- •«Динамика»
- •2403.309003.000Пз
- •Контрольная работа д1 Динамика материальной точки
- •Контрольная работа д2 Колебания материальной точки
- •Контрольная работа д3 Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела
- •Контрольная работа д4 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
- •Контрольная работа д5 Применение общего уравнения динамики к изучению движения механической системы с одной степенью свободы
- •Контрольная работа д6 Применение уравнений Лагранжа второго рода к изучению движения механической системы с двумя степенями свободы
Контрольная работа д4 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Механическая система, изображенная на рис.1, приводится в движение из состояния покоя. При этом колесо В катится без скольжения по плоскости.
Массы тел: =300 кг, =100 кг,=10 кг
Заданная нагрузка: М=20 Н∙м и F=500 Н
Радиусы колеса В и шкива D соответственно равны RВ=0,8 м, rВ=0,5 м, RD=0,2м, радиус инерции колеса В ρВ=0,3 м
Углы имеют следующие значения: α=300, β=600
Коэффициент трения качения равен k = 0,05∙RВ; коэффициент трения скольжения тела А равен f = 0,1.
Используя теорему об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение тела А после того, как оно переместится на расстояние SА=2м. Шкив D считать однородным сплошным диском; силами сопротивления в подшипниках, массой троса, его растяжением и проскальзыванием по ободу шкива пренебречь.
Рис.1
РЕШЕНИЕ:
Для определения скорости и ускорения груза А воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
. (1)
Где - кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях
- суммарная работа внутренних сил, действующих на систему, при ее переходе из начального положения в конечное.
- суммарная работа внешних сил, действующих на систему, при ее переходе из начального положения в конечное.
Определяем и. Так как в начальный момент система находится в покое, то. Величинаравна сумме кинетических энергий всех тел системы:
.
Учитываем:
1) груз А движется поступательно со скоростью , следовательно
2) Шкив D вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , следовательно;
Так как шкив D считаем однородным цилиндром, то его момент инерции относительно оси, проходящей через точку О1: , то есть;
3) Колесо В, движется плоскопараллельно: , где- скорость центра масс блока В,- угловая скорость колеса В.
Момент инерции колеса В относительно оси, проходящей через точку О: .
Так как колесо В катится по плоскости без проскальзывания, то скорость точки Р (рис.2) колеса В равняется нулю и она является мгновенным центром скоростей этого тела. Тогда угловая скорость колеса В: . Следовательно,
.
Тогда кинетическая энергия механической системы:
(2)
Выразим все скорости через . Так как нити нерастяжимы, то скорость точки I диска D равна скорости центра масс груза А, но
Следовательно, . (3)
Рис.2
Скорость точки L диска D равна скорости точки Н колеса В . Так как точка Р – мгновенный центр скоростей колеса В, то. Учитывая, что, получим:
и так как , то
(4)
Тогда , подставив (3) и (4) в (2), получим:
(5)
Так как тела, образующие систему, абсолютно твердые и трос – нерастяжимый, то (6).
На систему действуют внешние силы (рис.3): силы тяжести ,,, реакции,,, сила трения скольжения, действующая на груз А, сила трения, действующая на колесо В и моментсил сопротивления качению блока В, а так же приложенные к колесу В силаи момент пары сил М.
Рис. 1
Найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда груз А пройдет путь . Обозначим:- угол поворота колеса В,- перемещение центра масс колеса В.
,
,
,
,
,
Работы остальных сил равны нулю, так точка приложения инеподвижна,перпендикулярна перемещению колеса В,перпендикулярна перемещению груза А, точка Р, где приложена сила– мгновенный центр скоростей колеса В.
Выразим угол поворота колеса В и перемещение центра масс блока В через перемещение груза А , учитывая что зависимость между перемещениями такая же как и между скоростями:
Так как и, тои
Учитывая, что сила трения скольжения определяется выражением: ,
и момент сопротивления качению:
Силы тяжести тел системы:
Следовательно, работы внешних сил равны:
,
,
,
,
,
Сумма вычисленных работ равна
(7)
Подставляя выражения (5),(6) и (7) в (1) получаем уравнение для искомой величины :
(8)
Откуда получаем:
(9)
Продифференцируем обе части уравнения (8) по времени:
Так как , то
Или
Тогда ускорение груза А:
(10)
Подставляя исходные данные, получим:
Ответ: ;