Определение скорости полета снаряда с помощью баллистического крутильного маятника
.docxОпределение скорости полета снаряда с помощью баллистического крутильного маятника
ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Моментом импульса материальной точки относительно некото-рого центра О называется векторное произведение , где радиус-вектор материальной точки, проведенный из центра О (рис. 5.1), импульс материальной точки. Величина момента импульса равна , где α – угол между векторами и.
Проекция вектора , на ось Z , проходящую через точку 0, называется моментом импульса материальной точки относительно этой оси
Рис. 5.1 |
Для твердого тела, вращавшегося вокруг неподвижной оси, момент импульса определяется выражением , где J – момент инерции тела относительно оси вращения, ω – угловая скорость вращения.
Момент импульса системы тел определяется выражением
, (5.1)
где момент импульса i-го тела. Известно, что производная по времени от момента импульса механической системы равна моменту внешних сил, действующих на эту систему:
, (5.2)
где момент внешних сил. Это утверждение в механике называют законом изменения момента импульса (II законом Ньютона для вращательного движения). Если система замкнутая, то равен нулю, и момент импульса системы остается постоянным. Это утверждение называют законом сохранения момента импульса.
Закон сохранения момента импульса относительно некоторой оси формулируется следующим образом: если момент внешних сил, действующих на систему относительно некоторой оси равен нулю, то момент импульса системы по отношению к той же оси остается постоянным.
Приборы и принадлежности: баллистический крутильный маятник FРМ-09 или унифилярный подвес с пушкой ФМ 15.
Теория метода и описание прибора
Метод измерения скорости полета снаряда основан на законе сохранения момента импульса относительно некоторой оси.
Пусть снаряд массой m, движущийся со скоростью V, попадает в неподвижное уравновешенное твердое тело на расстоянии l от оси вращения и застревает в нем. Применение закона сохранения момента импульса относительно оси вращения дает следующее соотношение
(5.3)
Рис. 5.2 |
До столкновения с телом моментом импульса обладал лишь снаряд после столкновения , где момент инерции тела вместе со снарядом. По закону сохранения момента импульса L0 = L.
Зная m, l, J, , можно определить скорость снаряда: |
. (5.4)
Сразу после соударения снаряда крутильный маятник обладает только кинетической энергией
. (5.5)
По достижении максимального отклонения из положения равновесия маятник останавливается, его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию упругой деформации закрученной проволоки
, (5.6)
где f – модуль кручения проволоки; J – момент инерции маятника вместе со снарядом; наибольшее значение угловой скорости маятника; 0 – наибольший угол отклонения маятника из положения равновесия.
Приравнивая выражения (5.5) и (5.6) (по закону сохранения энергии), находим
. (5.7)
Тогда выражение (5.4) для скорости снаряда примет вид
. (5.8)
С другой стороны, движение маятника после попадания в него снаряда описывается основным законом динамки вращательного движения:
, (5.9)
где Mупр = – f – момент сил упругости закрученной проволоки.
Так как угловое ускорение ε – вторая производная от угла поворота по времени, то мы приходим к дифференциальному уравнению колебательного движения маятника:
или . (5.10)
Это дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний. Решением этого уравнения является функция
. (5.11)
Выражение (5.11) будет удовлетворять уравнению (5.10) (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой) лишь в том случае, когда
. (5.12)
Подставляя в (5.8) выражение для момента инерции из (5.12), получим
. (5.13)
Специальная методика измерения скорости V позволяет исключить модуль кручения f из формулы (5.13).
Пусть снаряд был выпущен из стреляющего устройства, когда перемещаемые грузы находились на расстоянии R1 от оси вращения. В этом положении момент инерции маятника
,
следовательно, период колебаний составит
. (5.14)
После перемещения грузов до расстояния период изменится:
, (5.15)
где J0 – момент инерции маятника без грузов; M – масса одного груза.
Из соотношений (5.14) и (5.15) можно получить следующее выражение для f:
. (5.16)
Подставляя выражение (5.16) в формулу (5.13) для с учетом того, что T = T1, получим
. (5.17)
В формуле (5.17) величины M, m, l – задаются, а величины T1, T2, R1, R2, 0 измеряются.
Рис. 5.3 |
Порядок выполнения работы и обработка результатов
измерений
-
Включить сетевой шнур измерителя в питающую сеть.
-
Нажать переключатель СЕТЬ, проверяя, все ли индикаторы измерителя высвечивают цифру нуль, а также светится ли лампочка фотоэлектрического датчика.
-
Максимально отдалить друг от друга грузы.
-
Установить маятник в таком положении, чтобы черта на мисочке показывала угол отклонения α = 0.
-
Выстрелить снаряд из стреляющего устройства.
-
Измерить максимальный угол отклонения маятника α0.
-
Включить и обнулить счетчик времени.
-
Отклонить маятник на угол α0, включить секундомер и отпустить маятник.
-
Измерить время для двадцати колебаний и вычислить Т1. Пункты 5 – 9 повторить три раза.
-
Максимально приблизить друг к другу грузы М и повторить действия согласно пунктам 4, 7, 8 (исключая пункты 5,6).
-
Измерить время для двадцати колебаний и вычислить Т2. Измерения провести по три раза. Результаты измерений занести в табл. 5.1. Скорость вычислить по формуле (5.17).
Таблица 5.1
α0 |
R1 |
t1 |
T1 |
R2 |
t2 |
T2 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
α0 cp |
|
|
T1 cp |
|
|
T2 cp |
Vcp |
Контрольные вопросы
-
Сформулируйте цель работы.
-
Как определяется момент импульса материальной точки, твердого тела относительно неподвижной оси вращения?
-
При каких условиях выполняется закон сохранения момента импульса относительно оси?
-
Почему измерения проводятся при двух положениях перемещаемых грузов?
-
Как получить формулу (5.17)?
-
Сделайте выводы по работе.