Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2015_4488

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

842.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

распределения известна, то вероятность попадания случайной величины x в интервал (x1 ... x2 ) в конкретном наблюдении равна

P{x1 x x2} P(x2 ) P(x1).

(3.2)

На практике чаще используют дифференциальную функцию распределения – плотность вероятности:

f (x) dP .	(3.3)
dx

Она имеет физическую размерность, обратную размерности величины x и также позволяет рассчитывать вероятность попадания слу-

чайной величины в интервал (x1 ... x2 ) :

x2
P{x1 x x2}	f (x) dx .	(3.4)
x1

Функция f (x) подчиняется условию нормировки: вероятность попадания в интервал всей области определения равна единице:

	f (x) dx 1
	f (x) dx 1	(3.5)

(или 0)

(вдальнейшихформулах предполагается областьопределения ( , )).

Интегральными характеристиками распределения случайной величины является математическое ожидание или генеральное среднее

M{x}
M{x}	x f (x)dx ,	(3.6)

первые моменты k-го порядка:

D{x} m2	[x M{x}]2 f (x)dx – дисперсия,
D{x} m2	[x M{x}]2 f (x)dx – дисперсия,		(3.7)

	m3	[x M{x}]3 f (x)dx,
	m3	[x M{x}]3 f (x)dx,	(3.8)


			m4 [x M{x}]4 f (x)dx

и производные от них:
A{x}	m3		– асимметрия,
A{x}		3/2	– асимметрия,
	(m2 )
E{x} m4		3	– эксцесс.
	m2
	2

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно ее математического ожидания. Асимметрия характеризует симметричность распределения относительно M{x} . Положительная

асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону, большую M{x} . Эксцесс характеризует остроконечность или сглаженность

вершины плотности вероятности распределения. Кроме этого используются характеристики:

мода ( md ) – значение x , при котором f (x) имеет максимум;

медиана ( m ) – значение x , делящее площадь под распределением f (x) пополам.

Наиболее простым является равномерный закон распределения, при котором плотность вероятности постоянна:

f (x) f const .

При этом условие нормировки требует, чтобы область определения этой величины (a, b) была ограниченной так, чтобы f (b a) 1 . При

этом f b 1 a .

Наиболее распространенным в практике измерения физических величин является нормальный или гауссов закон распределения

f (x)	1		(x )2		(3.12)
		exp
		exp		2
	2		2	2
	2		2
		22

с параметрами и . Для этого закона:

					1						(x )2
		M{x}					x exp										2		dx ;
		M{x}					x exp												dx ;
														2
					2									2
				1											(x )2
	D{x}					(x )2 exp														dx 2 ;
	D{x}					(x )2 exp												2		dx 2 ;
																2		2
				2												2
		1							(x )				2
m		1		(x )3 exp					(x )							dx		0 ;			A{x} 0 ;
m				(x )3 exp							2					dx		0 ;			A{x} 0 ;
3									2		2
	2								2
	1							(x )				2
m	1		(x )4 exp					(x )						dx 3 2 ;							E{x} 0 ;
m			(x )4 exp											dx 3 2 ;							E{x} 0 ;
4									2	2
	2								2
					md ;					m .

График функции плотности вероятности гауссова распределения показан на рис. 3.1. Функция имеет максимум в точке x . Пара-

метр 2 характеризует разброс случайной величины вокруг математического ожидания , поэтому чем больше 2 , тем более растянута вдоль оси x функция f (x) . Так как эта функция подчиняется условию

нормировки (3.5), площадь под каждой из кривых одинакова и равна единице.

Другими самыми распространенными статистическими распределениями являются t-распределение Стьюдента и χ2-распределение Пирсона.

t-распределение Стьюдента имеет вид

	1					1
					2
				x		2
		2				2
f (x)		2	1				,	(3.13)
f (x)			1				,	(3.13)


	2

где – параметр распределения, называемый числом степеней свободы;

(x ) e t t x 1 dt – гамма-функция.

График t-распределения Стьюдента при различных значениях параметра представлен на рис. 3.2.

0.4	f(x)
	f(x)				= 1
					= 1
0.3
0.2
					= 2
0.1							= 3
							= 3
0.0
4		6	8	10	12	14	x	16
							x
Рис. 3.1. Кривые плотности нормального распределения
		для различных значений дисперсии 2
0.45
0.40
0.35	f(x)				= 10
0.30	f(x)				= 5
					= 5
					= 2
0.25				= 1	= 2
				= 1

0.20
0.15
0.10
0.05
0.00	-3	-2	-1	0	1	2		3
	-3	-2	-1	0	1	2		3
				x
Рис. 3.2. Кривые плотности распределения Стьюдента
		при различных значениях параметра
				24

При	распределение Стьюдента переходит в нормальное с
параметрами = 0 и = 1.
Распределение Пирсона ( 2 ) имеет плотность вероятности:
	f (x)		1			x	/2 1		x	;	x	2	0 ,	(3.14)
	f (x)					x		exp		;	x		0 ,	(3.14)
	2	/2							2
	2			2
				2
где – параметр распределения (число степеней свободы) (рис. 3.3).
	0.30
	0.25		= 2
	0.25
	f(x)
	0.20				= 4
					= 4
	0.15						= 6
	0.15								= 8
									= 8
	0.10
	0.05
	0.00
	0		2				4	6	8	10	12		14
								x
	Рис. 3.3. Кривые плотности распределения Пирсона
		при различных значениях параметра

Распределения Стьюдента и Пирсона используются при оценке доверительных интервалов величин, имеющих нормальный закон распределения.

Распределение Фишера F имеет плотность вероятности:

		m n				m
f (x)			2		m	2
					n
	m			n	n
		2		2

	m	1
	x 2			;	0 x .
1	m x		m n	;	0 x .
1	m x		2
	n

1.2
1.0	f(x)
1.0	m=1; n=2;
	m=1; n=2;
0.8	m=2; n=4;
	m=2; n=4;
0.6		m=3; n=5;
0.6
0.4			m=4; n=6;
0.4
0.2
0.0
0.0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
			x
Рис. 3.4. Кривые плотности распределения Фишера
при различных значениях параметров m и n

Параметрами этого распределения являются m и n.

Распределение Фишера используется для сравнения дисперсий случайных величин, распределенных по нормальному закону. График распределения показан на рис. 3.4.

3.3. КВАНТИЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Функции распределений f (x) позволяют по формуле (3.4) вычис-

лить вероятности попаданий случайной величины в заданный интервал. На практике часто необходимо решить обратную задачу – вычислить интервал, в котором с заданной вероятностью будет лежать случайная величина. Верхняя граница этого интервала называется кван-

тилем соответствующего распределения. Иными словами, квантиль есть корень уравнения:

F( )		f (x) dx P 0 .
F( )		f (x) dx P 0 .	(3.15)
	или 0

Квантиль есть функция параметров распределения и заданной вероятности P . Квантиль распределения Стьюдента (его обычно обозначают t )

будет функцией двух переменных –				t( , P) . Аналогично квантиль рас-
пределенияПирсона 2 есть функцияэтих жепеременных: 2 ( , P).
0.45
0.40
0.35	f(x)
0.30
0.25
0.20			P = 0.9
0.15			P = 0.9
0.15
0.10
0.05
0.00	-3	-2	-1	0	1	2	x	3
	-3	-2	-1	0	1	2	x	3
					t = 1.372

Рис. 3.5. Квантиль распределения Стьюдента
		при 2 для P = 0.9
0.15
	f(x)
0.10
		P = 0.9
0.05
0.00							14 x
0	2	4	6	8	10	12	14 x
					2=10.645
Рис. 3.6. Квантиль распределения Пирсона
		при 6 для P = 0.9
				27

Квантиль распределения Стьюдента при 2 , соответствующий уравнению (3.15) для вероятности P 0.9 , показан на рис. 3.5. Значе-

ние квантиля (он обозначен как t ) равно 1,372.			Площадь под распре-
делением	слева от	этого значения составляет	P 0.9 , а справа –
1 P 0.1.	На рис.	3.6 показан квантиль распределения Пирсона для

6 и P 0.9 . Его значение составляет 10,645.

3.4. ОЦЕНКА ИНТЕРВАЛОВ

Во многих задачах статистики необходимо определить интервал, в который случайная величина попадает с заданной вероятностью. При этом может производиться односторонняя оценка (сверху или снизу) или двухсторонняя.

Если проводится односторонняя оценка сверху, то искомая граница x и есть квантиль:

x ..., P .

Для односторонней оценки снизу нужно вычислить квантиль с параметром вероятности 1 P :

x ...

,1 P .

При вычислении двухсторонних границ интервала слева от нижней границы и справа от верхней должны получиться одинаковые площади

под распределением, равные 1 2P . Следовательно, границы x1 и x2 могут быть вычислены через квантили

x	...,		1 P			.		(3.16)

1					2

x		...,		1	P		.	(3.17)

2					2

Многоточием обозначен список параметров распределения, который для каждого конкретного распределения может быть различным.

Например, необходимо вычислить границы t1 и t2 , в которые ве-

личина t , подчиняющаяся распределению Стьюдента при 2 , попадает с вероятностью P 0.9 :

0.45
0.40
0.35	f(x)
	f(x)
0.30
0.25
0.20			P = 0 .9
0.15			P = 0 .9
0.15
0.10
0.05
0.00						x
-3	-2	-1	0	1	2	x	3
	t1	= -1.812		t2	= 1 .812
Рис. 3.6. Двухсторонние границы распределения Стьюдента
		при 2 для P = 0.9
0.15

f(x)

0.10

P = 0 .9

0.05

0.00

0	2	4	6	8	10	1 2	1 4	x
2	= 1 .6 3 5					2	= 1 2 .5 9 2
1						2

Рис. 3.7. Двухсторонние границы распределения Пирсона при 6 для P = 0.9

	t	t	,1 P t				2,1			0,9	t 2,	0.05 1,812 ,
	1				2					2
					2					2
	t2				1 P			2,	1 0,9
	t2	t ,			2	t		2,		2	t 2, 0.95 1,812 .
					2					2
Для распределения Пирсона при 6 и												P 0.9 границы		2	и	2.
будут равны:														1		2
будут равны:
2	2		,1 P 2					6,1 0,9 2 6,					0.05 1,635 ,
1					2					2
					2					2
22				1	P					1 0,9		6,	0.95 12,592 .
22	2 ,				2	2 6,				2	2	6,	0.95 12,592 .
					2					2

Эти значения границ показаны на рис. 3.6 и 3.7.

3.5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ MathCAD И Excel

Самым лучшим пакетом, предназначенным для решения статистических задач, является специализированный пакет Statistica. Но и программы более широкого применения – MathCAD и Excel имеют ряд статистических функций.

Функции MathCAD, соответствующие рассмотренным выше задачам, следующие:

для расчета интегральных функций распределения P(x) :

punif(x,a,b) – функция равномерного распределения;

pnorm(x, , ) – функция нормального распределения;

pt(x, ) – функция распределения Стьюдента;

pchisq(x, ) – функция 2 -распределения Пирсона;

pF(x,n,m) – функция распределения Фишера;

для расчета функций плотности вероятности f (x) dPdx :

dunif(x,a,b) – плотность вероятности равномерного распределения;

dnorm(x, , ) – плотность вероятности нормального распределения;

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.20162.05 Mб352014_bukina.pdf
#
27.03.20151.55 Mб1032014_ivleva.pdf
#
11.03.2016857.19 Кб92014_nedeliko.pdf
#
11.03.20165.87 Mб2652014_velichko.pdf
#
11.03.20162.86 Mб192014_zinov6.pdf
#
11.03.2016842.4 Кб172015_4488.pdf
#
11.03.20161.69 Mб362015_zinoviev.pdf
#
18.08.2019229.38 Кб520589_пз .doc
#
27.03.201529.7 Кб27210201.65 Технология РЭС 5 курс РК6-81 экз.doc
#
04.05.2019683.52 Кб321_Itogovaya_Volodya.doc
#
12.09.201922.25 Кб222 Принятие логист.docx