Лялькина Н и ТР
.pdfне наступает (с вероятностью q =1 – p). Тогда число появлений события A в этой серии испытаний есть случайная величина X, возможные значения которойсоставляют (дискретное) множество {1, 2, …, n}.
Распределение случайной величины X – числа появлений события A в серии независимых испытаний – называется биномиальным. Появления и непоявления события A могут сочетаться в различных соединениях друг с другом.
Вероятность P(X = k) того, что в этой серии событие A наступит ровно k раз (1 ≤ k ≤ n), вычисляется по формуле Бернулли:
P(X = k) = Cnk pk(1 – p )n – k ≡ Cnk pk qn – k, |
(5.1) |
где Cnk – число сочетаний k наступлений (и следовательно, (n – k) не-
наступлений) события A в серии из n испытаний. Математическое ожидание MX = np, дисперсия DX = npq.
Распределение величины X называется биномиальным, так как вероятности в законе ее распределения выражаются через коэффи-
циенты Cnk разложения бинома Ньютона (a + b)n, вычисляемые по формуле:
Cnk = |
n! |
|
= Cnn−k . |
(5.2) |
|
k!(n −k)! |
|||||
|
|
|
Биномиальное распределение и формулу Бернулли можно использовать для вероятностной оценки числа отказов в системах, состоящих из небольшого числа элементов (обычно не более четырех). В более сложных случаях можно использовать агрегирование элементоввподсистемы, т.е. вструктурной схеме сложнойсистемы выделить подсистемы, состоящие из небольшого числа элементов, и сначала рассчитать вероятности отказов в этих небольших подсистемах. После этого, считая каждую из подсистем за отдельный элемент, можно оценитьвероятностичислаотказоввисходнойсистеме.
Пример. Полную группу соединений из наступлений A и не-
наступлений A события в четырех испытаниях можно представить в одной из двух эквивалентных форм:
41
Представление П1
AAAA
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A A AA |
|||||||||
|
A |
AAA |
|
A |
|
A |
A |
|
A |
||||||
A |
A |
AA |
A |
A |
A |
A |
|
||||||||
AA |
A |
A |
|
A |
AA |
A |
|
AAAA A A A A AA A A
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
Представление П2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1111 |
|
0000 |
A |
A |
|
A |
|
|
A |
0011 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0111 |
0101 |
1000 |
||||||||||
A |
A |
A |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
1011 |
1010 |
0100 |
||||||||||||||
|
A |
A |
A |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
1101 |
0110 |
0010 |
|||||||||||||||
|
A |
A |
A |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1110 |
1001 |
0001 |
|||||||||||||||
|
|
|
A |
A |
A |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1100 |
|
Единица (1) в представлении П2 означает наступление события A,
а нуль (0) – его ненаступление, т.е. A. Каждое из событий (1111), (0100), … (0000) является произведением четырех событий. Представление П2 наглядно и позволяет вычислять вероятность любых событий из полной группы с помощью алгебры вероятностей. На-
пример, сумма событий (1100) + (1010) + (0101) + (1001) + (0110) + + (011), стоящих во втором столбце, – это событие B, состоящее
внаступлении события A ровно два раза в четырех испытаниях. Так как P(A) = p = const, то p2q2 – это вероятность любого из слагаемых
всумме B, а вероятность всей суммы P(B) = C42 p2q2, где C42 = 6 –
число слагаемых.
Замечание. Законы распределения дискретных случайных величин иногда удобно представлять в табличной форме, представленной ниже.
Распределение Бернулли
X = xi |
0 |
1 |
pi = P(X = xi) |
q |
P |
Здесь p – вероятность отказа в одном испытании; X – число отказов.
42
Биномиальное распределение числа наступлений события A в четырех независимых испытаниях
X = xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
pi = P(X = xi) |
q 4 |
C41 p q3 |
C42 p2 q2 |
C43 p3 q |
p 4 |
Здесь p = p (A)– вероятность наступления события A в одном испытании; X – число наступлений события A в четырех независимых
испытаниях; C41 = C43 = 4, C42 = |
n(n −1) ... (n −k +1) |
= |
4 3 |
= |
12 |
|
= 6. |
|
k! |
2 1 |
2 1 |
||||||
|
|
|
|
5.1.3. Распределение Пуассона
Распределение Пуассона – это предельный случай биномиального распределения, если число испытаний n в схеме Бернулли велико (n→∞), вероятность p мала (p→0), и при этом np = λ = const.
Тогда предельная вероятность
P (λ, k) ≡ lim P(X = k) = lim Cnk pk qn−k = |
λk |
|
e−λ |
(5.3) |
||
k! |
||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
представляет распределение Пуассона случайной величины X – числа появлений события A с параметром λ= np.
Математическое ожидание MX = λ, дисперсия DX = λ. Пример. Распределение Пуассона – приемлемая модель для
описания случайного числа отказов и восстановлений независимых элементов на фиксированном промежутке времени [0, t], если число n элементов велико, а вероятность p отказа элемента – мала.
5.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
Непрерывные случайные величины часто удобно представлять плотностью распределения вероятностей.
43
5.2.1. Равномерное распределение
Плотность f(x) равномерного распределения случайной величины на промежутке [a, b] имеет следующий вид:
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, x [a,b], |
|
(5.4) |
|
|
|
||||
f (x) = b −a |
|
||||
|
x [a,b]. |
|
|
||
0, |
|
|
|||
Математическое ожидание |
MX = |
b −a |
, |
дисперсия DX = |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
= (b −a)2 . 12
Пример 1. Ошибка измерений при достаточно широких предположениях относительно инструмента измерения – равномерно распределенная на промежутке измерения случайная величина.
Пример 2. Ошибка округления результата вычислений – равномерно распределенная случайная величина.
5.2.2. Нормальное (гауссово) распределение
Плотность распределения нормальной (гауссовой) случайной величины задается следующей формулой:
f (x)= |
1 |
|
−(x −a)2 |
|
, x (–∞, ∞). |
|
|
|
exp |
2σ2 |
|
(5.5) |
|||
σ 2π |
|||||||
|
|
|
|
|
Математическое ожидание MX = a, дисперсия DX = σ2. Пример 1. Результат измерения в отсутствие систематических
ошибок достаточно точно моделируется нормально распределенной случайной величиной, математическое ожидание которой – точное значение измеряемой величины.
Пример 2. Сумма достаточно большого числа независимых случайных величин с приемлемой точностью описывается нормальным распределением, поэтому нормальное распределение наиболее часто используетсянапрактикепо сравнению сдругимираспределениями.
44
5.2.3. Экспоненциальное (показательное) распределение
Экспоненциальное (показательное) распределение случайной величины задается плотностью распределения вероятностей вида
λe−x, x ≥ 0, |
(5.6) |
f (x) = |
|
0, x < 0. |
|
Число λ > 0 называется параметром экспоненциального распределения.
Математическое ожидание MX = 1λ, дисперсия DX = λ12 .
Равенство λ = |
1 |
позволяет выполнить статистическую |
|
MX |
|||
|
|
оценку значения параметра λ на основании опытных данных с помощью средних значений случайной величины X.
Пример. Показательное распределение используется для моделирования процессов, обладающих отсутствием памяти (последействия), в том числе стационарных марковских процессов.
5.2.4. Распределение Вейбулла – Гнеденко
Распределение Вейбулла – Гнеденко с параметрами α и λ – это распределение случайной величины с плотностью вероятности, определяемой формулой:
|
αxα−1 |
|
x α |
|
|||
f(x) = |
|
exp |
− |
|
|
, x ≥ 0, |
(5.7) |
α |
|
||||||
|
λ |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где α – параметр формы кривой распределения, α > 0; λ – параметр масштаба, λ > 0.
∞
Пусть Г(t) ≡ ∫ xt −1 exp(−x) dx – гамма-функция. Тогда матема-
0
тическое ожидание MX и дисперсия DX равны соответственно:
45
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
||
MX = λГ(1 + |
|
), DX = λ |
|
Г 1 |
+ |
|
|
−Г |
|
1 |
+ |
|
. |
|
α |
α |
|
α |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления значений гамма-функции можно пользоваться таблицами специальных функций, а также следующими соотношениями:
Г(n + 1) = n! ≡ n (n – 1)·… 2·1;
Г(n + α) = (n – 1 + α)· (n – 2 + α)·… (1 + α)·Г(1 + α),
справедливыми для целых значений параметра n и дробных значений α.
Распределение Вейбулла – Гнеденко широко применяется в теории надежности для описания времени безотказной работы объектов. Оно содержит два параметра λ и α. При α = 1 распределение Вейбулла – Гнеденко превращается в показательное. При α < 1 плотность распределения и интенсивность отказов являются убывающими функциями, а при α > 1 интенсивность отказов – возрастающая функция.
Комбинируя значения двух параметров λ и α, можно более точно подобрать вероятностную модель по опытным данным, чем при использовании показательного распределения, в котором можно варьировать лишь один параметр – λ.
5.2.5. Распределение Эрланга
Рассмотрим сумму n случайных величин, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром λ = const. Эта сумма подчиняется распределению Эрланга с параметрами n и λ. Вероятность Pn(t) безотказной работы на промежутке времени длительностьюt для элемента, имеющего распределениеЭрланга:
Pn(t) = n∑−1 (λt)k e−λt .
k =1 k!
Распределение Эрланга с параметрами n и λ хорошо описывает наработку до n-го отказа.
46
Контрольные вопросы
1.Что такое распределение Бернулли и как его использовать в теории надежности?
2.Приведите пример использования схемы Бернулли для оценки числа отказов в системе из трех независимых элементов.
3.Чем отличаются биномиальное распределение и распределение Пуассона?
4.Какую роль играет распределение Пуассона в теории надежности?
5.Что такоепоказательное (экспоненциальное) распределение?
6.Запишите формулу для вычисления плотности экспоненциального распределения вероятностей.
7.Опишите роль экспоненциального распределения в теории надежности.
8.Что такое распределение Вейбулла – Гнеденко и для чего оно используется в теории надежности?
9.Для чего в теории надежности можно использовать распределение Эрланга?
47
6.ПОТОКИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ
Вэтой главе приведены основные понятия потока отказов и восстановлений. В качестве важнейших рассмотрены две модели потоков событий: модель Пуассона простейшего потока событий и марковская модель потока отказов и восстановлений.
6.1.Основные понятия и характеристики потока отказов
ивосстановлений
Поток событий – это последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени.
Процесс функционирования технических объектов состоит из потока чередующихся случайных событий: исправная работа, отказ, восстановление работоспособности, снова исправная работа и т.д. Поток отказов (и восстановлений) – это основной поток событий, изучаемый в теории надежности.
Важнейшие характеристики потоков отказов объекта:
–математическое ожидание Ω(t) числа отказов на промежутке времени (0, t);
–параметр (интенсивность) ω(t) потока отказов.
Обозначим через n(t) число отказов объекта за время t (число отказов до наработки t). Будем предполагать, что после отказа восстановление работоспособности объекта происходит мгновенно, т.е. время восстановления не будем учитывать.
Математическое ожидание числа отказов за время t обо-
значим Ω(t):
Ω(t) = M {n(t)}. |
(6.1) |
Статистическая оценка математического ожидания выполняется обычным образом, т.е. как среднеарифметическое опытных значений числа n(t).
48
Параметр (интенсивность) потока отказов ω(t) можно определить как производную по времени функции Ω (t):
ω(t) = Ω′(t) ≡ |
dΩ |
. |
(6.2) |
|
|||
|
dt |
|
Параметр потока отказов характеризует среднее число отказов объекта, ожидаемых на малом промежутке времени.
Статистически параметр потока отказов можно оценить по формуле:
|
|
|
t +∆t |
t −∆t |
|
|
||||
|
1 |
|
n |
|
|
− n |
|
|
|
|
* |
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
ω(t) ω (t) = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
(6.3) |
|
N(0) |
|
|
|
∆t |
|
|
где N(0) – число исследуемых объектов в начальный момент наблюдения.
6.2. Простейший поток событий
Простейший поток событий – это поток, обладающий тре-
мя свойствами:
–стационарности;
–ординарности;
–отсутствия последействия.
Стационарность потока отказов означает, что число отка-
зов на промежутке длиной t не зависит от расположения этого промежутка на оси времени t, а зависит только от длительности этого промежутка, что означает постоянство (независимость от времени) интенсивности λ(t) потока отказов.
В периоды приработки и старения объекта поток отказов не является стационарным, так как интенсивность отказов в такие периоды существенно зависит от времени: чем старее объект, тем чаще возникают отказы, и, наоборот, в период приработки интенсивность отказов постепенно уменьшается до практически постоянного значения к концу этого периода. В период нормальной эксплуатации поток отказов обычно можно считать стационарным с достаточной точностью.
49
Ординарность потока отказов означает, что вероятность возникновения двух и более отказов за бесконечно малый промежуток времени является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с вероятностью возникновения одного отказа. Для ординарного потока одновременное возникновение нескольких отказов исключено по определению.
Отсутствие последействия означает, что (безусловная) вероятность возникновения k отказов на промежутке времени (tо, tо+t) не зависит от времени tо и от того, сколько отказов появлялось до момента tо, а зависит только от длины t промежутка.
В отсутствие последействия отказы возникают независимо и случайным образом, т.е. объект в момент tо «не помнит», что было до этого момента.
Простейший поток отказов описывается пуассоновским распределением вероятностей с постоянным параметром ω = λ = const. Вероятность наступления k отказов при постоянной интенсивности λ отказов за любой промежуток времени длительностью t описывается формулой Пуассона:
P (λ, k) = |
(λt )k |
e−λt . |
(6.4) |
|
k! |
||||
|
|
|
Простейший поток событий часто называют стационарным пуассоновским. Ординарный поток с отсутствием последействия иногда называют нестационарным пуассоновским.
Простейший поток служит приемлемой моделью для описания широкого класса задач теории надежности, часть из которых рассмотрена в последующих главах.
6.3. Марковская модель потока отказов и восстановлений
Пусть контроль работоспособности объекта является идеальным, т.е. все возникающие отказы обнаруживаются мгновенно
идостоверно. Такой объект в любой момент времени t находится
водном из двух возможных состояний:
50