=1 |
(3n +1) |
|
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|||||||||||||||||
3. |
ån=1 |
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18. |
ån=1 |
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|
т |
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||||||||||||||
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(x -1) . |
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(3n +1)3 |
(x - 6) . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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9n n |
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е |
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|||||||||||||||||||||||||
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∞ |
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n |
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л |
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о |
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|||||||||||||
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(-1) |
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(n +1) |
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n |
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3n |
- |
2 |
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|
n |
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|||||||||||||||||||
4. å |
(n + 3)2 2n−1 |
|
(x |
|
+ |
9) |
|
. |
|
|
19. |
|
åи(n +1)2 2n |
(x + 6) |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
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n=1 |
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|||
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∞ |
(-1)n |
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2n |
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и |
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|
∞ |
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|
(-1)n |
|
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|
n |
|
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||||||||||||||
5. å |
|
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(x - |
2) |
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. |
|
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б |
20. å |
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(x + 4) |
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. |
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||||||||||||||||||||
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|
2n |
|
|
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|
(4n +1)3 |
n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
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ая |
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n=1 |
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|||||||||||||||||
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∞ |
(x + 6) |
2n+1 |
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∞ |
∞ |
n2 |
|
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|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||
|
|
∞ |
(x - 5) |
2n+1 |
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(-1) |
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||||||||||||||||||
6. å |
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3n + |
8 |
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. |
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21. å |
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n |
(x + 3)n . |
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||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
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|
|
нн |
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n=1 (3n -1)2 |
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||||||||||||||||||||||||||||
7. å |
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|
. |
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|
22. å |
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(x +1) . |
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||||||||||||||||||||||
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3n + |
8 |
|
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n=1 |
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n=1 (n + 2)! |
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||||||||||||||||||
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∞ |
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|
ро |
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∞ |
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2n |
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8. å |
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(-1) |
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(x + 6)n . |
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23. å |
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(x -1)3n . |
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|||||||||||||||||||||||||||
(n + 3)ln(n + 3) |
|
|
(3n +1) |
3 |
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n=1 |
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||||||||||||||||||||||||||
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|
∞ |
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|
n |
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∞ |
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|
3 |
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9. å |
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(x + 9)n . |
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24. å |
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(x + 4)2n+1. |
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|||||||||||||||||||||
(n + 4)ln(n + 4) |
|
(n |
+ |
1)! |
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|
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n=1 |
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∞ |
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(x - 7)2n+1 |
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∞ |
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(-1)n |
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|
n |
|
|
|
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|
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ån=1 |
|
|
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|
|
|
25. ån=1 |
|
|
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|
(x + |
5) |
|
. |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2n2 - 5n + 8)4n |
|
|
|
(4n +1) |
|
|
5n |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
(x - |
2) |
n |
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|
∞ |
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(-1) |
n |
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|
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11. å |
|
|
|
. |
|
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|
|
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|
|
26. å |
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(x + 2)n . |
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||||||||||||||||||||||||||
|
(3n + 8)2 |
n |
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|
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|
(4n -1) 2 |
n |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
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|
n=1 |
|
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|
105
12. |
y = (3 + e−2x )2 . |
27. |
y = (x −1)chx |
|
|
|||||||||
13. |
y = |
arcsin 2x |
-1. |
28. |
y = |
|
x |
. |
|
|
||||
|
|
3 |
- x |
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. |
y = |
|
1 |
|
. |
29. |
y = xsin 2 4x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 - 5x + 6 |
|
|
|
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|
|
АГНИ |
|||||
15. |
y = x2 × |
|
|
|
|
. |
30. y = ln(1+ |
3x + |
2x2 ) . |
|||||
|
4 - 3x |
|
V. Представить периодическую функцию f(x), заданную на полупериоде [0,l] рядом Фурье по синусам или косинусам. Построить график функции и график полученного ряда Фурье.
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ï |
π |
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π |
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|
1. |
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ï2 + sin x,0 £ x £ |
|
2 |
, по косинусам. |
|
|
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т |
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|
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2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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f (x) = í |
|
|
p x £ π |
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
2 |
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|
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л |
|
|
|
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|
2. |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, по синусам. |
|
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|
f (x) = í |
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π |
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и |
|
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|
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|
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p x |
£ π |
|
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б |
|
|
|
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|
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|
|
ï- cos 2x, |
|
π |
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|
|
б |
|
|
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|||||||||||
|
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|
ì |
|
|
|
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|
|
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2 |
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|
|
|
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|
ая |
|
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ï0,0 £ x £ |
2 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
, по косинусам. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f (x) = í |
|
|
|
π |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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ï |
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|
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|
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π |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
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ï |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, по синусам. |
|
|
|
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îт2 |
|
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f (x) = í |
|
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+ sin x,0 £ x £ |
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π |
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2 |
, по синусам. |
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f (x) = í |
|
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5. |
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π |
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p x |
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|
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2 |
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+ cos x,0 £ x £ |
π |
|
|
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|
|
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|||||||||
6. |
|
|
ï1 |
2 , по косинусам. |
|
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|
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|||||||||||||||
|
f (x) = í |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
|
|
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ï |
|
p x |
£ π |
|
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|||||
|
|
|
0, |
|
|
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ï |
|
2 |
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