Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metod_fmp

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

756.7 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

приборостроения и информатики

кафедра высшей математики

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Методические указания для студентов дневной формы обучения.

Москва 2007

Составители: к.т.н. Антонова И.И., к.т.н. Маджитова Ф.Ш., к.т.н. Маджитов Д.Ф.

УДК 517.

Функции многих переменных: методические для студентов дневной формы обучения./МГУПИ. Сост. к.т.н., Антонова И.И., к.т.н. Маджитова Ф.Ш., к.т.н. Маджитов Д.Ф..М. 2007.

Излагаются основные методы решения задач. Предназначено для самостоятельного закрепления навыков решения задач и подготовки к экзамену..

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по дневной форме обучения.

Рецензент: доц. Якобовская И.М.

Первая рассматриваемая задача по разделу «Функции многих переменных» предназначена для закрепления навыков вычисления частных производных. Прежде чем приступить к разбору задачи мы напомним некоторые основные понятия.

Если z = f (x; y) является функцией двух независимых переменных x и y, то частные производные этой функции определяются следующим образом:


∂z = lim			f (x + x; y) − f (x; y)			;
					x
∂x		x→0
	∂z	= lim		f (x; y +	y) − f (x; y)		.
	∂y
		x→0			y

Из этого определения следует следующее правило вычисления частных производных. При вычислении ∂∂xz - частной производной по переменной x

мы можем пользоваться всеми теми приемами, которые мы использовали ранее для вычисления производной функции одной переменной, считая при этом переменную y постоянной величиной. Аналогично, при

вычислении ∂∂yz - частной производной по переменной y мы можем

пользоваться всеми теми приемами, которые мы использовали ранее для вычисления производной функции одной переменной, считая при этом переменную x постоянной величиной. Студенты, которые считают, что они хорошо овладели навыками дифференцирования, могут дальнейшие пояснения пропустить и непосредственно перейти к решению задачи. Мы приведем некоторые дополнительные пояснения для тех студентов, а их, как показывает опыт, к сожалению не так уж и мало. Поэтому мы приведем пояснения, которые для некоторой части студентов покажутся тривиальными (мы заранее просим не обижаться на нас за это), но надеемся при этом, что для части студентов они окажутся полезными.

Так вот первое, что полезно запомнить.

Если z(x; y) = x , то ∂∂xz =1. (Надеемся, что вы не забыли, что для функции одной переменной (x)′ =1 ).

Кратко это запишем так ∂∂xx =1.

Если z(x; y) = y , то ∂∂xz = 0 . (Надеемся, что вы не забыли, что для функции одной переменной производная постоянной равна нулю).

Кратко это запишем так ∂∂yx = 0 .

Аналогично имеем: ∂∂yx = 0 ; ∂∂yy =1 .

Рассмотрим в начале очень простой пример.

Задача 1. z(x; y) = x3 y5 . Найти ∂∂xz и ∂∂yz .

Мы приведем два варианта решения этого примера – первый вариант для студента, который еще не вполне уверенно овладел навыками вычисления частных производных, и второй вариант для студентов, для которых вычисление частных производных не является серьезной проблемой.

Начнем с первого варианта. На всякий случай мы напомним некоторые факты, которые должны быть известны студенту после изучения раздела курса высшей математики, касающегося дифференцирования функции одной переменной. Во-первых – производная произведения (uv)′ = u′v +uv′. Во-вторых – табличную производную (xn )′ = nxn−1 . В-третьих – для

сложной функции y = u n , где u = u(x) имеем dydx = nu n−1 dudx .

Обратим внимание на тот факт, что исходная функция представляет собой произведение двух функций: первая - x3 , вторая - y5 .

Используя формулу производной произведения, получаем

∂∂xz = ∂∂x (x3 y5 )= ∂∂x (x3 )y5 + x3 ∂∂x (y5 ).

Далее воспользуемся правилами вычисления производной степенной и сложной функции:

∂∂xz = ∂∂x (x3 )y5 + x3 ∂∂x (y5 )= 3x2 ∂∂xx y5 + x3 5y 4 ∂∂yx .

Поскольку ∂∂xx =1, ∂∂yx = 0 , то получаем окончательный ответ ∂∂xz = 3x2 y5 .

Аналогично вычисляется ∂∂yz .

∂∂yz = ∂∂y (x3 y5 )= ∂∂y (x3 )y5 + x3 ∂∂y (y5 )= 3x2 ∂∂yx y5 + x3 5y 4 ∂∂yy = 5x3 y 4 .

Теперь рассмотрим второй вариант решения этой задачи для

студента, твердо овладевшего навыками вычисления частных производных.

При вычислении частной производной по переменной x он заметит, что y5 является постоянной величиной, а постоянную величину можно

выносить за знак производной. Поэтому имеем

∂∂xz = ∂∂x (x3 y 5 )= y5 ∂∂x (x3 )= y5 3x2 = 3x2 y5 .

Аналогично, при вычислении частной производной по переменной y он заметит, что x3 является постоянной величиной, а постоянную величину можно выносить за знак производной. Поэтому имеем

∂z

∂

(x3 y5 )= x3

∂

(y5 )

= x3 5y 4 = 5x3 y 4 .

∂y

Задача 2 z(x; y) =

. Найти

∂z

y 4

∂x

∂y

Первый вариант решения. На всякий случай напомним производную

′

частного.

u v −uv

. Имеем

∂z

∂

(x7 ) y 4 − x

7 ∂

( y 4 )

7x6 ∂x y 4

− x7 4 y3 ∂y

∂x

;

∂x

∂x y

(y 4 )

∂

(x7 ) y 4 − x7

∂

( y 4 )

7x6 ∂x y 4 − x7 4 y3 ∂y

∂z

− 4x

∂

∂y

= −

∂y ∂y y

(y 4 )

Второй вариант решения. При вычислении частной производной по x заметим, что y14 является постоянным множителем. Тогда

∂z

1 ∂

∂ x

) =

∂x

∂x y

производной по y заметим, что

Аналогично

при

вычислении

частной

x7 является постоянным множителем. Тогда

∂z

∂ x

7 ∂

−4

−5

4x7

= x

( y )

= x (−4) y

= −

5 .

∂y

= x

∂y

∂y y

Перейдем непосредственно к решению более сложных примеров.

Задача 3. Найти ∂∂xz и ∂∂yz , если z = e y .

Решение этого примера приведем по первому варианту. Напомним

табличную формулу производной функции одной переменной. (e x )′ = e x . Для сложной функции y = eu , где u = u(x) ,

имеем:

) = e

.Напомним также (

x )

′

. Тогда

2 x

∂z =

∂

(x5 ) y − x5

∂

( y )

= e

y ∂

= e y

∂x

( y )

(xα )′ =αxα−1 .

x y

∂x

y − x

∂y

x y 5x4

∂x

2 y

∂x

= e

∂

(x5 ) y

− x5

∂

( y )

∂z

∂

y ∂y

∂y

= e

∂y

(

y )

= e x y

∂x

y − x

∂y

(−1)x

= −e x y

x5 .

∂y

2 y

∂y = e x y

2 y

2 y3

Задача 4. Найти

∂z

, если z = x y .

∂x

∂y

Решение примера проведем по второму варианту.

При вычислении частной производной по x, считая y постоянной, воспользуемся табличной производной

Тогда ∂∂xz = ∂∂x (x y )= yx y−1 .

При вычислении частной производной по y, считая x постоянной, воспользуемся табличной производной (a x )′ = a x ln a .

Тогда ∂∂yz = ∂∂y (x y )= x y ln x .

При решении задачи аудиторной контрольной работы используются формулы нахождения частных производных сложных функций. Напомним эти формулы. В курсе дифференциального исчисления функций одной переменной для нахождения производных сложных функций использовалось следующее правило. Суть этого правила состоит в следующем. Если переменная величина y является некоторой функцией

переменной u ( y = F (u) ), а	переменная	u является в свою	очередь
функцией другой переменной	x ( u =ϕ(x) ),	то переменная y	является

функцией x ( y = F[ϕ(x)]). Для вычисления производной этой функции по x использовалась следующая формула y′ = F ′(u)ϕ′(x) или ей аналогичная

dydx = dudy dudx . Условия применимости этой формулы были изложены в

теоретическом курсе и на них мы останавливаться не будем. Соответствующие формулы существуют и для функций нескольких

переменных. Мы не будем останавливаться на условиях применимости этих формул. С ними вы можете ознакомиться при изучении теоретической части курса. Для функций двух переменных эти формулы выглядят следующим образом.

Пусть переменная z является функцией двух переменных u и v , то есть z = z(u;v) . Переменные u и v в свою очередь являются функциями

двух других переменных x и y , то есть u = u(x; y) , v = v(x; y) . Тогда для вычисления частных производных по x и y могут быть использованы следующие формулы:

∂z =

∂z

∂u

∂z

∂v

;

∂z

∂u

∂z

∂v .

∂x

∂y

∂x

∂u

∂v

∂y

∂u

∂v

∂y

Перейдем непосредственно к решению конкретных задач. Мы будем исходить из того, что, решив первую задачу, вы уже овладели некоторыми навыками вычисления частных производных.

Задача 5. Применяя правило нахождения производных сложных

∂z

функций, найти

, если

, где u = (x

+ y

) , v =

+ xy + y

∂x

∂y

z = sin

Используем приведенные выше формулы. ( Напомним (sin x)′ = cos x ). Решение приведем, предполагая, что вы еще не вполне твердо владеете навыками нахождения частных производных.

Вначале вычислим отдельно

∂z

∂u

∂v ,

∂u

∂v .

∂v

∂x

∂y

∂u

∂x

∂y

Имеем:

∂

∂z

∂

(u 4 )v2 −u

(v2 )

sin

= cos

∂u

∂u ∂u

∂u v

4u 3 ∂u v 2 −u

4 2v

∂v

(1)v

−u

2v(0)

∂u

;

= cos

∂

(u 4 )v2 −u 4

∂

(v2 )

∂z =

sin

= cos

∂v

∂v ∂v

∂v v

4u 3 ∂u v 2 −u

4 2v

∂v

(0)v

−u

2v(1)

(−2)u

∂v

;

= cos

∂u =

∂

(x3 + y 2 ) =

∂

(x3 ) +

∂

( y 2 ) = 3x2 ∂x

+ 2 y

∂y

= 3x21 + 2 y0 = 3x2 ;

∂x

∂u =

∂

(x3 + y 2 ) =

∂

(x3 ) +

∂

( y 2 ) = 3x2 ∂x

+ 2 y

∂y

= 3x2 0 + 2 y1 = 2 y ;

∂y

(

)

∂y

∂v =

∂

x2 + xy + y 2

∂

(x2

+ xy + y 2 )=

∂x

2 x2 + xy + y 2 ∂x

∂x

∂

) +

∂

(xy) +

∂

( y

)

∂x

2 x 2 + xy + y 2

								8
=	1		∂x		∂x		∂y		∂y
		2x	∂x	+	∂x	y + x	∂x	+ 2 y		=
	2 x2 + xy + y 2	2x		+		y + x		+ 2 y		=
	2 x2 + xy + y 2								∂x

(2x1 +1y + x0

+ 2 y0)=

2x + y

;

2 x 2 + xy + y 2

2 x2 + xy + y 2

∂v

∂

(

x 2 + xy + y 2 )=

∂

(x 2

+ xy + y 2 )=

∂y

2 x 2 + xy + y 2 ∂y

∂

(x2 ) +

(xy) +

( y 2 ) =

∂y

2 x2 + xy + y 2

∂x + ∂x y

+ x ∂y + 2 y ∂y

∂y ∂y

∂y

2 x2 + xy + y 2

(2x0 + 0 y + x1 + 2 y1)=

x + 2 y

2 x 2 + xy + y 2

2 x2 + xy + y 2

Теперь можем записать окончательный ответ.

∂z

∂u

∂z

∂v

(−2)u

x + 2 y

= cos

+ cos

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

2 x2 + xy + y 2

∂z

∂u

∂z

∂v

(−2)u

x + 2 y

= cos

2 y

+ cos

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

2 x2 + xy + y 2

Возможные дальнейшие упрощения полученных соотношений, мы опускаем.

Замечание. По опыту проверки работ иногда приходится сталкиваться с таким методом нахождения частных производных в данной задаче. Студент с самого начала подставляет u и v , выраженные через x и y в исходную функцию и получает функцию, зависящую только от x и y . В рассмотренной задаче это выглядело бы следующим образом

			(x3 + y 2 )4
z = sin	(		x2 + xy + y 2 )3	.

Далее, используя обычные правила нахождения частных производных, решается задача. С точки зрения практики (если, конечно, сам вид подобного примера не вызывает у вас отрицательных эмоций), такой прием возможен и найденные частные производные будут верными. Однако при решении контрольной работы это неприемлемо, поскольку в условии задания написано «Применяя правило нахождения производных сложных функций, найти ….».

Рассмотрим решение еще одного примера, но теперь глазами студента уверенно овладевшего навыками вычисления частных производных.

Задача 6. Применяя правило нахождения производных сложных функций, найти ∂∂xz и ∂∂yz , если z = ln(u 4 + v5 ), где u = x3 y 2 ,

v = xy6 .

(Напомним (ln x)′ = 1x ).

∂z

∂

[ln(u

+ v

)]=

∂

(4u

+ 0)

4u 3

)

∂u

+ v

∂u

+ v

∂u

∂z

∂

[ln(u

+ v

)]=

∂

) +

∂

5v4

) =

(0 +

) =

∂v

+ v

∂v

+ v

∂v

∂u

∂

(x3 y 2 )= y

∂

(x3 )= y 2

3x2 = 3x 2 y 2 .

∂x

∂u

∂

(x3 y 2 )= x

3 ∂

(y 2 )= x3

2 y = 2x3 y .

∂y

∂v

∂

= y

∂

−6

)= y(−6)x

−7

= −

6 y

∂x

∂v

∂

(y)=

∂y

Тогда

∂z

∂u

∂z

∂v

4u3

5v4

6 y

−

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

u 4 + v5

∂z

∂u

∂z

∂v

4u3

2x3 y +

5v4

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

u 4 + v5

4 + v5 x6

Следующий тип задач предполагает знание формулы вычисления полной производной функции. Поясним смысл этой задачи. Предположим, что задана функция трех переменных

z = z(x; y;t) . При этом, переменные x и y не являются независимыми, а являются некоторыми функциями переменной t . Тогда фактически величина z является функцией одной

переменной t . Производная этой функции по переменной t и называется полной производной и обозначается dzdt . Формула ее

вычисления имеет вид:

dzdt = ∂∂xz dxdt + ∂∂yz dydt + ∂∂zt .

Рассмотрим примеры. При решении примеров мы исходим из того факта, что, решив первые две задачи, вы овладели навыками вычисления частных производных.

+ y

Задача 7.

Найти

, если z = cos

, где x

= e

= tg2t .

Найдем вначале ∂∂xz ,

∂z

, ∂∂zt ,

. (Напомним (cos x)′

= −sin x ,

∂y

′

(tgx)

cos2 x

∂

+ y

∂

+ y

∂

∂z =

cos

= −sin

(x3

+ y 6 )=

∂x

+ y

= −sin

(3x 2 +

0)= −sin

∂z

∂

x3 + y 6

+ y 6

∂

x3 + y 6

+ y

∂ 3

+ y

∂y

cos

= −sin

∂y

+ y

6 y

= −sin

(0 + 6 y 5 )= −sin

∂z

∂

+ y 6

∂

x3 + y

+ y 6

∂ 1

cos

= −sin

+ y

)

∂t

∂t t

+ y

(−2)

+ y

2(x

+ y

)

= −sin

(x3

+ y 6 )

=sin

dxdt = dtd (e4t )= e4t 4 .

dydt = dtd (tg 2t )= cos12 2t 2 .

Тогда получаем

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.20151.42 Mб116Metodichka_2005_Excel_Word_i_Kurs_rabota_2 (3).doc
#
15.03.2016940.08 Кб7Metodichka_po_D_R_1_1_5_int.docx
#
17.12.20181.61 Mб4metodichka_po_matematike_dlja_pz.docx
#
09.04.2015803.84 Кб172Metodichka_по англ.doc
#
09.04.2015297.98 Кб6Metodich_ukazania_1.doc
#
15.03.2016756.7 Кб8metod_fmp.pdf
#
15.03.20161.81 Mб4metod_kki.pdf
#
15.03.20161.6 Mб7metod_noi.pdf
#
09.04.2015432.33 Кб18Metod_rek_k_prakt_bakal.docx
#
23.08.201965.02 Кб2Metod_ukaz_kontr_rab_5416_s_sayta_1.doc
#
10.11.20195.05 Mб2Metod_ukaz_po_dom_rab_EP_(red).doc