Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

integral

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

385.08 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿

А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ

Интегралы.

Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

(Учебное пособие)

Ростов–на–Дону

2015

В настоящем учебном пособии подробно разбираются и предлагаются для самостоятельного решения задачи по неопределённым интегралам. Собрано более 150 задач. Пособие отражает опыт преподавания авторами курса высшей математики в институте высоких технологий и пьезотехники ЮФУ и предназначено студентам этого института.

Печатается в соответствии с решением учёного совета института высоких технологий и пьезотехники федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования ¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿.

Содержание
1	Вычисление неопределённых интегралов с помощью
	табличных	4
2	Замена переменных в неопределённом интеграле	14
3	Интегрирование по частям	27
Ответы		42
Предметный указатель		45
Список литературы		47

1Вычисление неопределённых интегралов с помощью табличных

Определение. 1.1 Функцию F (x) называют первообразной для функции f(x) в некотором промежутке, если всюду в этом промежутке F 0(x) = f(x):

Если F (x) некоторая первообразная для f(x); то совокупностью всех первообразных функции f(x) является семейство функций fF (x) + Cg ; где C - производящая постоянная.

Определение. 1.2 Совокупность всех первообразных функции f(x) называют её неопределённым интегралом и обозначают символом

f(x) dx:

Если F (x) некоторая первообразная для f(x); то

f(x) dx = F (x) + C;

где С - произвольная постоянная.

Приводимые ниже соотношения (легко проверяемые дифференцированием правых частей) образуют таблицу основных интегралов.


1.	R
	dx = x + C:
2.	x dx = x +1+1				+ C; 6= 1:
	R
3.	R
		1	dx = ln jx + aj + C:
		x+a
4.	ax dx = lnaxa + C; a > 0; a 6= 1:
	R
				R
	(в частности,				ex dx = ex + C)

sin x dx = cos x + C:

6. cos x dx = sin x + C:

sin12 x dx = ctg x + C:

dx = tg x + C:

cos

dx = a1 arctg xa + C; a 6= 0:

a2+x2

a 1

10.

dx =

a+x + C; a = 0:

11.

pa2

dx = arcsin a + C; a > 0:

a x

12.

dx = ln x +

+ a

+ C; a 6= 0:

x21+a2

13.

dx = ln

x + px

+ C; a = 0:

14. sh x dx = ch x + C:

15.	R	ch x dx = sh x + C:
16.	R	1		dx = ch x + C:
	R	sh2 x
17.		1		dx = th x + C:
		2
		ch	x

Следующие свойства позволяют (во многих случаях) свести вычисление неопределённого интеграла к табличным интегралам:

1.cf(x) dx = c f(x) dx; c = const;

R	R	R
2.	(f(x) + g(x)) dx =	f(x) dx + g(x) dx:

В приводимых ниже примерах предлагается вычислить неопределённые интегралы, представляя их с помощью подходящих преобразований подинтегральных функций в виде сумм табличных.

Пример. 1.1

tg2 x dx:

Решение.

Воспользуемся равенством 1+tg2 x = cos12 x; откуда tg2 x = cos12 x 1: Получаем

tg2 x dx =

cos2 x 1

dx =

cos2 x

dx dx = tg x x + C:

Пример. 1.2

sin4 x4 + cos4 x4 dx

Решение.

Преобразуем подинтегральную функцию следующим образом

sin4

+ cos4

= sin2

+ cos2

2 sin2

cos2

= 1

sin2

= 1

1 cos x

cos x:

Следовательно,

sin4

4 + cos4

dx =

4 + 4 cos x dx =

=	3	R
		R
	4

Пример. 1.3

dx +	1	R
		R
	4

cos x dx = 34x + 14 sin x + C:

(3 + x2)(4 + x2)

Решение.

Подинтегральную функцию представим в виде

1	=	(4 + x2) (3 + x2)	=		1	1	:
(3 + x2)(4 + x2)		(3 + x2)(4 + x2)		(3 + x2)		(4 + x2)

Значит

(3 + x2)(4 + x2) =

3 + x2	4 + x2 dx =
1	1

=	R	1	dx

		3 + x2

1	1		x		1		x
	dx = p		arctg p			arctg		+ C:
4 + x2					2		2
		3		3

Пример. 1.4

Решение.

Разделим x2 + 3x + 5 на x + 2

x2 + 3x + 5 dx x + 2

x2 +3x+5 x + 2 x2 +2x x + 1 x +5

x +2

Таким образом

следовательно,

Получаем:

x2 + 3x + 5 = (x + 1)(x + 2) + 3;


x2 + 3x + 5			= x + 1 +	3		:
	x + 2
			R	x + 2
x2 + 3x + 5				3
		dx =	x + 1 +				dx =
x + 2					x + 2

R	R	R
= x dx +		dx + 3

dx = x + 2

=x2 + x + 3 ln jx + 2j + C: 2

Пример. 1.5

R	cos 3x + 3 cos x + 5 dx

	1 + cos 2x

Решение.

Воспользовавшись формулами

cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x и 1 + cos 2x = 2 cos2 x;

находим:

cos 3x + 3 cos x + 5 dx = 1 + cos 2x

4 cos3 x 3 cos x + 3 cos x + 5 dx = 2 cos2 x

4 cos3 x + 5	dx =
2 cos2 x

	5
2 cos x +	2 cos2 x	dx =

= 2

Пример. 1.6

cos x dx +

dx		5
	= 2 sin x +			tg x + C:
cos2 x			2

Решение.

5 + sin x + 7 cos x + sin 2x 2 sin2 x dx 3 + sin x + cos x

Преобразуем числитель дроби под знаком интеграла, используя соотношения

sin 2x = 2 sin x cos x и sin2 x = 1 cos2 x;

5+sin x+7 cos x+sin 2x 2 sin2 x = 5+sin x+7 cos x+2 sin x cos x 2+cos2 x =

=3 + sin x + 7 cos x + 2 sin x cos x + 2 cos2 x =

=3 + sin x + cos x + 6 cos x + 2 sin x cos x + 2 cos2 x =

=3 + sin x + cos x + 2 cos x(3 + sin x + cos x) = (3 + sin x + cos x) (1 + 2 cos x)

Тогда

5 + sin x + 7 cos x + sin 2x 2 sin2 x dx = 3 + sin x + cos x

(3 + sin x + cos x) (1 + 2 cos x) dx = 3 + sin x + cos x

R	R	R
= (1 + 2 cos x) dx =		dx + 2 cos x dx = x + 2 sin x + C:

Пример. 1.7

10 + 6p2 sin

x + 4

+ sin 2x dx

Решение.

Преобразуем выражение под знаком корня следующим образом:

10 + 6p2 sin x +

+ sin 2x = 9 + 6p2 sin x +

+ 1 + sin 2x =

= 9 + 6p2 sin x +

+ 12

+ sin 2x =

= 9 + 6(sin x + cos x) + (sin x + cos x)

= (3 + sin x + cos x) :

(мы использовали здесь соотношения sin x + cos x = p

sin

x +

; sin 2x =

2 sin x cos x и sin2 x + cos2 x = 1). Отсюда получаем

p(3 + sin x + cos x)2 dx =

10 + 6p2 sin x + 4

+ sin 2x dx =

(3+sin x+cos x) dx = 3

dx+

sin x dx+ cos x dx = 3x cos x+sin x+C:

Пример. 1.8

x2 + 2 x2 1 p dx

x2 1

Решение.

Заметим, что

+ 2p

1 + 2p

1 = x

1 + 1 =

+ 2

+ 1 =

+ 1

С учётом этого находим:

R	p	p
	x2	+ 2 x2 1 dx =

x2 1

R x2 1 + 1

= p dx = x2 1

q
	p				2
	p	x2	1 + 1		2	dx =

	px		2
	px			1

1
1 + px2 1	dx =

=dx +

	dx
	dx	= x + ln	x + px2	1	+ C:
px2 1		= x + ln	x + px2	1	+ C:

Вычислить следующие интегралы:

1.	R	2.	R
	5x9 + 4x3 + 2 dx		3x2 + 6x + 8 dx

3.	x2	+ 2 2	dx
	R

4.	x2	x + 1 2	dx
	R

5.x3 x

3 dx

(2x 3)3 dx

R	x3 + 3x dx	R
7. (x 2)	x3 + 3x dx	8. (x 1) (2x + 3) (x + 1) dx

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.20151.44 Mб24Imperiya_kak_sudba.doc
#
13.02.201513.02 Mб6IMR_vvodnaya_Korenevsky.pdf
#
27.11.201952.22 Кб4Individualnoe_proektnoe_zadanie.doc
#
12.03.2016259.56 Кб3Info1415_L_Matrix.pdf
#
03.08.201942.64 Кб31INFORMvoprosy_i_otvety_1.docx
#
12.03.2016385.08 Кб10integral.pdf
#
13.02.201541.2 Кб7ipa2014.docx
#
17.07.2019112.13 Кб3IPO.doc
#
21.07.2019125.44 Кб2IPO.doc
#
12.03.201631.58 Кб6IRF2Plany_seminarov.docx
#
19.11.2018630.27 Кб1islam_progress.doc