Казунина Г. А

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1) используя свойство линейности и таблицу, находим

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Пример 3.1.

Пример 3.2.

Пример 3.3.

Пример 3.4.

					b		1
L (t) e ptdt lim					e ptdt		1		, p > 0.
L (t) e ptdt lim					e ptdt			p	, p > 0.
	0		b 0					p
									1
L eat eate ptdt e ( p a)tdt									1	, p > a.

								p a
	0		0					p a
	0		0
			1
L t te ptdt			1	.
L t te ptdt				.
0			p2
L (t)		ptdt e pt

	(t)e					1.
	0					t 0
	0					t 0

3.2. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ЛАПЛАСА

Сравнение преобразований Фурье и Лапласа и условий их существования


	S( ) f (t)e i t dt;


F ( p) f (t)e ptdt		f (t)e t e i t dt
0	0

показывает, что преобразование Фурье существует для более узкого, чем преобразования Лапласа, класса функций. Требование абсолютной интегрируемости f (t) для существования преобразований Фурье не позволяет непосредственно выразить спектральную плотность таких важных функций, как (t), sin( t), cos( t), exp( t) . В то же время преобразование Лапласа для этих функций существует. Это обеспечивается наличием под знаком интеграла множителя exp( t). Но если f (t) 0 при t 0 и преобразование Фурье для f (t) существует ( f (t) абсолютно интегрируема), то оно может быть получено из преобразований Лапласа заменой переменной p i , S( ) F(i ) .

3.3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА

3.3.1. Линейность

Линейность преобразований Лапласа следует из свойств интегралов.

Пусть f (t) F( p); g(t) G( p). Тогда справедливо

L f (t) g(t) L f (t) L g(t) F( p) G( p).

На основании этого свойства легко получить преобразования Лапласа для более сложных функций, например для sin t :

						i t	e	i t		1			1						1
					e		e			1			1						1
L sin t L																											.
L sin t L												p i							p i				2			2	.
							2i			2i		p i							p i			p	2			2
																						p
Аналогично доказываются соотношения:
					p												,		L ch t							p			.
				2	2 ,							2		2					L ch t						2			2	.
L cos	t		p	2	2 ,		L sh		t		p	2		2										p	2			2
			p								p													p
3.3.2. Подобие
Для любого постоянного 0 справедливо
							f ( t)				1		p
												F				.
												F				.

Действительно,
														1						p				1				p
														1										1				p
L f ( t) f ( t)e ptdt t																		f ( )e			d					F			.
L f ( t) f ( t)e ptdt t																		f ( )e			d					F			.
		0													0
		0													0

3.3.3. Дифференцирование оригинала

Если f (t)

непрерывна при t 0, а

(t)

f (t) , f (t),

(t) , …

являются оригиналами, то справедливы соотношения:

(t) pF ( p) f (0),

(t) p

F ( p) pf (0) f (0),

F ( p) p

(t) p

f (0) pf (0) f

(0),

.....................................................................

(n)

(t)

F ( p) p

n 1

f (0) p

n 2

(n 1)

(0).

(0) .......

Действительно, интегрируя по частям, можно получить эти соотношения из определения преобразований Лапласа.

Например,


			pt		dt		dv f (t)dt v f (t);
L f (t)	f (t)e				dt		u e pt ; du pe ptdt
0							u e pt ; du pe ptdt
f (t)e pt						f (t)e ptdt pF ( p) f (0).

				p
		0			0

Здесь использовалась оценка: | f (t)e pt | Me ( 0 )t 0, t .

Примечание. Если функция имеет точки разрыва первого рода на интервале интегрирования, например функция, представленная на рис. 3.1:

f (t), 0 t T ; g(t) 0, t T ,

Рис. 3.1

то преобразование Лапласа для производной будет определяться соотношением

	pt T	T	pt	dt pF( p) f (0)	f (T )e	pT	.
L g (t) f (t)e		p f (t)e		dt pF( p) f (0)	f (T )e		.

3.3.4.Дифференцирование изображения

Дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на t . Результат получается дифференцированием по параметру р :

L f (t) F ( p) f (t)e ptdt,

F ( p) (tf (t))e ptdt,

F ( p) (t 2 f (t))e ptdt,

.................................

F (n) ( p) (( 1)n t n f (t))e ptdt.

Переходя к другим обозначениям, получаем

F ( p) tf (t),

f (t),

F ( p) t

..........................

F (n) ( p) ( 1)n t n f (t).

Пример 3.5.

Основываясь

на

известном

соотношении

sin t

получить

преобразование

Лапласа для

p2 2

f (t) t sin( t) :

2 p

t sin t

( p

)

Используя дифференцирование изображения, докажите соотношения:

tneat

;

t n

( p a)n 1

pn 1

3.3.5. Интегрирование оригинала

Интегрирование оригинала сводится к делению изображения

на p, при условии, что функция-оригинал f (t) непрерывна:

L f (t)

F ( p)

L f (t)dt

g(t)

Действительно, вводя

функцию

f (t)dt

такую, что

что g(0) 0,

и переходя к

g (t)

f (t)dt f (t) , с учетом того,

изображениям, получаем

F ( p)

L g (t) pG( p) F( p) и

G( p)

Замечание. Если функция-оригинал на интервале интегрирования имеет точки разрыва первого рода, например функция, представленная на рис. 3.2.

0,		0 t T1,
		T1 t T ,
u(t)	f (t),	T1 t T ,
0 ,		t T ,

u (t)

t T1 T

Рис. 3.2

pT1

f (T )e

, получа-

Тогда, учитывая, что L u (t) pF( p) f (T1)e

ем

f (T1)e

pT1

f (T )e

L u(t)

L f (t)

3.3.6. Интегрирование изображения

Если F ( p)dp сходится, то справедливо соотношение

f (t)

F ( p)dp.

Действительно, в области 0 имеем:

f (t)e

f (t)dt e

F ( p)dp

f (t)

e pt

e ptdt L

Рассмотрим применение свойств интегрирования оригинала и изображения для нахождения преобразования Лапласа.

Пример 3.6. Найти изображение по Лапласу функции

t	1 e
f (t)		d .
f (t)		d .
0
0
Решение проводим в 3 действия:

2) используя свойство интегрирования изображения, находим

p 1

dp ln

;

p 1

3) используя свойство интегрирования оригинала, получаем:

t	1	e
	1	e
L
L
0
0

	1		p 1
	1		p 1
d		ln		.
d		ln		.
	p		p
	p		p

3.3.7. Смещение изображения

Для любого комплексного справедливо:

L e t f (t) F( p ).

Действительно,

L e t f (t) f (t)e

( p )t dt F ( p ).

Следующие соотношения доказываются с учетом последнего

свойства:

e t sin t

;

e t cos t

( p )2

e t t n

( p )n

Соотношения

e t sin( t ) cos ( p )sin

;

( p )2

e t cos( t )

( p ) cos sin

( p )2

доказываются с использованием свойств линейности и смещения изображения.

Применение свойства смещения изображения позволяет найти оригинал по изображению.

Пример 3.7. Найти оригинал по заданному изображению:

( p 2) 2

p2 4 p 13

( p 2)2 9

p 2

cos3t

sin 3t.

( p 2)2 9

3 ( p 2)2 9

3.3.8. Запаздывание оригинала

Для любого 0 справедливо

f (t ) (t ) e p F( p),

то есть умножение изображения на экспоненту с показателем (– ) равносильно смещению оригинала на (рис. 3.3). Действительно:

f (t ) (t )

L f (t

) (t

)

f (t

t t1 f (t1)e pt1e p dt1

f (t )e pt1 dt

e p

e p F ( p).

Рис. 3.3

Пример

3.8.

Найти

изображение

по оригиналу

f (t) eb(t a) (t

a), используя свойство запаздывания оригинала.

e pa

eb(t a) (t a) p b .

Пример 3.9. Найти изображение по (рис. 3.4), задающей прямоугольный импульс:

0,	t 0,	(t)
0,	t 0,

(t) 1, 0 t ,
0,	t .
		0
		0

оригиналу функции

	t
Рис. 3.4

Предварительно представив функцию (t) через ступенчатые функции (t) и (t ) , получим изображение

	1	e p	1 e p
(t) (t) (t )				.
(t) (t) (t )				.
	p	p	p

Пример 3.10. Найдем изображение импульсной -функции Дирака. Представим -функцию как предел отношения:

(t) = lim (t) (t ) ,

получим преобразование Лапласа

L (t) = lim 1 e p = 1.

0 p

Для абсолютно интегрируемых функций из изображения по Лапласу легко получить выражение для преобразования Фурье заменой p i .

Пример 3.11. Найти преобразование Фурье функции, задающей прямоугольный импульс, рассмотренный в примере 3.9.

S ( )	= F (i ) =	1 e i		=	sin	i	1 cos	;
			i

50
		2		2cos			4sin	2	(		)
\| S( ) \|2 = F (i )F ( i ) =		2		2cos		=	4sin		(	2	)	;
\| S( ) \|2 = F (i )F ( i ) =				2		=	2					;
				2			2

	2		sin
S ( ) =				2	.
				2

Пример 3.12. Рассмотрим несколько способов нахождения преобразований Лапласа для функции, изображенной на рис. 3.5:

0,				0 < t < 1,		g(t)
						g(t)
	2		1
	2	t	1		t 4 ,
g(t) =				, 1		3
g(t) =				, 1
3			3
3			3			2
0,				t > 4.		2
0,				t > 4.		1
						1

1 2 3 4

Рис. 3.5

Способ 1. Непосредственное вычисление интеграла:

L g(t) = G( p) =	1	4	1	(2t 1)e pt	4	2e pt		4
	1	4	1	(2t 1)e pt	4	2e pt		4
		(2t 1)e ptdt =							=
		(2t 1)e ptdt =					2		=
	3 1		3	p		p	2
	3 1		3	p	1	p		1

		1	2				3	2
e	p	1	2			4 p	3	2
					+ e					.
				2	+ e				2	.
		p	3 p	2			p	3 p	2
		p	3 p				p	3 p

Способ 2. Записать функцию через единичные функции и воспользоваться теоремой запаздывания:

		1	2				3	2
e	p				e	4 p
										.
				2					2
		p	3 p				p	3 p

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.20191.76 Mб2К р № 2 для ГФ.doc
#
10.05.2015540.67 Кб65к.р. №1.doc
#
09.11.2018317.44 Кб2К2.doc
#
09.11.2018288.77 Кб3К3.doc
#
25.11.2019538.62 Кб7кабели электро.doc
#
16.03.20162.06 Mб62Казунина Г. А..pdf
#
03.05.2019143.36 Кб9КВ-АП_Эксплуатационные_свойства.doc
#
10.05.2015288.35 Кб22КДиП.pdf
#
22.11.201947.34 Кб5кейс 1.doc
#
22.11.201951.76 Кб1кейс 2.docx
#
22.11.201947.68 Кб5кейс 4.docx