- •Федеральное агентство морского и речного
- •1.1. Сходимость числового ряда
- •Частичные суммы образуют числовую последовательность; эта последовательность может иметь конечный или бесконечный предел, либо не иметь предела.
- •1.3. Ряд, образованный геометрической прогрессией
- •1.4. Остаток ряда
- •1.5. Арифметические свойства сходящихся рядов
- •1.6. Ассоциативность сходящихся рядов
- •1.7. Признаки сравнения положительных рядов
- •1.8. Радикальный признак сходимости Коши
- •1.9. Признак сходимости Даламбера Теорема. Пусть для ряда с положительными членамисуществует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему, равный:
- •2) Ряд расходится, если .
- •1.10. Интегральный признак сходимости Коши
- •Тогда ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .
- •1.11. Знакочередующиеся ряды
- •1.12. Абсолютная и условная сходимость
1.9. Признак сходимости Даламбера Теорема. Пусть для ряда с положительными членамисуществует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему, равный:
.
Тогда: 1) ряд сходится, если ;
2) Ряд расходится, если .
Доказательство. 1. Пусть сначала . Выберем число, для которого. Тогда существует номертакой, что при всех натуральныхвыполняется неравенство
.
Отсюда последовательно получаем:
;
; (*)
; … и т.д.
Рассмотрим теперь остаток исходного ряда:
(11)
Поскольку ряд
,
образованный геометрической прогрессией со знаменателем , где, сходится (п. 1.3), то в силу неравенств (*) сходится и остаток (11), а значит, и сам ряд.
2. Если , то существует номертакой, что при всех натуральныхвыполняется неравенство
,
и общий член ряда не может стремиться к нулю. Следовательно, по необходимому признаку содимости ряд расходится. ■
Замечание. При «признак не работает»: существуют примеры как сходящихся, так и расходящихся рядов с (см. ниже п. 1.10).
Пример. По определению факториала:
при .
Рассмотрим при фиксированном ряд. Здесь. Имеем
.
Следовательно ряд сходится. По необходимому признаку сходимости отсюда следует, что
. (12)
Равенство (12) будет использовано в дальнейшем.
1.10. Интегральный признак сходимости Коши
Теорема. Пусть для ряда с положительными членами , существует функция, удовлетворяющая трем условиям:
1) при некотором натуральном функциянепрерывна на;
2) монотонно убывает на;
3) члены ряда являются значениями этой функции при це-
лых значениях аргумента: .
Тогда ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .
Доказательство. Для удобства обозначений проведем доказательство приПусть— частичная сумма ряда,—натуральное число. Поскольку функцияубывает, то при всехвыполняется неравенство:
.
Проинтегрируем его по отрезку длиной:
.
Суммируя почленно неравенства при и применяя свойство аддитивности определенного интеграла, получаем:
.
Итак,
. (*)
Если несобственный интеграл сходится и равен :,
так что при всех выполняется неравенство
,
то по левому неравенству в (*) возрастающая последовательность ограничена сверху:
;
следовательно, она имеет конечный предел, и ряд сходится.
Если же несобственный интеграл расходится:
,
то последовательность неограниченно возрастает. Тогда в силу правого неравенства в (*) имеем:; ряд расходится. ■
Примеры. 1.Гармоническим рядом называется ряд
.
Убедимся, что гармонический рядрасходится.С учетом вида общего члена ряда положими применим интегральный признак Коши. Исследуем сходимость несобственного интеграла:
.
Несобственный интеграл расходится, следовательно, гармонический ряд расходится.
2.Обобщенным гармоническим рядомназывается ряд. Исследуем сходимость обобщенного гармонического ряда при. (Приряд заведомо расходится, поскольку общий член ряда в этом случае не стремится к нулю).
При получается обычный гармонический ряд, который расходится. Пусть теперь. Снова применим интегральный признак Коши с функциейи исследуем сходимость несобственного интеграла:
.
Рассмотрим два случая:
1. Если , то показатель степени, и. Несобственный интеграл расходится, следовательно, ряд также расходится.
2. Если , то показатель степени, и. Несобственный интеграл сходится, следовательно ряд также сходится.
Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при.
Заметим, что признак Даламбера в случае обобщенного гармонического ряда приводит к :
.