Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Methods_AP_PZ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

846.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

ln(1 x)

... 1 x 1

n 1 n

( 1)n 1 x2n 1

arcctgx

...

2n 1

n 0

( 1)n 1

arctgx

... x 1

(2n 1)x2n 1

3x3

5x5

n 0

2 x

( 1)n x2n 1

arctgx

...

n 0

2n 1

e x2

( 1)

1 x2

...

n 0

( 1)n x2n

cos x

...

(2n)!

n 0

sin x

( 1)n x2n

...

(2n 1)!

n 0

(x 1)2n 1

x 1

(x 1)3

(x 1)5

ln x 2

... x

2n 1

n 0 (2n 1)(x 1)

3(x 1)

5(x 1)

( 1)n (x 1)n 1

(x 1)2

(x 1)3

ln x

(x 1)

...0 x 2

n 0

(x 1)n 1

x 1

(x 1)2

(x 1)3

ln x

... x

1)(x 1) n 1

2x2

3x3

n 0

1 3 ... (2n 1) x2n 1

1 3 x5

arcsin x x

...

2 4 ... 2n (2n 1)

4 5

n 1

arccos x (x 1 3 ... (2n 1) x

2n 1

) x

1 3 x

... x 1

n 1 2

4 ... 2n (2n

2 3

2 4 5

1 x

( 1)

(2n)!

xn 1 x x

... x 1

n 0 (1 2n)n!2 4n

2 8 16

sin x

( 1)

x2n 1 x x

..., x C

n 0

(2n 1)!

( 4)n (1 4n )

2x5

tan x

x2n 1

...,

(2n)!

n 1

shx

x2n 1 x

..., x C

n 0

(2n 1)!

21				1									x	2			x		4
21	chx			1			x2n			x			x				x			..., x C
	chx						x2n			x										..., x C
	n 0 (2n)!											2!			4!
22		B				4n		(4n 1)													x3						2x5
	thx		2n									x2n 1 x																			...,				x
	thx					(2n)!						x2n 1 x									3							15			...,				x	2
	n 1					(2n)!															3							15								2
	n 1

23						( 1)				n	(2n)!														x			3			3x		5
	arshx														x2n 1					x														...,			x	1

					4n (n!)2 (2n 1)																									40
	n 0				4n (n!)2 (2n 1)																					6				40

24						1										x		3				x	5
	arthx								x2n 1 x															...,					x			1


	n 0			2n 1											3						5
				2n 1											3						5

Практична робота № 2

Елементи теорії погрішностей

2.1 Теоретичні відомості

При розв‘язанні будь-якої математичної або інженерної задачі на ЕОМ числовий результат, як правило, не є точним, оскільки при постановці задачі і виконанні обчислень виникають похибки. Тому будь-яка задача, яка пов'язана з деякими діями над числами, може бути розв'язана з певним ступенем точності.

Джерелами похибок (помилок) при виконанні інженерних розрахунків та обчислень з використанням ЕОМ можуть бути:

неточне відображення реальних процесів за допомогою математики, в

зв'язку з чим розглядається не сам процес, а його ідеалізована математична модель;

наближене значення величин, які входять в умову задачі, внаслідок їх неточного виміру. Це похибки вхідних даних, фізичних констант, чисел , е

та інші;

заміна нескінчених процесів, межами яких є шукані величини,

кінцевою послідовністю дій. Сюди відносяться похибки, що утворюються в

результаті обриву якогось нескінченого процесу на деякому етапі;

округлення вхідних даних, проміжних або кінцевих результатів, коли при обчисленнях використовується лише кінцеве число цифр числа;

крім вказаних вище випадків, похибки можуть з’являтися в результаті дій над наближеними числами. У цьому випадку похибки вхідних даних у деякій мірі переносяться на результат обчислень.

Оцінка похибки може бути виконана за допомогою:

–абсолютної похибки;

–відносної похибки;

–залишкового члена;

–статистичних оцінок.

Якщо а<А, то говорять, що число а є наближеним значенням точного числа А з недостачею; якщо а>А - наближеним значенням з надлишком.

Абсолютна величина різниці між точним числом А і його наближеним значенням а називається абсолютною похибкою наближеного числа а.

a A a

Якщо точне число А відомо, тоді абсолютна похибка наближеного числа легко знаходиться по формулі

Приклад 2.1

Нехай відомо точне число А=784,2737, а його наближене значення a=784.274; тоді абсолютна похибка

a A a |1784,2737 784,274 | 0,0003.

Відносною похибкою a наближеного числа а називається відношення абсолютної похибки a до модуля точного числа А (А 0), тобто

a Aa ,

звідки a A a .

Приклад 2.2

Число 45,3 отримано округленням. Точне значення числа невідомо,

однак, користуючись правилами округлення чисел, можна сказати, що абсолютна похибка не перевищує менше чи дорівнює 0,05.

Отже, границею абсолютної похибки (граничної абсолютної похибки)

можна вважати 0,05. Записують це так: 45,3±0,05 означає те ж саме.

Подвійний знак ± означає, що відхилення наближеного значення числа від точного можливо в обидва боки. Як границю абсолютної похибки беруть по можливості найменше число.

Значущими цифрами наближеного числа а називаються всі цифри в його десятковому зображенні, відмінні від нуля, та нулі, якщо вони є між значущими цифрами або розміщені в кінці числа і вказують на збереження

розряду точності. Нулі, що стоять лівіше першої відмінної від нуля цифри, не є значущими цифрами.

Розглянемо функцію f x1 , x2 ,...,xn , параметри якої x1 , x2 ,...,xn являють собою наближені числа з абсолютною похибкою x1 , x2 ,..., xn .

Якщо функція являє собою суму параметрів, то абсолютна похибка теж

є сумою похибок:

	n		n
Якщо	f x1 , x2 ,..., xn xi , то f		xi
	i 1		i 1
Якщо функція представляє собою добуток параметрів, то і відносна
похибка також представляє добуток:
	f x1 , x2 ,...,xn	n	n
Якщо	f x1 , x2 ,...,xn	xi , то f	xi
		i 1	i 1
Приклад 2.3
Обчислити значення		функції	y=1-cosx	для наступних значень

аргументу: 1) х = 80°; 2) x= 1°. Підрахувати граничні абсолютну та відносну похибку результату.

Розв‘язок.

1) знаходимо: соs 80° = 0,1736 і оскільки всі цифри цього числа вірні у вузькому змісті, то *cos80 0,1736 . Тоді y1 1 - cos80 1 - 0,1736 0,8264

та *y1 0,00005 (з точного числа, рівного одиниці, віднімається наближене число абсолютна похибка якого, не перевищує 0,00005).

Отже, *y1 0,00005 / 0,8264 0,00006 0,006%.

	Маємо	cos( 1 ) 0,9998;			*	0,00005;
					cos1
y2	1cos 1 1 0,9998 0,0002;		*y	0,00005;		тобто,
				2
*	0,0005 / 0,0002 0,25 25%.
y	2
	2

З наведених прикладів видно, що для малих значень аргументу безпосередній розрахунок по формулі y=1-cosx дає відносну похибку порядку 25%. Для x 80 така похибка складає всього лише 0,006%.

Змінимо чисельну схему і для обчислення значень функції y=1-cosx при малих значеннях аргументу скористаємося формулою

y 1 cos x 2 sin 2		x	.
y 1 cos x 2 sin 2			.
	2
Позначимо a sin 0 30 /				0,0087.		тоді *	0,00005;
						a
* 0,5 / 87 0,58%.
a
Але	y2 1 cos x 1 cos1				2sin2 0 30/ 2 0,00872 0,000151;
*y	2 2 a 1,16%.
2	a
В результаті отримаємо				* y		* 0,000151 0,0116 0,0000018 (а раніше
				y2	2	y2
мали *	0,00005 ). Таким			чином,		просте	перетворення розрахункової
a

формули дозволило одержати більшу точність.

2.2 Завдання на практичну роботу

Напишіть програми для оцінки точності згідно свого варіанту.

1.Машинна точність рівна 0,5 10 5 . Оцінити відносну похибку обчислення функциї f (x) x3 1x в точці x=0,95.

2.Обчислити похибку функції при заданих значеннях аргументів диференційним способом.

Функція: Z=(a-b)2/2+b, a=1.543, b=0.78.

3. Обчислити та визначити похибку результату

x abc3 , якщо a 0,142( 0,0003),b 1,71( 0,002),c 3,727( 0,001) .

4. Обрахуйте границю відносної похибки, якщо замість числа взяти число a 3.14 .

5.Обрахуйте кількість десяткових знаків, яку треба взяти в 20 , щоб похибка не перевищувала 0.1% ?

6.Знайдіть границю відносної похибки кожного з наступних чисел

(цифри вірні в строгому сенсі): 2.34, 2.340, 38.7, 0.0043, 0.02104, 86.3,

6.271012 .

7. Наближенні значення дробів 13 , 73 , 315 , 476 виражені числами 0.333,

0.428571, 0.004115, 7.8333 відповідно. Знайти границю абсолютної похибки,

границю відносної похибки кожного з наближених значень.

8. Средній радіус Землі R 6371117.673 м, площа поверхні

S 510083059.347 км2. Округлити перше з цих чисел до чотирьох, а друге – до трьох значущих цифр. Оцініть відносну похибку чисел, отриману після округлення.

9.В результаті вимірювань отримані числа: a 3.56 , b 5.2787 з

абсолютною похибкою, що не перевищує відповідно 0.03 і 0.0007. Визначте вірні цифри.

10.Нехай відомо, що всі цифри числа a 1.731 вірні. Обрахуйте границю абсолютної похибки цього числа.

11.Відомо, що a 8.993 і a 0.0007 . Визначте цифри числа a, які

вірні?

12. Наближене число a 24253 має відносну похибку 1% . Обрахуйте

кількість вірних знаків у ньому?

13. Дані наближені числа: a 4,72 0,006 ; b 12,342 0,005 ; c 23,07 0,004 ;

d 6,324 0003 .		Обчисліть u a2 b c d . Визначте граничну		абсолютну та
відносну похибки обчислень.
14. Дані наближені значення деяких чисел:
			lg 2 0,301029996 ;	1
	3 1,73205;	3 6 1,81712 ;		1	0,3183099 ;
	3 1,73205;	3 6 1,81712 ;			0,3183099 ;

sin 2020 0,3420201; 1,772454 . Для кожного з приближенных значень знайти

граничну абсолютну та відносну похибки обчислень.

15. Об’єм конуса обчислюють за формулою V 13 R2 H . В результаті вимірювань отримано наближене значення радіуса основи і высоти конуса:

R 16,4	см; H 22,6 см. Обчислити об’єм конуса, оцінити граничну
абсолютну та відносну похибки обчислень.

16.	Обчислити значення t	3	4	2	. Значення коренів взяти з трьома


		3	3	6
		3	3	6

вірними десятковими знаками. Оцініть відносну похибку обчислень.

17. Швидкість вільного падіння тіла визначається за формулою 2gh ,

де h – висота падіння, а g – прискорення вільного падіння тіла. В результаті обчислень було отримане таке значеня 23 0,1м/сек. Визначити висоту, з

якої падало тіло. Вказати граничну відносну та абсолютну похибки обчислень.

Практична робота № 3

Мови представлення алгоритмів

3.1 Теоретичні відомості

У загальному випадку алгоритм може бути заданий (представлений)

словесним описом на природній мові, таблично (автоматний опис),

формулою, рецептом, електричною схемою і т.п.

У програмуванні для подання (опису, зображення) алгоритму прийнято використовувати:

1.Природні мови (ПМ), наприклад, українська або англійська.

2.Алгоритмічні мови (АМ) високого чи низького рівня.

3.Власне мови для представлення алгоритмів, наприклад, мову

елементарних графічних блок-схем (ГМ) або мову псевдокод (ПК).

Подання алгоритму для ЕОМ на алгоритмічній мові в кінцевому рахунку виявляється громіздким і неефективним для представлення алгоритму людині, а опис на ПМ, максимально доступне і просте, в загальному випадку не забезпечує математичної строгості (однозначності) опису.

Для розробки структури програми зручно користуватися записом алгоритму у вигляді блок-схеми (ГМ), в англомовній літературі використовується термін flow-chart. Для зображення основних алгоритмічних структур і блоків на блок-схемах використовують спеціальні графічні символи. Блок вхідних та вихідних даних прийнято позначати паралелограмом, блок обчислень (обробки) даних — прямокутником, блок прийняття рішень — ромбом, еліпсом — початок та кінець алгоритму.

При виконанні схем алгоритмів і програм окремі функції відображаються у вигляді умовних графічних позначень - символів (ГОСТ

19.701-90). Символи, що найбільш вживаються, для відображення операцій алгоритму або програми приведені в таблиці A. Символи повинні бути, по можливості, одного розміру і призначаються з наступних міркувань (ГОСТ

19.003-80):

менший геометричний розмір символу (висота блоків) вибирається з ряду 10, 15, 20. мм; а = {10, 15, 20} мм;

співвідношення більшого (ширина блоків) і меншого розмірів повинне складати 1.5:b = 1.5*a;

Розміри всіх елементів символів обчислюються, виходячи із значень а і b відповідно до таблиці 3.1. Не повинні змінюватися кути і інші параметри,

що впливають на відповідну форму символів.

Таблиця 3.1 – Співвідношення розмірів символів

№	Зображення символу	Опис

		Символ «Процес» відображає функцію
		обробки	даних будь-якого вигляду
		(виконання	певної		операції	або	групи
1		операцій,	що	приводить		до	зміни
		значення,	форми		або	розміщення
		інформації або до визначення, по якому з
		декількох напрямів потоку слід рухатися)

		Символ «Рішення» відображає рішення
		або функцію типу перемикача, що має
		один вхід і ряд альтернативних виходів,
		один і лише		один	з яких	може	бути
2		активізований		після	обчислення		умов,
		визначених усередині цього символу.
		Відповідні результати обчислення можуть
		бути записані по сусідству з лініями, що
		відображають ці шляхи

		Символ	«Підготовка»			відображає
3		модифікацію команди або групи команд з
3		метою дії	на	деяку	подальшу функцію
		метою дії	на	деяку	подальшу функцію
		(установка	перемикача,			модифікація

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.2018330.24 Кб4Method-1.doc
#
11.11.2018417.28 Кб1Method-2.doc
#
17.03.20162.93 Mб32Methodichka_Shumska.doc
#
17.03.20161.53 Mб25Methods_AP_LABS_I.pdf
#
17.03.20161.05 Mб17Methods_AP_LABS_II.pdf
#
17.03.2016846.96 Кб17Methods_AP_PZ.pdf
#
16.11.2019335.36 Кб0method_3d year.doc
#
22.11.20181.14 Mб39Method_Lab_Work_ANSI_C__2010_lab1-10_v2.doc
#
12.05.2015270.78 Кб26method_SP2010.pdf
#
26.11.20196.19 Mб1metod mkr2_11_Павленко.doc
#
12.05.20152.17 Mб59metod. synthes.doc