МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДУ

Постановка задачи

К такому виду задач сводится, например, задача об определении прогибов балки, которая на концах опирается шарнирно.

Теорема. Пусть q x , e x , z x C2 a, b ; e x 0 . Тогда существует единственное решение поставленной задачи.

Решение будем отыскивать методом конечных разностей.

Основные этапы метода конечных разностей:

1.Область непрерывного изменения аргумента a, b заменяется дискретным множеством точек, называемых

2.Искомая функция непрерывного аргумента x приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной

uh u0 ,..., un . Функция uh называется

сеточной.

3.Исходное дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим разностным уравнением относительно сеточной функции. Такая замена называется разностной аппроксимацией.

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, которые находятся из решения алгебраических уравнений.

80

Аппроксимация производных

Для аппроксимации первой производной можно воспользоваться формулами:

На основе формул для разностной аппроксимации первой производной можно построить разностную аппроксимацию второй производной:

производной называется разность x u n x Lhn u x .

Для определения порядка аппроксимации используется разложение в ряд Тейлора.

Рассмотрим правую разностную аппроксимацию первой производной:

81

xi u xi Lh u xi u xi ui 1h ui ,

ui 1 u xi 1 u xi h u xi hu xi h22 u xi ...

порядок аппроксимации. Аналогичные оценки можно сделать для левой разностной производной.

Центральная разностная производная имеет второй порядок аппроксимации.

Аппроксимация второй производной по формуле (6.3) также имеет второй порядок аппроксимации.

Для того чтобы аппроксимировать дифференциальное уравнение, необходимо в нем заменить все производные их аппроксимациями. Рассмотрим задачу (6.1), (6.2) и заменим в (6.1) производные:

Порядок аппроксимации исходной задачи равен 2, т.к. вторая и первая производные аппроксимированы с порядком 2, а остальные – точно.

Итак, вместо дифференциальных уравнений (6.1), (6.2) получена система линейных уравнений вида

un

82

для определения ui в узлах сетки. Матрица данной системы имеет вид:

Данная матрица является трехдиагональной, т.е. все ненулевые элементы расположены на главной диагонали и двух прилегающих к ней диагоналях. Для решения таких СЛАУ имеется экономичный метод прогонки (см. с. 31-32). Решая полученную систему уравнений, мы получим решение исходной задачи.

Для краевой задачи (6.1), (6.2) имеем: u0

2 qi h ui 1 4 2h 2 ei ui 2 qi h ui 1 2h 2 zi , i 1,..., n 1,

un

Коэффициенты СЛАУ определяются формулами:

ai 2 qi h ,ci 4 2h2ei ,bi 2 qi h, fi 2h2 zi ,i 2,...,n 1, c1 4 2h2e1 ,b1 2 q1h, f1 2h2 z1 2 q1h ,

an 0,c1 1, fn .

Условие устойчивости (условие диагонального преобладания) тогда имеет вид:

83

Или

u0 0

51u1 35u2 0, 2 15u1 51u2 35u3 0, 4 15u2 51u3 35u4 0,6

84

15u3 51u4 35u5 0,8

u5 1

Решим СЛАУ методом прогонки. Коэффициенты СЛАУ:

ai 15, i 2,3,4

c5 1, a5 0, f5 1

Прямой ход. Из первого уравнения находим:

u1 3551 u2 051,2 .

Сравнивая это выражение с основной формулой, видим, что

85

Обратный ход начинаем с известного значения функции

u5 1

Применяем прогоночное соотношение

u4 4 u5 4 0,9403 1 0,0296 0,9107

u3 3u4 3 0,9186 0,9107 0,0202 0,8164 u2 2 u3 2 0,6907

скраевыми условиями:

1u a 1u a 1 ,

2 u b 2 u b 2 ,

i , i , i const, i , i 0

В этом случае при построении разностной схемы необходимо еще аппроксимировать и краевые условия. Аппроксимация в общем виде выглядит так:

86

Мы получили СЛАУ типа (6.5) с трехдиагональной матрицей, решение которой также можно найти методом прогонки.

87