Кривые второго порядка (2 семестр)

3.1.3Конус. Конические сечения

Определение 12. Конусом называется фигура, задающаяся в некоторой

Если плоскость параллельна Оху, то есть z = z0, то в сечении конуса получается эллипс. (в одном случае точка)

Если плоскость параллельна оси Оxz (или просто параллельна оси Оz),

прямую).

Таким образом, в сечении конуса плоскостью можно получить любую КВП (кроме 2 параллельных прямых).

На рисунке продемонстрированы некоторые сечения конуса.

11

3.1.4Невырожденные поверхности второго порядка

Все описанные выше ПВП (циллиндрические поверхности, пары плоскостей, конус) называются вырожденными поверхностями второго

порядка. Перейдем теперь к невырожденным поверхностям. Эллипсоид x2 + y2 + z2 = 1.

a2 b2 c2

Частный случай, если a = b = c = r, получаем уравнение x2+y2+z2 = r2сфера. В частном случае r = 0 получаем одну точку.

Заметим, что эллипс заключен внутри параллелепипеда, поскольку x a, y b, z c.

12

0. Двуполостный гиперболоид заключен внутри конуса, а однополостный вне.

Сечение гиперболоида плоскостью перпендикулярно оси Оz эллипс, параллельно ей гипербола.

13

Эллиптический парабалоид x2 + y2 = z

a2 b2

Гиперболический парабалоид xa22 yb22 = z. Жаргонное название гиперболического параболоида седло.

Сечение эллиптического (гиперболического) параболоида плоскостью, перпендикулярной оси Оz является эллипсом (гиперболой), а параллельно ей параболой.

14

3.2Приведение ПВП к каноническому виду

Пусть заданна ПВП F (x; y; z) = (x; y; z)+2l(x; y; z)+a0 = 0, и направление

(; ; ).

Определение 13. Два направления ( 1; 1; 1) è ( 2; 2; 2), называются сопряженными друг другу относительно ПВП F (x; y; z) = 0, если

a11 0 + a12( 0 + 0 ) + a13( 0 + 0 ) + a22 0 + a23( 0 + 0 ) + a33 0 = 0:

Определение 14. Направление называется особым, если оно сопряжено всем направлениям.

Определение 15. Направление (; ; ) называется главным для ПВП, если оно перпендикулярно всем своим сопряженным направлениям.

Запишем уравнение на сопряженность направлений в матричном виде.

вектор ненулевой, то сопряженные направления составляют плоскость, перпендикулярную вектору (; ; )A. Чтобы сопряженные вектора были

так же перпендикулярны исодному, необходимо и достаточно, чтобы

(; ; )jj(; ; )A.

Таким образом, направление является главным или особым тогда и только тогда, когда удовлетворяет системе уравнений:

8

<a11 + a12 + a13 = a12 + a22 + a23 =

: a13 + a23 + a33 =

При этом если напрвление особое, то = 0, иначе 6= 0. Данная система имеет ненулевое решение не для всех , а только для таких для которых

Очевидно, что любая ПВП имеет хотябы одно главное направление. Так как многочлен третей степени имеет хотя бы один корень.

Предложение 3. Для любой ПВП существует система координат

таакая, что квадратичная часть ПВП выглядит следующим образом:

1x2 + 2y2 + 3z2.

15

Proof. Как уже было сказано, у каждой ПВП есть хотябы одно главное направление. Выберем это напрвление в качестве новой оси Oz0. Тогда в

новых координатах вектор (0; 0; 1) будет главным направлением, что влечет

за собой a013 = a023 = 0 (см. систему для нахождения главного направления). То есть в новых координатах квадратичная часть ПВП примет вид: a011x02 +

2a012x0y0 + a022y02 + a033z02.

Как мы уже знаем из теории КВП в плосоксти Ox0y0 существует поворот

на некоторый угол такой, что rквадратичная форма вида a011x02 +2a012x0y0 + a022y02 примет вид: a0011x002 +a0022y002: Выберем в качестве осей Ox0 è Oy0 такие, чтобы квадратичная часть приняла вид: a011x02 + a022y02 + a033z02.

Теорема 6. Любая ПВП это: Эллипсоид, гиперболоид (одноили двуполостный), параболоид (эллиптический или гиперболичекий), конус, цилиндр (эллиптический, параболический или гиперболический), пара плосокостей (перечекающихся, параллельных или совпадающих), точка, прямая или пустое множество.

Proof. Приведем уравнение ПВП к каноничекому виду, согласно лемме мы можем считать, что уравнение ПВП имеет вид: a11x2 +a22y2 +a33z2 +2a1x+

2a2y+2a3z+a0 = 0. Пусть для начала, a11a22a33 6= 0, тогда выделяя полные квадраты по x; y и z (что отвечает сдвигу начала кординат), мы получаем следующее уравнение ПВП: a11x2 + a22y2 + a33z2 + a0 = 0. Åñëè a0 > 0, то это булет пустое множество; если a0 = 0, то либо точка (если знаки всех aii одинаковые) либо конус; если же a0 < 0, то мы получам либо эллипсоид, либо гиперболоиды.

Пусть теперь a33 = 0 è a11 6= 0 6= a22, тогда уравнение ПВП можно привести к виду: a11x2 + a22y2 = 2pz a0. Если p = 0, то это будет пара

плосокстей или прямая или цилиндр эллиптичекий или гиперболическйи (при a0 6= 0). Если p 6= 0, то это будет параболоид (эллиптический если

a11a22 > 0 , иначе гиперболический).

Пусть a22 = a33 = 0, тогда ПВП имеет вид: a11x2 + 2a1x + 2a2y + 2a3z +

a0 = 0, заменим координаты y; z таким образом, чтобы a2y + a3z = a02y0, тогда уравнение можно будет представить в виде: a11x = 2py0 a0, ýòî

пара параллельных плосокстей ( p = 0; a0 6= 0) или параболический цилиндр p 6= 0.

3.3Алгоритм приведения ПВП к каноническому виду

1. Ищем главные направления. Сначала находим возможные , а затем для каждого находим вектор. Делим каждый вектор на свою длину, для того,

чтобы сделать эти вектора векторами i; j; k. Пусть vi = (xi; yi; zi) i = 1; 2; 3 три вектора, задающих главные направления и имеющие длину 1.

Если вектора нельзя выбрать однозначно, то выбираем их так, чтобы они были ортогональны.

2. Делаем замену переменной так, чтобы новые оси были параллельны

16

главным направлениям, то есть:

8 x = x1x0 + x2y0 + x3z0

<

y = y1x0 + y2y0 + y3z0

:z = z1x0 + z2y0 + z3z0

После этого уравнение ПВП должно принять вид: a011x02 + a022y02 + a033z02 + 2a01x0 + 2a02y0 + 2a03z0 + a0 = 0.

3.Åñëè a11 6= 0, то выделяя полный квадрат по x0, добиваемся чтобы a001 = 0 и тоже самое проделываем для всех остальных переменных.

4.Если у нас остались слагаемые вида a01x0 + a02y0, то делаем замену:

5. Теперь каждая переменная входит в уравнение ПВП не более одного

раза. Осталось только выяснить что же это такое. Ура!

ПРИМЕР: 5x2 + 2y2 + 5z2 4xz 4yz 2zx + 10x 4y + 2z + 4 = 0:

3.4Большая таблица типов ПВП

17