Математика к.р 3 и 4
..pdfНомера к заданию 4.1 (продолжение)
Непосредственное интегрирование.
13. а) ∫ |
|
(5 −1 − √ ) |
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||
б) ∫ |
|
3 2 + 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) ∫ |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 − 5 |
|
||||||||||||||
15. а) ∫ |
( + 2)3 |
|
|||||||||||||
б) ∫ |
|
1 + sin |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
||||||||
в) ∫ |
(2 − 7)12 |
|
|||||||||||||
17. а) ∫ |
|
sin(12 + 2 ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) ∫ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
− |
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||
в) |
|
|
4 + |
|
|
||||||||||
19. а) ∫ |
|
|
2 + 2 |
|
|||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 − 32 |
|
|
|
|||||||||||
б) ∫ |
|
|
2 2 + 7 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) ∫ |
|
|
2 − 3 + 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
(2 − 3) |
|
Интегрирование по частям.
∫
21.( − 1)
∫
23.ln( 2 + 1)
∫
ln
25. 3
∫
27.ln( + 1)
∫
29.5 ln
∫
31.ln( + 2)
∫
33.( − 2)2
∫
35.(2 + 1) ln
∫
37.( + 5) −
14. а) ∫ |
32 +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
c√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
os3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. а) ∫ |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) ∫ |
|
(1 + ln2 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) ∫ |
(1 |
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+ tg ) |
|
|
|
|
|||||||||||
18. а) |
(√3 |
|
+ |
|
1 |
|
|
|
) |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
− |
1 |
||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 2 |
+ 1 |
|
||||||||||||||
в) ∫ |
|
√ |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||
(1 + ln )2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
20. а) ∫ |
5−2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√1 − 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) ∫ |
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 + 1 |
|
|
|
|
∫
22.cos 2
∫
24.( − 4) sin 3
∫
26.−5
∫
28.arctg
30. |
∫ |
cos2 |
|
|
|
∫
32.arctg
∫
34.( + 4) 2 −1
∫
36. (1 − ) cos 2
∫
38.arcsin
11 |
5354.ru |
Номера к заданию 4.1 (продолжение)
Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе.
39. |
∫ |
2 + 6 − 1 |
40. |
∫ |
√3 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
41. |
∫ |
5(+ 2 + 2 |
42. |
∫ |
√2 − 2 |
+ 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
43. |
∫ |
2 |
+ 4 − 1 |
44. |
∫ |
√4 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∫ |
(2 − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
45. |
√ 2 + 4 |
|
1 |
|
|
|
|
46. |
2 |
+ 8 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
47. |
∫ |
√− 2 + 8 + 3 |
48. |
∫ |
(2 |
− 2 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
49. |
∫ |
7 + 6 − 2 |
50. |
∫ |
√1 + 6 − 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
( |
− |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
51. |
4 2 + 4 + 3 |
52. |
5(− 4 + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
53. |
∫ |
√5 |
|
2 |
|
2 |
54. |
∫ |
2 + 4 + 29 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
55. |
∫ |
√3 2 |
− 6 − 1 |
56. |
∫ |
1 + 4 − 4 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
57. |
∫ |
2 |
− 6 + 3 |
58. |
∫ |
√4 |
|
|
|
10 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
(5 − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Интегрирование дробно-рациональных функций. |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
59. |
∫ |
( − 5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
60. |
∫ |
|
2( − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
(3 |
− 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
61. |
|
|
|
|
|
62. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
( + 1)( − 1)( + 2) |
( − 1)2( + 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2 + 1) |
|
|
|
|
( + 3) |
|||||||||||||||||||||||||||
63. |
∫ |
( 2 + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
64. |
∫ |
|
2 |
( + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
(6 |
− |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
65. |
|
|
|
|
|
|
66. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
( 2+ 1)( 2 |
+ 2) |
|
|
|
( − 1)( + 2)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(8 + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
67. |
∫ |
( 2 |
( − 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
68. |
∫ |
2(2 − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
69. |
∫ |
1 + 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70. |
∫ |
( − 4)( + 2)(2 + 1) |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 + 3) |
||||||||||||||
71. |
∫ |
( − 1)2 |
(3 + 5) |
72. |
∫ |
(6 3 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
73. |
∫ |
( + 2)( − 2)2 |
74. |
∫ |
(2 + 1)(3 + 1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
( |
− 5) |
||||||||||||||||
75. |
(2 + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
76. |
( |
− |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
( 2 + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
2)( 2 + 2 + 2) |
|||||||||||||||||||||
77. |
|
|
|
|
|
|
|
|
78. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
( + 2)2 |
(2 − 1) |
( + 2)( − 3)(2 + 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
− |
2) |
|
|
|
|
|
( + 4 |
− 5) |
12 |
5354.ru |
|
|
|
|
Номера к заданию 4.1 (продолжение) |
|||||||
Интегрирование тригонометрических функций. |
|
|
|
|
|||||||
79. |
∫ |
cos2 sin3 |
80. |
∫ |
|
cos3 |
|||||
81. |
∫ |
tg3 |
82. |
∫ |
sin |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
83. |
∫ |
sin2 cos3 |
84. |
∫ |
(1 + sin )2 |
||||||
85. |
∫ |
cos4 |
86. |
∫ |
1 |
+ cos |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87. |
∫ |
1 + sin |
88. |
∫ |
|
sin5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
89. |
∫ |
sin cos |
90. |
∫ |
1 |
+3 sin + cos |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
91. |
∫ |
3 cos + 2 |
92. |
∫ |
|
|
cos |
||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|||||
93. |
∫ |
|
|
94. |
∫ |
|
|
|
|||
sin4 |
|
|
ctg3 |
||||||||
95. |
∫ |
sin2 cos2 |
96. |
∫ |
1 |
+ sin2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97. |
∫ |
1 + tg |
98. |
∫ |
5 |
− 3 cos |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование иррациональных функций. Вычисление определённого интеграла.
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
99. |
∫ |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
9 √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
101. |
∫4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102. |
∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
√ + 2 |
|
|
√3 + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
103. |
∫ |
8 |
√ + 1 + 2 |
|
104. |
2 |
√3 |
1 + 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
105. |
−3 |
|
|
|
)√1 |
|
|
106. |
64 |
√ (4 + √3 |
) |
|||||||||||||||||||
∫ |
|
(2 |
|
|
|
|
∫ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−8 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
107. |
∫ |
√ |
|
|
|
|
|
|
108. |
∫ |
√ |
|
|
− |
2 |
|
||||||||||||||
2 + 3 |
|
|
|
+ 1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109. |
∫1 |
4 |
(√ + 1) |
|
|
110. |
16 |
√4 + |
√ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∫1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
5354.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номера к заданию 4.1 (продолжение) |
||||||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
2 |
||||||||||
111. |
∫ |
√ |
− 1 |
|
|
|
|
112. |
∫ |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
−11 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||
113. |
|
0 |
(4 )√1 |
|
|
114. |
3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
∫ |
(√3 2 + 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− |
3 |
√ |
|
|
|
|
− |
|
|
0 |
|
|
√4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
115. |
∫0 |
√3 |
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
116. |
∫1 |
√ |
|
+ 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
9 |
√3 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
117. |
∫1 |
|
|
|
|
|
118. |
∫4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ 2 |
|
|
√ + |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Задание 4.2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
|
|
|
|
|
|
Номера к заданию 4.2 |
|||||
119. |
= 3 2 + 1, = 3 + 7 |
120. |
+ = 2, = 3, = 0 |
||||||||
121. |
= 4 − 2, = 2 + 1 |
122. |
2 |
= 2 , + = 4, = 0 |
|||||||
123. |
= 2 |
− 2 , = 2 |
|
|
|
124. |
2 |
= 8 , = 2 |
|||
125. |
= 2 |
− 3 , = 9 − 3 |
126. |
2 |
= 1 − , + 3 = 0 |
||||||
127. |
= 2, + = 6, = 0 |
128. |
= 4 − 2, = |
||||||||
Найти длину указанной кривой. |
|
|
|
||||||||
129. |
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
= ln , |
8 ≤ ≤ |
15 |
|
|
|
130.= 2/2, = 3/3, 1 ≤ ≤ 3
131.= ( − sin ), = (1 − cos ), 0 ≤ ≤ 2
132.= ln(1 − 2), 0 ≤ ≤ 1
133.= ln(cos ), 0 ≤ ≤ 32
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, огра-
ниченной линиями. |
|
|
||||
134. |
= 2, = |
√ |
|
|
135. |
= 1, = , = 2 |
|
||||||
136. |
2 = 1 − , − = 1, = 0 |
137. |
2 = 2( − 1), = − 1 |
|||
138. |
= 2, = |
2 − |
|
|
14 |
5354.ru |
Задание 4.3
Изменить порядок интегрирования, сделать чертеж.
Номера к заданию 4.3
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
2− |
||||||||
139. |
∫0 |
∫0 |
( , ) + |
∫1 |
|
|
∫0 |
( , ) . |
||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2− 2 |
|||||||
141. |
∫0 |
∫0 |
( , ) + |
∫1 |
|
|
∫0 |
|
( , ) . |
13−
∫ ∫
143. ( , ) .
√
0 2
3
2 3+
∫ ∫
145. ( , ) .
02 2
√
12−
∫ ∫
147. |
|
|
|
|
|
|
( , ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
2+ |
|
|
4 |
|
4− |
|||||||||||||||
149. |
∫ |
∫ |
|
|
( , ) + ∫ |
∫ |
( , ) . |
||||||||||||||||
|
−2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2+ |
||||||||||
151. |
∫ |
∫ |
|
( , ) + ∫ |
∫ |
|
|
( , ) . |
|||||||||||||||
|
−2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1− |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
153. |
∫0 |
∫0 |
|
( , ) + √∫2 |
|
|
∫0 |
( , ) . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 4− 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
155. |
∫ |
∫ |
|
( , ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
3− |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
157. |
∫0 |
∫0 |
|
( , ) + ∫1 |
|
|
|
( , ) . |
∫ ∫
140. ( , ) .
0−
22−
∫ ∫
142. ( , ) .
−6 42 −1
1+6
∫ ∫
144. ( , ) .
0√2
318− 2
∫ ∫
146. |
|
|
( , ) . |
0 |
√ |
|
|
3 |
|||
1 |
3− |
||
2 |
|
|
|
∫ |
∫ |
148. ( , ) .
02
28− 2
∫ ∫
150. |
|
( , ) . |
|
−2 |
−√ |
|
|
4− 2 |
|
||
0 |
3− |
|
|
2 |
|
||
∫ |
∫ |
|
152. ( , ) .
−32 2
00
∫ ∫
154. ( , ) .
−2 2−4
12− 2
∫ ∫
156. ( , ) .
22+2
∫ ∫
158. ( , ) .
02
15 |
5354.ru |
Номера к заданию 4.3 (продолжение)
√
325− 2
∫ ∫
159. |
( , ) . |
32
∫ ∫
160. ( , ) .
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4√ |
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
+6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8− |
|||||||||||||
161. |
∫ |
∫2 |
|
( , ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
162. |
∫ |
∫ |
|
( , ) . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4− |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4− |
|||||||||||||||||
163. |
∫0 |
∫0 |
|
( , ) + |
∫1 |
∫0 |
|
( , ) . |
164. |
∫0 |
3∫ |
( , ) . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
4− 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4− 2 |
|
2 |
+2 |
||||||||||||||||||||||
165. |
∫ |
|
|
|
|
∫ |
( , ) + ∫ |
|
|
∫ |
( , ) . |
166. |
∫ |
∫ |
( , ) . |
||||||||||||||||||||||
|
− 2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4− |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
167. |
∫ |
∫ |
|
( , ) + |
∫3 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
( , ) . |
168. |
∫ |
∫1 |
( , ) . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
2 |
|
− 9− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Задание 4.4
Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии (в случае замкнутой кривой обход в положительном направлении).
Номера к заданию 4.4
169.( 2 − 2) − ( − 2) ,
|
|
|
где - окружность { |
= 5 cos |
, 0 ≤ ≤ 2 . |
= 5 sin |
170.( + ) − ( − ) ,
где - контур треугольника , где (0, 0), (2, 0), (4, 5).
171.− , где - контур треугольника , причём (1, 0), (1, 1),
(0, 1).
∫
172.( 2 − 2 ) + ( 2 − 2 ) ,
где - дуга параболы = 2, от точки (−1, 1) до точки (1, 1).
16 |
5354.ru |
∫
173.( 2 − 3 ) + ( 2 + 2 ) ,
|
= 2 sin |
, 0 ≤ ≤ 2 . |
|
где - часть эллипса { |
|||
|
= 3 cos |
|
|
∫
174.( 2 + 2) − ( 2 + ) ,
где - ломаная , причём (1, 2), (1, 5), (3, 5).
∫
175.+ ,
где - дуга параболы = 2 от точки (1, 1) до точки (25, 5).
∫
176.( 2 + 1) − ,
где - отрезок прямой от точки (1, 2) до точки (2, 4).
∫
177.( − 2) + ,
где - дуга гиперболы = 4 от точки (1, 4) до точки (4, 1).
178. |
|
2 + 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
где - окружность { |
= cos , |
, 0 ≤ ≤ 2 . |
|
|
= sin , |
179.( 2 − ) + ,
где - контур треугольника , причем (0, 2), (1, 2), (3, 0).
180.2 + 2 ,
где - эллипс = cos , = sin , 0 ≤ ≤ 2 .
∫
181.(6 − ) + ,
|
{ = 3(1 |
− cos ) |
, 0 ≤ ≤ 2 . |
где - кривая |
|||
|
= 3( |
sin ) |
|
|
|
− |
|
17 |
5354.ru |
∫
182.( 2 − 2 ) − ( + 2 2) ,
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где - кривая = |
|
|
, 1 ≤ ≤ 8. |
||||||
|
|
|||||||||
183. |
∫ |
2 − 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
≤ |
|
|
где - кривая = √3 |
|
, 1 |
|
2. |
|||||
|
|
|
|
∫
184.( + ) − ,
где - кривая = 2 , 0 ≤ ≤ 2.
2
∫
185.− ( + 2) ,
где - кривая = 2 − 2, 0 ≤ ≤ 2.
∫
186.2 − 2 ,
где - кривая = 2 , 0 ≤ ≤ 2 4
187.2 + ,
где - контур треугольника , причём (1, 2), (1, 0), (2, 3).
∫
188.( + ) − 2 ,
где - кривая 2 = + 1, 3 ≤ ≤ 8.
189.2 − ( + ) ,
где - контур прямоугольника , причём (1, 2), (3, 2), (3, 5),
(1, 5).
190. |
∫ |
+ ( − ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где - четверть окружности { |
= 5 cos , |
|
|
||
|
|
, 0 ≤ ≤ |
|
. |
||
|
= 5 sin , |
2 |
18 |
5354.ru |
∫
191.(2 − ) + 3 ,
где - дуга кривой = 4 от точки (2, 2) до точки (4, 1).
∫
192.( − 3 ) + ( + ) ,
где - дуга кривой 2 = 3 от точки (0, 0) до точки (1, 1).
193.(3 − 2) + ( + 2 ) ,
где - контур треугольника , причём (−2, 0), (1, 1), (0, 0).
194.( 2 − 2 ) + ,
где - контур четырёхугольника , причём (1, 1), (3, 1), (3, 3),
(2, 3).
∫
195.( − 1) + ,
где - дуга кривой = 2 + 3 , −1 ≤ ≤ 2.
196.( + ) − (2 − ) ,
где - эллипс = 5 cos , = 3 sin , 0 ≤ ≤ 2 .
197.(3 + + 1) − ,
где - контур треугольника , причём (1, 3), (2, 5), (−1, 1).
∫
198.( 2 + 3) + ( − 1) ,
где - дуга кривой − 3 = 2, 0 ≤ ≤ 1.
19 |
5354.ru |
Функции многих переменных. Неопределённый и определённый интегралы. Кратные и криволинейные интегралы.
Варианты контрольных работ № 3, 4
для студентов бакалавриата I курса заочного отделения. направлений подготовки: 080200 – Менеджмент, 270800 – Строительство.
Составители: Деревенский Владислав Павлович, Лабуткин Александр Георгиевич,
Шарипов Руслан Рашатович
Редактор: Н.Х.Михайлова
Редакционно–издательский отдел Казанского государственного архитектурно–строительного университета Лицензия ЛР № 020379 от 22.01.92 г.
Печатно–множительный отдел КГАСУ Лицензия № 03/380 от 16.10.95 г. 420043, Казань, Зелёная, 1.
5354.ru