Lektsii_3_semestra_po_algebre

Доказательство. Применяя предыдущее утверждение к случаю P = K, Q = L, получим j Aut KLj = n.

Далее нам понадобиться следующая вспомогательная лемма.

Лемма 2. Конечномерное векторное пространство над бесконечным полем не может быть покрыто конечным числом собственных подпространств.

Доказательство. Пусть утверждение неверно, и некоторое конечномерное векторное пространство над бесконечным полем покрыто конечным числом подпространств, отличных от самого этого пространства.

Сначала последовательно ислючим все подпространства, которые содержатся в объединении остальных. Таким образом, у нас останется конечное число собственных подпространств, в каждом из которых есть вектор, не содержащийся ни в одном из остальных.

Далее выберем по вектору vi в каждом пространстве, который не лежит в остальных.

Рассмотрим линейные комбинации

v1 + v2:

Какие-то две из них лежат в одном и том же подпространстве, так как поле бесконечно.

Это не может быть никакое подпространство, кроме первого, так как в ином случае вектор v1 (как разность двух таких векторов, умноженная на число) содержался бы в каком-то пространстве, отличном от первого.

Но первое тоже не может быть — тогда с нем лежит второй вектор. Получаем противоречие.

8

Теорема 2. Пусть G — подгруппа группы Aut KL, n = dimK L.

При этих условиях LG = K тогда и только тогда, когда jGj = n (то есть G = Aut KL).

Кроме того, если это условие выполнено, то для любых полей P и Q таких, что

K P Q L;

всякий гомоморфизм

φ : P ! L

над K продолжается до гомоморфизма

: Q ! L

ровно dimP Q способами.

Доказательство. В предложении 3 было доказано, что если jGj = n, то

LG = K.

В предложении 5 было доказано, что если LG = K, то j Aut KLj = n.

Получается, что нам достаточно доказать, что если LG = K, то G = Aut KL.

Пусть φ 2 Aut KL.

Тогда для любого 2 L элемент φ( ), как и , является корнем

многочлена

∏m

f = (x i) 2 LG[x] = K[x]

i=1

т. е. существует такой элемент g = g 2 G (быть может, зависящий от ), что φ(a) = ga.

Если поле L конечно, то в качестве возьмем элемент, порождающий группу L (которая, как мы знаем, является циклической), и тогда мы получим, что

φ = g 2 G:

9

Если же L (и, стало быть, K) бесконечно, то для каждого g 2 G положим

Lg = f 2 L : φ( ) = g g L:

g2G

Отсюда мы получаем, что на самом деле L = Lg для некоторого g 2 G.

Определение 2. Если dimK L = j Aut KLj, то L называется расширением Галуа поля K, группа Aut KL в этом случае называется группой Галуа Gal L=K.

Предложение 6. Пусть L — расширение Галуа поля K, K P L. Тогда L — расширение Галуа поля P .

Доказательство. Если L — расширение Галуа поля K. Тогда по теореме 1 для поля P такого, что

K P L

(полагаем в этой теореме Q = L), всякий гомоморфизм

φ : P ! L

над K продолжается до гомоморфизма

: L ! L

ровно dimP L способами.

В том числе, тождественный автоморфизм P ! P продолжается dimP L способами до эндоморфизма L ! L, тождественного на P . Так

10

как иделов в поле нет, то ядро каждого такого эндоморфизма должно быть нулевым, то есть он является автоморфизмом.

Значит, мы получили не менее dimP L различных автоморфизмов поля L, тождественных на P , что означает, что L — расширение Галуа поля P .

11

ЛЕКЦИЯ 22

СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

ГРУППА ГАЛУА

ВЫРАЗИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ

НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

1

СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Определение 1. Многочлен f 2 K[x] называется сепарабельным, если он не имеет кратных корней ни в одном расширении поля K.

Лемма 1. Многочлен f 2 K[x] сепарабелен тогда и только тогда, когда

(f; f′) = 1.

Доказательство. Если многочлен f имеет кратный корень в каком-то расширении поля K, то и он, и его (формальная) производная делятся на x .

Если (f; f′) ≠ 1, то какой-то неприводимый множитель h(x) многочлена f над K делит f′.

Это означает

f(x) = h(x)g1(x); f′(x) = h(x)g2(x);

при этом

f′(x) = (h(x)g1(x))′ = h(x)g1′ (x) + h′(x)g1(x) = h(x)g2(x):

Таким образом, произведение h′(x)g1(x) делится на неприводимый многочлен h(x). Значит, либо g1(x) делится на h(x), либо h′(x) = 0,

В первом случае f имеет кратный корень в каком-то расширении поля K.

Второй случай имеет место, только если char K = p > 0 и многочлен h имеет вид

h = a0 + a1xp + a2x2p + + amxmp (a0; a1; : : : ; am 2 K):

Пусть L — расширение поля K, содержащее такие элементы b0; : : : ; bm, что bpk = ak. Тогда в L[x]

h = (b0 + b1x + b2x2 + + bnxm)p:

Следовательно,в некотором расширении поля L многочлен h имеет кратный корень.

2

Следствие 1. Если char K = 0, то всякий неприводимый многочлен над полем K сепарабелен.

Доказательство. Производная многочлена (отличного от константы) над полем нулевой характеристики не бывает нулевой. Если у многочлена есть кратный корень в каком-то расширении, то (f; f′) = d ≠ 1. При этом f не может делить свою производную, откуда следует, что кратных корней нет.

Следствие 2. Если char K deg f, то всякий неприводимый многочлен над полем K сепарабелен.

Доказательство. То же самое, что и в предыдущем следствии, так как производная не будет нулевой.

Следствие 3. Если поле K конечно, то всякий неприводимый многочлен над полем K сепарабелен.

Доказательство. Пусть h — несепарабельный неприводимый многочлен над конечным полем K. Тогда он имеет вид вид

h = a0 + a1xp + a2x2p + + amxmp (a0; a1; : : : ; am 2 K):

Так как Kp = K, то существуют такие элементы b0; : : : ; bm, что bpk = ak.

Тогда в K[x]

h = (b0 + b1x + b2x2 + + bnxm)p:

Это противоречит неприводимости.

3

Упражнение 1. Приведите пример несепарабельного неприводимого многочлена.

Теорема 1. Пусть f 2 K[x] — многочлен, все неприводимые множители которого сепарабельны.

Тогда его поле разложения над K является расширением Галуа.

Доказательство. Вспомним, как мы доказывали теорему о единственности поля разложения многочлена. Данная теорема доказывается похожим образом.

Именно, пусть поле разложение L многочлена f построено как последовательность простых расширений

K = K0 K1 K2 : : :

Пусть при переходе от поля Ki 1 к его расширению Ki мы присоединяем корень неприводимого многочлена fi.

Пусть у нас имеется некоторый гомоморфизм φi 1 : Ki 1 ! L. Тогда, как мы знаем, мы можем продложить его до гомоморфизма

φi : Ki ! L

столькими способами, сколько различных корней в поле L есть у многочлена fi.

Однако у этого многочлена в поле L есть ровно deg fi корней, так как он является делителем исходного многочлена f, а L — поле разложения этого многочлена. Значит, на каждому шаге мы можем продолжать гомоморфизм, полученный из предыдущего шага, ровно deg fi способами.

Начинаем мы с тождественного гомоморфизма K ! L.

4

Таким образом, всего гомоморфизмом (которые, конечно, будут являться и автоморфизмами) можно постороить ровно

deg f1 deg f2 : : : deg fm

штук, что равно

dimK L:

Значит, L — раширение Галуа поля K.

ГРУППА ГАЛУА

Определение 2. Пусть f(x) 2 K[x], L — поле разложения f, причем L

—расширение Галуа K. Будем говорить, что группа

Gal L=K = Gal f

— группа Галуа многочлена f(x).

Определение 3. Пусть теперь L — расширение Галуа поля K. Сопоставим подгруппе H группы Галуа Gal L=K поле LH:

H 7!LH = fl 2 L j h(l) = l; 8h 2 Hg;

и, наоборот, пусть P — поле, K P L:

P 7!GP = fg 2 Gal L=K j g(p) = p; 8p 2 P g:

5

Теорема 2 (основная теорема теории Галуа). Отображения

P 7!GP

и

H 7!LH

взаимно обратны, т. е. имеет место взаимно-однозначное соответствие подполей L, содержащих K, и подгрупп группы Галуа.

Нормальным подгруппам соответствуют подполя, являющиеся расширениями Галуа поля K, и наоборот.

Доказательство. Так как L — расширение Галуа поля K, то L является расширением Галуа любого своего подполя, содержащего K (доказывали в прошлой лекции).

Отсюда следует

jGP j = dimP L; dimLH L = jHj:

Очевидно, что

LGP P:

В то же время из выписанных выше соотношений следует, что

dimLGP L = jGP j = dimP L:

Следовательно,

LGP = P:

Аналогично доказывается, что

GLH = H:

Поле P является расширением Галуа поля K тогда и только тогда, когда существует ровно

dimK P

6