Лялькина Н и ТР

Если разбить промежуток [0, t] наблюдения за работой объекта на k частичных промежутков ∆i, то статистической оценкой вероятности P(t) безотказной работы объекта на всем проме-

жутке [0, t] может служить отношение:

Статистической оценкой Q*(t) вероятности Q(t) отказа может служить относительная частота отказа, вычисляемая по формуле:

Q(t Q*(t)) = n(t) ,

N0

где ni – это число объектов, отказавших на i-м промежутке време-

ни ∆i (i = 1, 2, …n);

n(t) – общее число объектов, отказавших за время t, т.е. на

k

промежутке [0, t], n(t) = ∑ni ;

i=1

N0 – общее число испытанных за время t объектов,

N – число объектов, исправно проработавших в течение этого времени.

Если функция Q (t) дифференцируема, то ееперваяпроизводная

есть f(t) – плотность распределения вероятностей случайной величины T – времени безотказной работы (наработки) объекта до первого отказа.

Статистической оценкой f*(t) частоты f(t) отказов слу-

жит отношение числа отказавших в единицу времени объектов к их начальному числу N(0) при условии, что отказавшие элементы не восстанавливаются:

Разность в числителе последней формулы выражает число элемен-

тов, отказавших на промежутке времени (t + ∆2t , t – ∆2t ).

4.1.2. Средняя наработка до отказа

Математическое ожидание MT наработки до отказа объ-

екта – это первый момент распределения случайной величины T – времени до наступления отказа.

Поскольку наработка до отказа T – непрерывная величина, ее математическое ожидание вычисляется по формуле:

P (0) = 1и Q(∞) = 0, последнюю формулу можно привести к виду:

MT =∫0∞ P(t) dt,

где P(t) – этовероятностьбезотказнойработы втечение наработки t.

где ti – это время исправной работы (наработка до отказа) i-го объекта.

4.1.3. Гамма-процентная наработка до отказа

Гамма-процентная (γ-процентная) наработка до отказа –

это наработка, в течение которой отказ объекта не произойдет с вероятностью γ, выраженной в процентах.

При γ = 50 % наработку до отказа называют медианной, 100%-нуюнаработку доотказа называютустановленнойбезотказной.

32

4.1.4. Средняя наработка на отказ

Средняя наработка на отказ – это случайная величина,

опытное значение которой после n отказов вычисляется по формуле

где ∆ti – это время исправной работы объекта на i-м промежутке между двумя соседними отказами (т.е. между (i – 1)-м и i -м отказами).

Понятие средней наработки на отказ определяется только для восстанавливаемых объектов.

4.1.5. Интенсивность отказов

Интенсивность отказов можно определить как отношение

где P(t) – вероятность безотказной работы объекта на промежутке [0, t]; Q′(t) – первая производная функции Q(t) – вероятности отказа объекта на этом промежутке. Так как Q(t) – функция, возрастающая с течением времени, то интенсивность отказов λ(t) – положительная величина.

В общем случае интенсивность отказов существенно зависит от времени эксплуатации объекта. Наибольшие значения интенсивность отказов имеет в период приработки (начальный этап эксплуатации) объекта, а также в период его наиболее активного износа и старения.

Функция интенсивности отказов λ(t) – это условная плот-

ность вероятности того, что объект, проработавший безотказно время t, откажет сразу после его истечения. Функция интенсивности отказов дает наиболее точную характеристику надежности невосстанавливаемого объекта в данный момент времени t и является основным показателем надежности элементов сложных систем.

33

В силу соотношений (4.2) и (4.3) функция интенсивности от-

казов

Если функция P(t) распределения длительности безотказной работы известна, то функция интенсивности отказов λ(t) может быть легко вычислена.

Статистическая оценка λ* интенсивности отказов λ(t) в

точке t может быть выполнена на основании опытных данных как отношение числа образцов техники, отказавших в единицу времени, к среднему числу образцов, исправно работающих на промежутке времени [t, t + ∆t], т.е.

Здесь Nср – среднее число элементов, исправно работающих на про-

межутке времени [t, t + ∆t], Nср = 0,5[N(t) + N(t + ∆t)]; ∆n – число элементов, отказавших на этом промежутке, ∆n = ∆n(t, t + ∆t) =

= n(t +∆t )− n(t −∆t ).

Статистическая оценка λ*(t) интенсивности отказов в момент времени t есть средняя интенсивность отказов, которая показы-

вает, какая часть элементов выходит из строя в единицу времени по отношению к среднему числу элементов, исправно работающих в этот момент времени.

4.2. Показатели долговечности и их оценка

Основные показатели долговечности – это ресурс и срок службы. Различают средний, назначенный и гамма-процентный ресурсы и сроки службы. Средние оценки, в отличие от теоретических, имеют случайный (статистический) характер.

34

4.2.1. Средний ресурс

Технический ресурс (ресурс) – это наработка объекта от начала его эксплуатации (или ее возобновления после ремонта) до перехода в предельное состояние.

Средним ресурсом называют среднее значение технического ресурса, которое оценивается по опытным данным.

4.2.2. Гамма-процентный и назначенный ресурс

Гамма-процентный ресурс – это наработка Tγ, в течение ко-

торой объект не достигнет предельного состояния с заданной

(в процентах) вероятностью γ.

Гамма-процентный ресурс Tγ, определяется из следующего уравнения

где fT (t) – функция распределения случайной величины T – наработки до отказа.

Назначенный ресурс – это суммарная наработка объекта, при достижении которой его эксплуатация должна быть прекращена.

4.2.3. Средний, гамма-процентный и назначенный срок службы

Средним сроком службы объекта в технической литературе принято называть математическое ожидание срока службы.

Статистической оценкой среднего срока службы служит его среднее значение, вычисляемое по опытным данным.

Гамма-процентный срок службы – это календарная про-

должительность от начала эксплуатации объекта, в течение которой он не достигнет предельного состояния с заданной (в процентах) вероятностью γ.

Назначенный срок службы – это календарная продолжительность эксплуатации объекта, при достижении которой его при-

35

менение по назначению должно быть прекращено независимо от состояния объекта.

4.3. Показатели ремонтопригодности и их оценка

4.3.1. Вероятность восстановления в заданное время

Вероятность восстановления в заданное время t ≥ 0 – это вероятность того, что время θ восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданного времени t, т.е.

Pвос(t) = P{θ < t}.

Очевидно, что вероятность восстановления Pвос(t) – это интегральная функция распределения случайной величины θ – времени восстановления. Вероятность того, что за заданное время объект не будет восстановлен, Qвос (t) = P{θ ≥ t} = 1 – Pвос(t).

4.3.2. Среднее время восстановления

Математическое ожидание Mθ времени θ восстановления

объекта – это первый момент распределения случайной величины θ. Время восстановления – непрерывная случайная величина и ее математическое ожидание вычисляется по формуле:

где функция fθ – плотность распределения вероятностей случайной величины θ – времени восстановления объекта.

Статистическая оценка θ* времени восстановления может быть выполнена как среднее время θср восстановления по следующей формуле:

где θi – это время обнаружения и устранения i-го отказа объекта; n – объем опытных данных.

36

4.3.3. Интенсивность восстановления

Интенсивность восстановления µ(t) можно определить от-

ношением:

где P′вос(t) – первая производная функции Pвос(t). Так как Pвос(t) – функция убывающая, то интенсивность восстановления µ(t) – положительная величина.

Статистическая оценка µ* интенсивности восстановле-

ния µ(t) в точке t может быть выполнена на основании опытных данных как отношение числа образцов техники, восстановленных в единицу времени, к среднему числу образцов, исправно работающих на промежутке времени [t, t + ∆t], т.е. по формуле:

где Nср – среднее число элементов, исправно работающих на про-

межутке времени [t, t + ∆t], Nср = 0,5[N(t) + N(t + ∆t)]; ∆n – число элементов, восстановленных на этом промежутке, ∆n = ∆n(t, t + ∆t).

Статистическая оценка µ*(t) интенсивности восстановления в момент времени t есть средняя интенсивность отказов, которая показывает, какая часть элементов восстанавливается в единицу времени по отношению к среднему числу элементов, исправно работающих в этот момент времени.

4.4. Показатели сохраняемости и их оценка

Математическое ожидание MΧ срока сохраняемости

объекта – это первый момент распределения случайной величины Χ – срока сохраняемости.

Так как срок сохраняемости Χ – непрерывная величина, то ее математическое ожидание вычисляется по формуле:

37

где функция fχ – плотность распределения вероятностей случайной величины Χ – срока сохраняемости.

Средний срок сохраняемости – это статистическая оценка математического ожидания MΧ срока сохраняемости.

Средний срок сохраняемости Xср можно оценить по следующей формуле:

где χi – время исправной работы i-го объекта (i = 1, 2, …, N); N – объем опытных данных, т.е. число исследованных объектов.

Гамма-процентный срок сохраняемости – это срок сохра-

няемости, достигаемый объектом с заданной вероятностью γ, выраженной в процентах.

Гамма-процентный срок tγ сохраняемости определяется из следующего уравнения:

где функция fχ – плотность распределения вероятностей случайной величины Χ – срока сохраняемости; Fχ – (интегральная) функция распределения этой величины.

Контрольные вопросы

1.По какой формуле вычисляется вероятность безотказной работ и как оценить ее по опытным данным?

2.Как оценить частоту отказов и среднюю наработку до отказа по опытным данным?

3.Что такое гамма-процентная наработка до отказа?

4.Как вычисляется средняя наработка на отказ? Чем отличаются средняя наработка до отказа и средняя наработка на отказ?

38

5.Как определяется интенсивность отказов и как она оценивается по опытным данным?

6.Что такое ресурс объекта и как его оценить?

7.Как определяется гамма-процентный ресурс?

8.Чем отличаются назначенный ресурс и назначенный срок службы?

9.Как определяется и вычисляется вероятность восстановления объекта в заданное время?

10.Что такое среднее время восстановления?

11.Как определяется интенсивность восстановления и как она оценивается по опытным данным?

12.Перечислите показатели сохраняемости.

13.Как оценить средний срок сохраняемости по опытным

данным?

39

5. ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Распределение Бернулли и биномиальное распределение часто используются для оценки дискретных характеристик надежности, таких как число отказов технических систем. Предельный случай распределения Бернулли – распределение Пуассона – используется в тех случаях, когда система состоит из большого числа элементов.

Законы распределения непрерывных случайных величин (нормальный, показательный, Вейбулла – Гнеденко и другие) используются как модели времени безотказной работы и других непрерывных характеристик надежности.

5.1. Законы распределения дискретных случайных величин

5.1.1. Распределение Бернулли

Рассматривается испытание, в котором возможны лишь два взаимоисключающих исхода: некоторое событие A либо наступает с вероятностью p(A) = p, либо не наступает (с вероятностью q = 1 – p). Тогда число появлений события A в этом испытании есть случайная величина X, имеющая всего лишь два возможных значения: либо X = x1 = 0 с вероятностью q = 1– p, либо X = x2 = 1 с вероятностью p. Распределение такой случайной величины X называется распределением Бернулли.

Математическое ожидание MX = p, дисперсия DX = pq.

5.1.2. Биномиальное распределение

Проводится серия n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие A либо наступает с вероятностью p, либо

40