- •Основы маТеМатического анализа
- •Оглавление
- •Дидактический план
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Перечень умений
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовые последовательности
- •1.2. Предел последовательности
- •1.3. Предел функции
- •1.4. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности (X →∞)
- •1.5. Бесконечно малые функции
- •1.6. Основные свойства бесконечно малых
- •1.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •1.8. Бесконечно большие функции
- •1.9. Связь предела и бесконечно малых
- •1.10. Правила предельного перехода
- •1.11. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции. Ее геометрический смысл
- •2.2. Дифференциал функции, его геометрический смысл
- •2.3. Общее представление о линеаризации функции
- •2.4. Основные правила дифференцирования функций
- •2.5. Монотонные функции. Точки экстремума
- •2.6. Производные высших порядков
- •2.7. Формула Тейлора (до второго порядка включительно)
- •2.8. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •2.9. Асимптоты
- •2.10. Общая схема исследования функции. Построение графика
- •3. Элементы интегрального исчисления
- •3.1. Понятие первообразной. Основные правила интегрирования
- •3.2. Основные методы интегрирования
- •Основных интегралов (c – постоянная)
- •3.3. Интеграл и задача об определении площади
- •3.4. Определенный интеграл
- •3.5. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства
- •7.Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •8.Теорема об оценке интеграла.
- •4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1. Общие понятия и определения
- •4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •4.3. Способы интегрирования уравнений первого порядка
- •4.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
- •3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
- •Тренинг умений
- •1. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1 Задание
- •Решение
- •Cамостоятельно найдите производные:
- •2. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно найдите интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
- •3. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно методом интегрирования по частям найдите интегралы:
- •4. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4 Задание 1
- •Решение
- •Задание 2
- •Решение
- •Самостоятельно вычислите площадь, ограниченную кривыми:
- •Самостоятельно найдите общее решение дифференциальных уравнений:
- •Глосарий
- •Матиматика (курс 4) юнита 3
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие задания предложенному алгоритму |
1 |
Построить график граничных функций. Определить искомую фигуру |
Искомая фигура представляет собой две криволинейные трапеции площадью |
2 |
Найти пределы интегрирования |
Данная функция пересекает ось 0Хв точках: |
3 |
Записать искомую площадь с помощью определенного интеграла | |
4 |
Вычислить полученные интегралы | |
5 |
Вычислить искомую площадь |
кв. ед. |
Задание 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями иy=x+2 (случайб)
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие задания предложенному алгоритму |
1 |
Построить графики граничных функций. Определить искомую фигуру | |
2 |
Найти пределы интегрирования |
Найдем точки пересечений кривых: |
3 |
Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла по формуле |
Здесь , |
4 |
Вычислить полученный интеграл и выписать ответ |
= кв. ед. |
Самостоятельно вычислите площадь, ограниченную кривыми:
4.1. и осью 0x.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5. и
5. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 5
Задание
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие задания предложенному алгоритму |
1 |
Представить правую часть уравнения в виде | |
2 |
«Разделить» переменные и записать уравнение в виде | |
3 |
Проинтегрировать обе части полученного уравнения |
; . Итак: , удобно взять произвольную постоянную в виде. Окончательно: или – общий интеграл уравнения. |
Самостоятельно найдите общее решение дифференциальных уравнений:
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
6. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 6
Задание
Решить дифференциальное уравнение
.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие задания предложенному алгоритму |
1 |
Составить характеристическое уравнение и найти его корни |
Характеристическое уравнение: . Корни: |
2 |
Найти ФСР однородногодифференциального уравнения |
ФСР: |
3 |
Записать общее решение однородного уравнения | |
4 |
Найти частное решение неоднородного уравнения |
Правая часть имеет вид(=–2 – однократный корень характери-стического уравнения). или , тогда |
5 |
Выписать общее решение |
Самостоятельно найдите общее решение дифференциальных уравнений:
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
Глосарий
№ п/п |
Новое понятие |
Содержание |
1 |
2 |
3 |
1 |
Асимптота к графику функции y = f(x) |
прямая Lтакая, что расстояниеdот точкиМна кривой до данной прямойLстремится к нулю при неограниченном удалении точкиМот начала координат |
2 |
Бесконечно большая при |
функция , для которой |
3 |
Бесконечно малая при |
функция , для которой |
4 |
Вертикальная асимптота к графику функции y = f(x) |
прямая х=а, если |
5 |
Геометрический смысл дифференциала |
приращение ординаты касательной |
6 |
Геометрический смысл определенного интеграла |
площадь S криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x),, прямымих=а,х=bи осью0Х: |
7 |
Геометрический смысл производной |
тангенс угла наклона касательной в точке , где- угол наклона касательной |
8 |
Глобальный максимум (минимум) функции |
наибольшее (наименьшее) значение функции на всей области определения |
9 |
Дифференциал функции у = f (x) в точке х0 |
главная часть приращения функции, линейная относительно ,, если х – независимая переменная, то |
10 |
Дифференциальное уравнение |
уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функциюу=у(х) и ее производные: |
11 |
Достаточное условие возрастания функции у = f(x) на (а, b) |
для всех |
12 |
Достаточное условие интегрируемости функции f(x) на интервале |
непрерывность функции на данном интервале |
13 |
Достаточное условие точки перегиба функции y = f(x) |
если в точке х0ислева и справа от точких0имеет разные знаки, тох0– точка перегиба функции |
14 |
Достаточное условие убывания функции у = f(x) на (а, b) |
для всех |
15 |
Достаточный признак экстремума функции |
если при переходе через стационарную точку х0слева направо по оси0Xпроизводная функции меняет знак, тох0является точкой экстремума |
16 |
Задача Коши для дифференциального уравнения |
найти решение у=у(х) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, или |
17 |
Интегральная кривая |
график кривой у=у(х), являющейся решением дифференциального уравнения |
1 |
2 |
3 |
18 |
Интегрирование функции f(x) |
операция отыскания всех первообразных для функции f(x) |
19 |
Левый предел функции f(x) в точке х0 |
число , равное |
20 |
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка |
уравнение вида , гдер(х) иq(x) – данные непрерывные функции |
21 |
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами |
уравнение вида ,– постоянные |
22 |
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами |
уравнение вида , где– постоянные |
23 |
Наклонная асимптота к графику функции y = f(x) |
прямая у=kх +bтакая, что , (k,b– конечные числа) |
24 |
Необходимое условие точки перегиба |
если х0– точка перегиба дважды дифференцируемой функции, то |
25 |
Необходимый признак экстремума дифференцируемой функции |
если функция y=f(x) в точке х0имеет экстремум и дифференцируема в этой точке, то |
26 |
Общее решение дифференциального уравнения |
функция у=у(х,с), зависящая от аргументахи произвольной постояннойс, удовлетворяющая условиям: 1) при любых значениях постоянной с функция у=у(х,с) является решением уравнения; 2) для любой точки , лежащей внутри областиD, существует единственное значение постояннойс=с0такое, что |
27 |
Определенный интеграл |
такое число I, которое удовлетворяет условию: для любогосуществуеттакое, что при max () и любом выборе точек,k=1,2,…n, выполняется неравенство |
28 |
Первообразная для функции f(x) |
функция F(x) такая, чтоили |
29 |
Порядок дифференциального уравнения |
высший из порядков производных, входящих в уравнение |
30 |
Правый предел функции f(x) в точке х0 |
число |
31 |
Предел последовательности |
такое число а, что для любого сколь угодно малого числанайдется такой номерN, что для всехn>Nверно неравенство |
1 |
2 |
3 |
32 |
Предел функции у = f(x) на бесконечности при |
такое число А, что для любогонайдется такое числоМ>0, что для всехвыполняется неравенствоили |
33 |
Предел функции у = f(х) при стремлении х к хо |
такое число А, что для любогонайдется, что для всехх, удовлетворяющих условию, верно неравенство. Этот факт записывают так: |
34 |
Производная n-го порядка функции y = f(x) |
первая производная от (n–1)-й производной этой функции |
35 |
Производная функции в точке х0 |
предел отношения приращения функции к приращению аргументапри стремлениик нулю: |
36 |
Решение дифференциального уравнения |
функция у=у(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство (тождество) |
37 |
Стационарные точки функции y = f(x) |
точки, в которых производная дифференцируемой функции равна нулю |
38 |
Точка локального максимума (max) функции у = f(x) |
точка х0такая, чтодля всеххиз окрестности точких0, принадлежащей ее области определения |
39 |
Точка локального минимума (min) функции у = f(x) |
точка такая, чтодля всеххиз окрестности точких1, принадлежащей ее области определения |
40 |
Точка перегиба функции y = f (x) |
точка х0такая, что точкана графике функции отделяет выпуклую часть графика от вогнутой |
41 |
Точка разрыва функции у = f(x) |
точка х0, в которой нарушается условие непрерывности функции |
42 |
Точки экстремума функции |
точки максимума и минимума функции, лежащие внутри интервала определения функции |
43 |
Уравнение с разделяющимися переменными |
дифференциальное уравнение вида |
44 |
Формула Ньютона-Лейбница |
формула вычисления определенного интеграла: , гдеF(x) – любая первообразная функцииf(x) |
45 |
Формула интегрирования по частям | |
46 |
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле | |
47 |
Формула Тейлора функции y = f(x) в окрестности точки х0 |
формула, представляющая дифференцируемую функцию f(x) в окрестности точких0в виде многочлена: |
48 |
Функция f(x) выпукла на интервале (а, b) |
если касательная к графику функции в каждой точке M0лежит не выше графика функции |
1 |
2 |
3 |
49 |
Функция у = f(x) монотонна на (а, b) |
если она возрастает или убывает на интервале (а,b) |
50 |
Функция у = f(x), непрерывная в точке х0 |
функция, для которой выполняется условие , или |
51 |
Функция у = f(x), убывающая на интервале (а, b) |
если большему значению аргумента из (а, b) соответствует меньшее значение функции, т.е. для верно неравенство |
52 |
Функция у= f(x), возрастающая на интервале (а, b) |
если большему значению аргумента из (а,b) соответствует большее значение функции, т.е. дляверно неравенство |
53 |
Частное решение дифференциального уравнения |
решение уравнения, полученное из общего у=у(х,с) при конкретном значении постояннойс=с0 |