Лекции №№2,3

II. Неопределенный интеграл

1. Понятие неопределенного интеграла

В дифференцируемом исчислении мы решали задачу как по данной функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функциюF(x), зная ее производную(или дифференциал). Искомую функциюF(x) называютпервообразнойфункцииf(x).

F(x) – называется первообразной функцииf(x) на интервале (a,b), если для любоговыполняется равенство(или.

Например, первообразной функции является функция, так как.

Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С – постоянная, поскольку.

Теорема 1. ЕслиF(x) является первообразной функцииf(x) на, то множество всех первообразных дляf(x) задается формулой, где С – постоянное число.

Док-во. Функция- первообразнаяf(x). Действительно,. Пустьнекоторая другая отличная отпервообразная функции, т.е.=. Тогда для любогоимеем, а это означает, что, где С -. Следовательно,.

Множество всех первообразных функций дляназывается неопределенным интегралом от функциии обозначается символом. Таким образом =.

Здесь - называется подынтегральной функцией,- подынтегральным выражением,x– переменной интегрирования,- знаком неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла – интегрированием этой функции.

2. Свойства неопределенного интеграла

а) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции ,.

Действительно, и.

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

б) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной .

Действительно, .

в) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Действительно, , где.

г) Неопределенный интеграл от алгебраического конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций.

Пусть и, тогда, где

.

д) инвариантность формулы интегрирования. Если , то и, где- произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Доказательство.Пусть– независимая переменная,- непрерывная функция и- ее первообразная, тогда. Положим теперь, что, где- непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию. В силу инвариантности первого дифференциала имеем:. Отсюда.

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

3. Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла. Например:

т.к. , то.

Ниже приводимый список интегралов называется табличным. Необходимо отметить, что в приводимой ниже таблице переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной.

Таблица основных интегралов.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

В справедливости приведенных выше формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы.