Казунина Г. А
..pdf61
Пример 3.23. Найти оригинал изображения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 2 p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
i |
pe |
pt |
dp |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
p e |
pk t |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
res |
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 i |
|
p2 |
2 p 2 |
|
2 i |
|
|
2 p 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
k 1 |
p2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||
( Re pk , pk 1 i − полюсы первого порядка), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
pe |
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pe |
pt |
|
|
|
|
|
|
pe |
pt |
|
|
|
|||||||||||
res |
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Re |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 p 2 |
p 1 i |
|||||||||||||||||
p |
|
|
p 1 i |
|
p |
|
|
|
|
p 1 i |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re 1 i e( 1 i)t Re(1 i)e t eit
1 i 1
Re e t (1 i)(cos t i sin t) e t (cost sin t).
Таким образом, по известному изображению F ( p) оригинал f (t) может быть восстановлен путем вычисления интеграла обращения. Интеграл обращения может быть вычислен с применением теории вычетов. Поэтому при нахождении оригиналов обычно используют теоремы разложения, которые следуют непосредственно из формулы обращения.
3.4.3. Первая теорема разложения
Пусть изображение Лапласа F ( p) является функцией, аналитической в окрестности p , и разложение в ряд Лорана в окрестности p имеет вид
Ck
F ( p) .
k 1 pk
62
Тогда |
оригиналом является функция |
f (t) (t), где |
||||
|
|
Ck |
|
k 1 |
|
|
f (t) |
|
|
|
|||
|
|
|
t |
. |
|
|
(k 1)! |
|
|||||
k 1 |
|
|
|
Для доказательства подставим разложение F ( p) в ряд Лорана в формулу обращения:
|
1 |
i |
|
Ck |
|
|
Ck |
i |
e |
p t |
|
||||
f (t) |
|
|
|
e ptdp |
|
|
|
|
|
dp . |
|||||
2 i |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
k |
k 1 |
2 i |
|
p |
k |
|
||||
|
|
i k 1 p |
|
|
|
i |
|
|
Несобственный интеграл вычисляем, применяя теорию выче-
тов.
Особая точка p 0 является полюсом порядка k :
|
|
1 pt |
p2t2 |
... |
pk 1tk 1 |
|
pktk |
... |
||
e pt |
|
|
(k 1)! |
|
||||||
|
2! |
|
|
k! |
|
|
||||
pk |
|
|
|
pk |
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
... |
|
|
t k 1 |
|
|
t k |
... |
||||||||
pk |
pk 1 |
|
2! pk 1 |
|
|
|
p(k 1)! |
|
k! |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Непосредственно видно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt |
|
|
|
|
t |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
0 |
|
(k |
|
1)! |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
tk 1 |
|
|
|
C tk 1 |
|
|||||||||||
|
|
f (t) |
|
|
|
k |
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k 1 2 i |
|
|
|
|
|
(k 1)! |
k 1 |
(k |
1)! |
|
Пример 3.24. Найти функцию-оригинал для функцииизображения:
63
1
F ( p) e p 1.
Для восстановления оригинала f (t) (t) разлагаем функциюизображение в ряд Лорана:
F( p) 1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
... |
( 1)k |
... 1 |
|
p |
2! p2 |
3! p3 |
k! pk |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
... |
( 1)k |
... |
|
|||||||||||
|
p |
2! p2 |
|
3! p3 |
k! pk |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( 1) |
k |
|
|
|
|
|
( 1) |
k |
|
tk 1 |
|
|
t |
|
|
t |
2 |
|
|
||
Отсюда Ck |
|
, |
|
f (t) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
... . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k! |
|
|
|
|
k 1 k!(k 1)! |
|
2 |
|
12 |
|
|
Сопоставляя это разложение с формулой Маклорена:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
f (0) |
|
|
|||
f (t) f |
(0) f |
(0)t |
|
|
t |
|
..., |
2! |
|
|
|||||
получаем начальное значение функции |
f (0) 1, начальную ско- |
||||||
рость изменения функции |
|
1/ 2 . |
|
|
|
|
|
f (0) |
|
|
|
|
|
lim
p
Пример 3.25. F ( p) |
|
p 2 |
|
. |
|
|
|
||
|
p3 4 p2 |
|
||
|
|
p |
||
Функция является |
аналитической в окрестности p : |
F ( p) 0 . Разложение в ряд Лорана для такой функции можно
выполнить путем операции деления многочленов:
64
|
p+2 |
|
|
|
p3 4 p2 p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 4 p |
|
p |
2 |
2 p |
3 |
7 p |
4 ..... |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
_ 2 p 1
2 8 p 1 2 p 2
_ 7 p 1 2 p 2
7 p 1 28 p 2 7 p 3
..................................
Используя таблицу, находим
F ( p) |
1 |
|
2 |
|
7 |
... t t2 |
7 |
t3 |
... |
p2 |
p3 |
p4 |
|
||||||
|
|
|
|
3! |
|
Сопоставляя полученное выражение с разложением Маклорена, получаем
f (0) 0, |
|
1. |
f (0) |
3.4.4. Вторая теорема разложения
Пусть изображение Лапласа F ( p) является правильной дро-
бью:
F ( p) Pn ( p) ; n m.
Qm ( p)
Тогда оригиналом является функция |
f (t) (t), где |
n |
)e pk t . |
f (t) res F ( p |
|
k |
|
k 1 |
|
Сумма вычетов берется по всем особым точкам, лежащим в конечной части комплексной плоскости.
65
Если изображение F ( p) является неправильной дробью, то необходимо выделить целую часть и при нахождении оригинала использовать свойство линейности.
Доказывается вторая теорема разложения непосредственным вычислением интеграла обращения по теореме о вычетах:
|
1 |
i |
|
pt |
|
1 |
n |
pk t |
|
|
f (t) |
|
|
F ( p)e |
dp |
|
|
2 i res F ( p )e |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
2 i i |
|
|
|
2 i |
k 1 |
|
|
где вычеты берутся по всем особым точкам, лежащим в конечной части комплексной плоскости: Re p .
Покажем, как находятся оригиналы f (t) при помощи второй теоремы разложения. При этом будем рассматривать те же задачи, которые решали ранее другими методами.
Пример 3.26. F ( p) |
p 3 |
|
. |
|
|
||
|
|
||
|
p2 4 p 13 |
||
Так как дробь правильная, |
сразу находим особые точ- |
ки: p 2 3i , которые являются простыми полюсами. Сумму вычетов в комплексно сопряженных точках удобно находить по фор-
муле |
|
|
|
|
|
|
|
p t |
|
|
|
|
|
|
res F( p)e p t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
p |
i + res F ( p)e |
|
p |
|
|
i |
= |
||
|
|
|
= 2Re res F ( p)e pt p i . |
|
|
|
|
|
||||||
|
( p 3)e |
pt |
|
|
|
|
3)e |
pt |
|
|||||
|
|
|
|
( p |
|
|
|
|||||||
f (t) 2 Re res |
|
|
|
|
|
|
2 Re res |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
4 |
|
|
||||
p |
|
4 p 13 p 2 3i |
|
p 2 3i |
|
|
|
|
( 2 3i 3)e( 2 3i)t |
(1 3i)e 2t (cos 3t i sin 3t) |
|
|||||||
Re |
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 3i 2 |
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2t |
|
2t |
1 |
|
|
|||
Re |
|
|
|
( i 3)(cos 3t i sin 3t)e |
|
e |
cos 3t |
|
|
sin 3t . |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.27. F ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( p 1)( p 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
f (t) res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( p 1)( p |
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
( p 1)( p 2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
et e2t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 3.28. F ( p) |
|
|
|
|
p2 |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p( p2 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2)e |
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2)e |
pt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
( p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
f (t) res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Re res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p( p |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p( p |
|
4) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( p2 2)e pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p2 2)e pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 2)e2it |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
p2 4 |
|
|
p 0 |
|
|
|
|
p( p 2i) |
|
|
|
p 2i |
|
2 |
|
|
|
|
|
2i(4i) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 2)e2it |
1 |
|
|
|
|
|
|
( 2)e2it |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2i(4i) |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
Re(cos2t i sin 2t) |
1 |
|
|
1 |
cos2t. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 3.29. F ( p) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
( p2 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e |
pt |
|
|
|
|
|
e |
pt |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (t) res |
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
||||||||||
( p |
|
|
|
p i |
( p |
|
|
|
|
|
p i |
|
|||||||||||
|
|
e |
pt |
|
|
|
|
|
d |
|
e |
pt |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 Re res |
|
|
|
|
|
|
|
2 Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
1) |
2 |
|
|
|
dp |
|
( p |
i) |
2 |
|
|
||||||||||
( p |
|
|
|
p i |
|
|
|
|
|
|
|
p i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 Re |
|
te pt ( p i)2 |
2( p i)e pt |
|
|||||||
|
|
i)4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
( p |
|
|
|
p i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
2 Re |
te pt |
( p i) 2e pt |
|
2 Re |
t2i 2 |
eit |
|||||
|
|
( p i)3 |
|
|
p i |
|
(2i)3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Re
Пример
ti 1 |
|
|
t |
|
i |
|
|
|
|
(cos t i sin t) Re |
|
|
|
|
cost i sin t |
2i |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|
12 (sin t t cost).
3.30. F ( p) |
p2 |
|
|
. |
|
p2 4 |
p2 |
|
p2 |
4 4 |
1 |
4 |
(t) 2sin 2t. |
||
p2 4 |
p2 4 |
p2 |
4 |
|||||
|
|
|
68
Таблица 3.1
ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
f (t) |
F ( p) |
f (t) |
F ( p) |
(t) |
1 |
|
n |
|
at |
n! |
|
t |
e |
|
|||||
( p a)n 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
pF(P) f (0) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
F( p) pf (0) f (0) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a t |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
a t |
f (t) |
|
|
|
|
F( p a) |
||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t sin t |
|
|
|
|
|
2 p |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
p2 2 |
|
|
|
|
|
( p2 2 )2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
t cos t |
|
|
|
|
p2 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
p2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( p2 2 )2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
sh t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t sh t |
|
|
|
|
|
2 p |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
p2 2 |
|
|
|
|
( p2 2 )2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ch t |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
t ch t |
|
|
|
|
p2 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
p2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( p2 2 )2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
e t sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( )g(t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F( p)G( p) |
|||||||||||||
( p )2 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
cos t |
|
|
|
|
|
p |
f (0)g(t) |
|
f |
|
|
|
|
|
pG( p)F( p) |
||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( p )2 2 |
|
( )g(t )d |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t ) |
|
|
|
|
e |
p |
F( p) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
t n |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
t n , |
|
|
|
Г (n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n – неце- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
pn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
лое число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
4 . ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
4 . 1 . Р ЕШ Е НИ Е Л И Н Е ЙН Ы Х Д ИФ Ф Е Р Е Н Ц ИА ЛЬН Ы Х
УР А В Н Е Н ИЙ С П О С ТО Я Н НЫ М И К ОЭ ФФ И Ц ИЕН Т А М И
ОП Е Р А Т ОР НЫ М М Е ТО Д О М
Задача Коши для линейного уравнения
an y(n) an 1y(n 1) ... a1y a0 y x(t)
состоит в нахождении частного решения y(t) по заданным начальным условиям
|
|
, |
|
|
, ............y0 |
n 1 |
(0) |
y0 |
n 1 |
. |
|
y(0) y0, y (0) |
y0 |
y (0) |
y0 |
|
|
||||||
Полагаем, что правая часть уравнения x(t) |
и искомая функция |
y(t) являются оригиналами. Тогда для них существует преобразование Лапласа:
x(t) X ( p), y(t) Y ( p) .
Применяя правило дифференцирования оригинала
y (t) pY ( p) y(0),
y (t) p2Y ( p) py(0) y (0),
y (t) p3Y ( p) p2 y(0) py (0) y (0)
и используя свойство линейности, переходим в исходном дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям. При этом исходное дифференциальное уравнение переходит в алгебраическое уравнение относительно Y ( p) :
70
an ( pnY ( p) pn 1y0 ...y0(n 1) ) ... a0Y ( p) X ( p).
Тогда
Y ( p)(an pn an 1 pn 1 ... a0 ) X ( p) M ( p);
Y ( p) K( p) X ( p) M ( p);
K( p) an pn an 1pn 1 ...a1 p a0;
Y ( p) X ( p) M ( p) .
B этом выражении стоящий в знаменателе многочлен K ( p)
называется характеристическим многочленом, а функция выра-
жает влияние начальных условий.
Решение исходного дифференциального уравнения получаем, возвращаясь к оригиналам Y ( p) y(t) .
Пример 4.1. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка
|
|
2y 6 e |
t |
; y(0) |
2; |
|
0. |
|
|
|
|
y |
3y |
|
y (0) |
|
|
|
|||||
Переходя к изображениям Y (t) Y ( p); |
x(t) 6e t |
6 |
|
; |
|||||||
|
|
||||||||||
p 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) pY ( p) y(0) pY ( p) 2;
y (t) p2Y ( p) py(0) y (0) p2Y ( p) 2 p,
получаем операторное уравнение
p2Y ( p) 2 p 3 pY ( p) 6 2Y ( p) p6 1,
решая которое, получаем Y ( p) :