Примеры практических заданий

Удачи!

примеры ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ для ММЭ

Пример 1.

Найти производные функций:

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Пример 2.

Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

Пример 3.

Исследовать на сходимость числовые ряды:

1.1. 1.2. 1.3. .

Пример 4.

Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

1.1. 1.2. 1.3.

Пример 5.

Найти решение игры, заданной матрицей

Пример 6.

Дана функция распределения случайной величины Х:

F(x)=

Необходимо: а) найти плотность вероятности ; б) построить графики и ; в) убедиться в том, что Х – непрерывная случайная величина; г) найти вероятности P(X=1), P(X<1), P(1<X<2) (две последние вероятности показать на графиках и ); д) вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану.

Пример 7.

Найти значение математического ожидания и дисперсии для закона распределения Пуассона. Доказать, что сумма двух независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона с параметрами и , также распределена по закону Пуассона с параметром .

Пример 8.

Найти оценки для параметров и нормального закона распределения по данным выборки с помощью метода максимального правдоподобия.

Пример 9.

Для данной булевой функции:

а) составить таблицу значений;

б) используя таблицу значений, составить функцию, двойственную к данной;

в) записать двойственную функцию в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ) и совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).

Решение на примере функцииf(x,y,z) = (y→xz) (z).

Пример 10.

Для данной булевой функции трёх переменных, заданной таблично, составить сокращенную ДНФ (привести как геометрическое, так и аналитическое решение).

Пример решения

x	y	z	f(x,y,z)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Пример 11.

С помощью алгоритма Прюфера восстановить по вектору дерево. Нарисовать диаграмму. Сделать проверку.

Пример решения. (1, 2, 2, 1, 4, 4, 4).

Пример 12.

По данной матрице смежности неориентированного графа

а) нарисовать диаграмму;

б) восстановить матрицу инцидентности;

в) определить степени всех вершин;

г) проверить, имеются ли среди вершин графа точки сочленения, а среди его рёбер – мосты.

Пример решения

№вершины	1	2	3	4	5	6
1	0	1	1	0	0	0
2	1	0	1	0	0	1
3	1	1	0	0	0	0
4	0	0	0	0	1	1
5	0	0	0	1	0	1
6	0	1	0	1	1	0

Пример 13.

Найдите значение выражения

Пример 14.

Найдите точки минимума функции

Пример 15.

Найдите значение выражения

Пример 16.

Найдите количество точек на графике функции в которых касательная параллельна или совпадает с прямой

Пример 17.

Две окружности, касающиеся прямой в точках и , пересекаются в точках и , причем . Найти медиану треугольника .

Пример 18.

Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Пример 19.

Провести классификацию n=7 стран, каждая из которых характеризуется тремя признаками.

Страна	Япония	Норвегия	Швейцария	Мексика	Аргентина	США	Дания
государственные расходы на образование	61,61	4,90	5,31	5,46	5,56	181,30	4,45
валовой внутренний продукт	1 040,45	57,71	101,65	186,33	153,85	2 586,40	66,32
численность населения	116,78	4,09	6,37	67,40	27,06	227,64	5,12

Пример 20.

Найти решение матричной антагонистической игры с матрицей выигрышей

Пример 21.

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге: .

Пример 22.

Найти все экстремали функционала , удовлетворяющие

указанным граничным условиям: .

Пример 23.

Найти функции и , на которых может достигаться экстремум функционала при указанных граничных условиях: .

Пример 24.

.

Пример 25.

Найти все экстремали функционала , удовлетворяющие указанным граничным условиям: , .

Пример 26.

Найти все экстремали функционала , удовлетворяющие указанным граничным условиям: .

Пример 27.

Найти с точностью с помощью метода Ньютона, если .

Пример 28.

Методом прогонки решить систему разностных уравнений

Пример 29.

Цех-заготовитель поставляет в сборочный цех детали двух видов a и b. По договору между цехами оговорены ежедневно два срока поставок этих деталей, причем, при поставке в первый срок деталей вида «a» сборочный цех платит заготовительному премию 50 руб., при поставке же изделий «a» во второй срок выплачивается премия 20 руб. При поставке же изделий вида «b» в первый срок премия составляет 30 руб., а во второй – 40 руб. Определить оптимальные стратегии поставок и получения деталей.

Пример 30.

Автомобилестроительный завод выпускает три модели автомо­билей, которые изготавливаются последовательно в трех цехах. Мощность цехов составляет 300, 250 и 200 человекодней в дека­ду. В первом цехе для сборки одного автомобиля первой модели требуется 6 человекодней, второй модели — 4 и третьей модели — 2 человекодня в декаду соответственно. Во втором цехе трудоем­кость равна 3,4 и 5 человекодней соответственно, в третьем — по 3 человекодня на каждую модель. Прибыль, получаемая заводом от продажи одного автомобиля каждой модели, составляет соот­ветственно 15, 13 и 10 тыс. долл.

Постройте модель для определения оптимального плана.

Пример 31.

Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

_{Пример 32.}

Решить на плоскости xOy графически систему линейных неравенств:

_{Пример 33.}

Линейный оператор в базисе имеет матрицу A. Найти его матрицу А’ в базисе ;

_{Пример 34.}

Пусть линейный оператор в некотором базисе задан матрицей А. Найти все собственные значения оператора и отвечающие им собственные векторы:

А =

_{Пример 35.}

Для производства двух видов изделий A и B предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на каждом из типов оборудования. Время обработки каждого из изделий на оборудовании данного типа и прибыль, связанная с производством одного изделия, приведены в таблице:

Тип оборудования	Временные затраты (ч) на обработку одного изделия
	A	B
I	1	3
II	3	2
III	1	13
Прибыль от производства одного изделия (руб.)	3	3

_{Пример 36.}

Задание 1. Найти производные функций:

1.1. . 1.2. . 2.3.

Задание 2. Продифференцировать неявно заданную функцию:

.

Задание 3. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

_{Пример 37.}

Пусть заводы автомобильной фирмы, расположенные в Пензе, Владимире и Курске, выпускают соответственно 1200, 1350 и 1450 автомобилей в квартал, а спрос на готовую продукцию в центрах сбыта этой фирмы, расположенных в Москве и Санкт-Петербурге, составляет 1800 и 2200 автомобилей в квартал соответственно. Стоимость перевозки одного автомобиля от пункта производства до центра сбыта (в условных денежных единицах) представлена в таблице:

	Москва	Санкт-Петербург
Пенза	70	205
Владимир	110	128
Курск	92	78

Необходимо разработать план перевозок автомобилей от пунктов их производства к центрам сбыта, обеспечивающий минимальные транспортные затраты.

_{Пример 38.}

Задание 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .

Задание 2. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:

_{Пример 39.}

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

1.4. ; 1.5. .

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

_{Пример 40.}

Задание 1. Найти производные функций:

1.1. . 1.2. . 2.3.

Задание 2. Продифференцировать неявно заданную функцию:

.

Задание 3. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

_{Пример 41.}

Задание 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .

Задание 2. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:

_{Пример 42.}

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

1.4. ; 1.5. ;

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

_{Пример 43.}

Дана функция распределения случайной величины Х:

F(x)=

Необходимо: а) найти плотность вероятности ; б) построить графики и ; в) убедиться в том, что Х – непрерывная случайная величина; г) найти вероятности P(X=3), P(X<3), P(3<X<4) (две последние вероятности показать на графиках и ); д) вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), моду Mo(X) и медиану Me(X).

_{Пример 44.}

Дано распределение признака Х, полученное по n наблюдениям. Необходимо: 1) построить полигон (гистограмму), кумуляту и эмпирическую функцию распределения Х; 2) найти среднюю арифметическую, медиану, моду, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, начальные и центральные моменты k-го порядка (k=1, 2, 3, 4), коэффициент асимметрии и эксцесс.

X – месячный доход жителя региона (в ден.ед.); n=1000 (жителей).

	менее 500	500-1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	свыше 2500
	58	96	239	328	147	132

_{Пример 45.}

Найти значение математического ожидания и дисперсии для показательного закона распределения. Вывести формулу для функции распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону.

_{Пример 46.}

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

1.4. ; 1.5. ;

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

_{Пример 47.}

В верхнем течении Волги построена новая станция по обслуживанию речных судов. Суда прибывают по закону Пу­ассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслужива­ния 10 судов в час. В среднем издержки по простою речного суд­на составляют 100 долл./ч, а издержки по обслуживанию дока — 75 долл./ч.

Определите: вероятность того, что док будет пуст; среднее число судов в очереди; среднее время ожидания обслуживания; среднее время пребывания в доке.

Администрация станции рассматривает возможность введе­ния в строй еще одного дока с той же скоростью обслужи­вания. Есть ли в этом необходимость?

_{Пример 48.}

Проверить ряд данных на наличие грубых ошибок. Вычислить робастные средние оценки.

57, 55, 56, 12, 56, 59, 54, 53, 55, 56, 530, 54, 57, 56, 55, 59, 54, 58, 53, 55

_{Пример 49.}

Определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и У. Сделать выводы по полученным результатам.

	4	5	6	8
2	0,02	0,15	0,09	0,1
4	0,07	0,06	0,12	0,2
6	0,07	0,03	0,04	0,05

_{Пример 50.}

Дана кооперативная игра. Преобразовать игру в (0,1)-редуцированную форму. Найти С-ядро, вектор Шепли.

_{Пример 51.}

Задание 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .

Задание 2. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:

_{Пример 52.}

Найти решение матричной антагонистической игры с матрицей выигрышей

_{Пример 53.}

Задание 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .