Задача 11

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Необходимая для выполнения задачи выборка, объемом 25 пар значений двумерной величины, содержится в индивидуальном задании студента.

Двумерная выборка:

( 0.43; -0.68) ( -0.83; -1.38) ( -2.22; -2.30) ( -0.94; -1.33) ( -2.06; -2.30)

( -1.74; -1.42) ( -1.01; -0.76) ( -0.25; -0.34) ( -0.18; -0.42) ( -2.69; -2.47)

( -1.44; 1.04) ( 0.49; -0.91) ( -1.78; -0.49) ( -1.91; -1.55) ( -1.40; -2.35)

( -0.60; -1.40) ( -0.52; 0.14) ( -1.76; -1.49) ( -0.28; -1.56) ( -1.38; 0.04)

( -1.05; -1.24) ( -2.73; -0.53) ( 1.76; 0.62) ( 1.40; -1.28) ( -3.33; -0.44)

Решение:

Для решения задачи удобно воспользоваться приведенной ниже таблицей. Значения в 3-ем, 4-ом и 5-ом столбцах вычисляются по формулам, приведенными в первой строке таблицы. В последней строке таблицы приведены средние арифметические значений каждого из столбцов. Таким образом получены:

• оценки математических ожиданий по каждой переменной:

3,0876 (см. столбец 2),

2,516 (см. столбец 3);

• оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

17,29498 (см. столбец 4),

12,85406 (см. столбец 5);

• оценка смешанного начального момента второго порядка:

4,72216 (см. столбец 6).

Таблица 11.1

№ п/п	x	y	x^2	y^2	х*у
1	7,37	1,01	54,3169	1,0201	7,4437
2	3,78	1,49	14,2884	2,2201	5,6322
3	-0,81	5,07	0,6561	25,7049	-4,1067
4	0,55	3,42	0,3025	11,6964	1,881
5	3,32	0,68	11,0224	0,4624	2,2576
6	4,95	4,28	24,5025	18,3184	21,186
7	4,02	-3,23	16,1604	10,4329	-12,9846
8	2,22	-0,16	4,9284	0,0256	-0,3552
9	2,86	3,42	8,1796	11,6964	9,7812
10	5,43	-0,28	29,4849	0,0784	-1,5204
11	1,47	6,84	2,1609	46,7856	10,0548
12	5,24	0,45	27,4576	0,2025	2,358
13	5,59	1,59	31,2481	2,5281	8,8881
14	9,78	-0,46	95,6484	0,2116	-4,4988
15	-2,63	1,54	6,9169	2,3716	-4,0502
16	2,27	7,69	5,1529	59,1361	17,4563
17	6,13	5,42	37,5769	29,3764	33,2246
18	4,04	0,93	16,3216	0,8649	3,7572
19	4,24	3,19	17,9776	10,1761	13,5256
20	-0,59	6,88	0,3481	47,3344	-4,0592
21	-1,59	4,43	2,5281	19,6249	-7,0437
22	3,42	0,92	11,6964	0,8464	3,1464
23	2,83	2,77	8,0089	7,6729	7,8391
24	1,8	2,42	3,24	5,8564	4,356
25	1,5	2,59	2,25	6,7081	3,885
Среднее	3,0876	2,516	17,29498	12,85406	4,72216

На основе этих данных легко вычислить оценки дисперсий:

8,0851;

6,7956

и оценку корреляционного момента

-2,9764

Вычислим точечную оценку коэффициент корреляции по формуле:

-0,4015.

Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с надежностью γ = 0,95. Для этого в таблице функции Лапласа найдем значение, равное и определим значение аргумента, ему соответствующее: . Вычислим вспомогательные значения a, b:

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид

Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости:

Так как объем выборки невелик (n < 50 ), то определим значение критерия t:

_Из таблицы Стьюдента выбирается критическое значение

Так как , то гипотеза H₀ принимается, т.е. величины X и Y некоррелированны.

Вычислим оценки параметров и линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Построим диаграмму рассеивания, изобразив значения исходной двумерной выборки в виде точек с координатами на плоскости в декартовой системе координат, и линию регрессии (рис. 11.1).

Рис. 11.1 Диаграмма рассеивания и линия регрессии