Значения коэффициента Стьюдента

N \ α	50 %	60 %	70 %	80 %	90 %	95 %	99 %	99,9 %
2	1,00	1,38	1,96	3,08	6,31	12,71	63,7	637
3	0,82	1,06	1,34	1,89	2,92	4,30	9,92	31,6
4	0,77	0,98	1,25	1,64	2,35	3,18	5,84	12,9
5	0,74	0,94	1,19	1,53	2,13	2,77	4,60	8,61
6	0,73	0,92	1,16	1,48	2,02	2,57	4,03	6,86
7	0,72	0,91	1,13	1,44	1,94	2,45	4,71	5,96
8	0,71	0,90	1,12	1,42	1,90	2,36	3,50	5,40
9	0,71	0,89	1,11	1,40	1,86	2,31	3,36	5,04
10	0,70	0,88	1,10	1,38	1,83	2,26	3,25	4,78

Относительная погрешность измерений определяется по формуле:

. (2.9)

Относительная погрешность, выраженная в процентах:

. (2.10)

2.4. Абсолютная и относительная погрешности косвенных измерений

Определив погрешности прямых измерений, приступают к нахождению погрешностей косвенных измерений. Эти погрешности, в общем случае, выражаются через погрешности прямых измерений, через средние значения прямых измерений и через постоянные коэффициенты.

Допустим, нам надо определить погрешность f величины f, являющейся функцией трёх независимых переменных x, y и z. Предполагается, что величины x, y и z могут быть измерены непосредственно. Это можно сделать с помощью формулы:

. (2.11)

Здесь величины ,и– это частные производные функции f по переменнымx, y и z соответственно.

Аналогичные формулы можно записать и для другого числа переменных. Каждому независимому переменному в этой формуле под знаком корня соответствует слагаемое определённого вида.

В некоторых случаях погрешность косвенных измерений можно определять, не прибегая к общей формуле (2.11). Допустим, что независимые переменные x, y и z входят в формулу для f в качестве сомножителей с показателями степени α, β и γ соответственно, т. е.:

f = Ax^αy^βz^γ + C, (2.12)

где A и C – произвольные константы. Тогда можно утверждать, что для относительных погрешностей выполняется следующее соотношение:

ε_f = |α|ε_x + |β|ε_y + |γ|ε_z, (2.13)

причём величины α, β и γ могут быть как положительными, так и отрицательными.

Зная средние значения ,и, а также погрешностиx, y и z, с помощью этого выражения можно легко найти абсолютную погрешность измерения f. Формулу (2.13) можно обобщить для случая другого числа переменных.

Порядок определения погрешности измерений

Сначала необходимо проделать N измерений величины Х, затем определить среднее значение , затем отклонения от среднегоХ_i, затем стандартные отклонения S_X и , потом надо задать некоторую вероятность α и найти коэффициент Стьюдента. После этого находится абсолютная погрешностьХ и доверительный интервал. В случае прямых измерений можно записать окончательный результат в виде Х =  Х и указать вероятность α. Всю последовательность действий можно представить в виде схемы: Х_iХ_i  S_XХ.

В случае косвенных измерений надо произвести аналогичные расчёты для всех независимых величин и только после этого вычислить погрешность искомой величины.

Операции вычисления среднего значения и стандартного отклонения являются стандартными функциями инженерного калькулятора. Чтобы воспользоваться ими, необходимо перевести калькулятор в режим статистических вычислений.

Приведем примеры нахождения абсолютной и относительной погрешностей измерений.

Пример 1

Пусть при пяти повторных измерениях длины ℓ бруска были получены значения: ℓ₁ = 50,1 мм; ℓ₂ = 50,3 мм; ℓ₃ = 50,6 мм; ℓ₄ = 50,3 мм; ℓ₅ = 50,2 мм. Найти среднее значение, абсолютную и относительную погрешности и записать результат измерений.

Сначала посчитаем среднее значение:

.

Далее находим отклонения от среднего отдельных измерений:

Вычислим стандартное отклонение результатов единичных измерений:

Стандартное отклонение среднего:

Зададим вероятность 95 % попадания истинного значения ℓ в искомый доверительный интервал. В этом случае коэффициент Стьюдента k_{95 %,5} = 2,77. Абсолютная погрешность:

.

Относительная погрешность:

.

Окончательный результат запишем в виде:

.

Пример 2

При измерении площади поперечного сечения цилиндра массой 1 кг нашли его диаметр: D = 20  0,1 мм.

Каковы абсолютная и относительная погрешности измерений давления, оказываемого цилиндром на поверхность опоры при данной погрешности измерения диаметра?

Давление на поверхность:

относительная погрешность:

,

абсолютная погрешность

.

P_ср  31 кПа, тогда

В итоге

P = 31  0,31 кПа.

Пример 3

Для измерения объема прямоугольной пластины были измерены толщина a = 0,5  0,001 см; длина b = 100  0,1 см; ширина c = 5  0,01 см. Объем бруска

V = abc,

V_ср  а_ср b_ср с_ср = 250 см³,

В итоге V = 250  1,25 см.