12 Дискретные случайные величины.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, в виде формулы (аналитически) и графически.
13 Непрерывные случайные величины.
Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.
В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полу¬бесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).
Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.
При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум».
15. Равномерное распределение,
прямоугольное
распределение, специальный вид
распределения вероятностей случайной
величины Х,
принимающей
значения из интервала (а
— h,
a +
h);
характеризуется плотностью
вероятности:
.Математическое
ожидание: Ех = a, дисперсия Dx = h2/3,
характеристическая
функция:
.С
помощью линейного преобразования
интервал (а
— h, a +
h)
может быть переведён в любой заданный
интервал. Так, величина Y
= (X
— a
+
h)/2h
равномерно распределена на интервале
(0, 1). Если Y1,
Y2,...,
Yn
равномерно распределены на интервале
(0, 1), то закон распределения их суммы,
нормированной математическим ожиданием
n/2
и дисперсией n/12,
при возрастании n
быстро приближается к нормальному
распределению(даже приn
=
3 приближение часто бывает достаточным
для практики).
17. Пуассона распределение,
одно из важнейших распределений вероятностей случайных величин, принимающих целочисленные значения. Подчинённая П. р. случайная величина Х принимает лишь неотрицательные значения, причём Х = kc вероятностью , k =0, 1, 2,...
(l — положительный параметр). Если независимые случайные величины X1 и X2 имеют П. р. с параметрами l1 и l2, то их сумма X1 + X2 имеет П. р. с параметрами l1 + l2. В теоретико-вероятностных моделях П. р. используется как аппроксимирующее и как точное распределение. Например, если при n независимых испытаниях события A1,..., An осуществляются с одной и той же малой вероятностью р, то вероятность одновременного осуществления каких-либо k событий (из общего числа n) приближённо выражается функцией pk(np) (математическое содержание этого утверждения при больших значениях n и1/р формулируются Пуассона теоремой). В частности, такая модель хорошо описывает процесс радиоактивного распада и многие др. физические явления. Как точное П. р. появляется в теории случайных процессов. Например, при расчёте нагрузки линий связи обычно предполагают, что количества вызовов, поступивших за непересекающиеся интервалы времени, суть независимые случайные величины, подчиняющиеся П. р. с параметрами, значения которых пропорциональны длинам соответствующих интервалов времени В качестве оценки неизвестного параметра l по n наблюдённым значениям независимых случайных величин X1,..., Xn используется их арифметическое среднее X =(X1 +... + Xn)/n, поскольку эта оценка лишена систсматической ошибки и её квадратичное отклонение минимально.