- •Пояснювальна записка
- •Розділ 1. Матриці та вектори
- •Тема 1. Матриці та визначники. Мінори. Обернена матриця.
- •Контрольні запитання
- •Тема 2. Системи лінійних рівнянь
- •Контрольні запитання
- •Тема 3. Довільні системи лінійних рівнянь
- •Контрольні запитання
- •Тема 4. Елементи векторної алгебри
- •Контрольні запитання
- •Розділ 2. Основи аналітичної геометрії
- •Тема 5. Пряма лінія на площині
- •Контрольні запитання
- •Тема 6. Криві другого порядку
- •Контрольні запитання
- •Тема 7. Площина та її рівняння
- •Видно, що ,( тобто площина паралельна до осіOx.
- •4. Кут між двома площинами.
- •Нехай маємо площину задану нормальним рівнянням
- •Контрольні запитання
- •Тема 8. Пряма в просторі
- •Контрольні запитання
- •Розділ 3. Вступ до математичного аналізу Тема 9. Функція та її границя. Основні теореми про границю.
- •Контрольні запитання
- •Тема 10. Неперервність функції в точці
- •Контрольні запитання
- •Контрольні запитання
- •Тема 12. Диференціал функції. Похідні вищих порядків
- •Контрольні запитання
- •Тема 13. Дослідження функцій за допомогою похідної
- •Контрольні запитання
- •Розділ 5. Функції багатьох змінних
- •Тема 14. Границя функції багатьох змінних
- •Контрольні запитання
- •Тема 15. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Застосуваня частинних похідних
- •Контрольні запитання
- •Розділ 6. Інтегрування функції однієї змінної
- •Тема 16. Первісна функція та неозначений інтеграл
- •3. Таблиця основних інтегралів
- •Контрольні запитання
- •Тема 17. Визначений інтеграл та його обчислення
- •Скориставшись цим, маємо
- •Таким чином
- •Розв’язування. В силу симетрії кривої визначаєм спочатку одну чверть шуканої площі
- •Контрольні запитання
- •Розділ 7. Звичайні диференціальні рівняння
- •Тема 19. Поняття про диференціальні рівняння, рівняння з відокремлюваними змінними
- •Основна задача теорії інтегрування диференціальних рівнянь
- •Контрольні запитання
- •Тема 20. Диференціальні рівняння 1-го порядку
- •Диференціальне рівняння
- •Контрольні запитання
- •Тема 21. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами
- •Контрольні запитання
- •Перелік рекомендованої літератури
- •Тема 1. Матриці та визначники. Мінори. Обернена матриця 4с.
Тема 17. Визначений інтеграл та його обчислення
Мета. Дати поняття визначеного інтегралу, інтегралу по змінній верхній межі, ознайомитись з основними методами обчислення визначених інтегралів.
План.
Задачі, що приводять до поняття визначеного інтегралу. Поняття визначеного інтегралу та його властивості.
Інтеграл по змінній верхній межі. Теорема про середнє. Формула Ньютона- Лейбніца.
Основні методи обчислення визначених інтегралів.
1. Розглянемо задачу про знаходження площі криволінійної трапеції. Якщо на площині задано фігуру, обмежену прямими x=a, x=b, віссю Ox і графіком деякої функції y=f(x), то така фігура називається криволінійною трапецією.
Для того, щоб знайти її площу, розіб’ємо відрізок [a,b] на n частин (надалі будемо казати, що зроблено T- розбиття). Побудуємо через кожну точку T- розбиття пряму паралельну до осі Oy до перетину її з графіком функції y=f(x). Позначимо точки T- розбиття як x0, x1, …, xn, де x0=a, xn=b. Довжини відрізків, отриманих при T- розбитті, позначимо xi, де xi=xi-xi-1, i=1,2,…,n. Виберемо на кожному з відрізків T- розбиття деяку точку в якій функція приймає найменше значення на відрізкуxi і другу точку в якій функція приймає найбільше значення на цьому відрізку. Побудуємо через ці точки відрізки паралельні осі Ox до перетину з першим вертикальним відрізком. Ясно, що площа трапеції більша або рівна суми площ прямокутників, побудованих через точки мінімуму але менша або рівна суми площ прямокутників, побудованих через точки максимуму, тобто
. (1)
Надалі будемо вибирати таке T- розбиття, щоб довжина максимального його відрізка прямувала до нуля:, тобто кількість точокT- розбиття прямує до нескінченності (Зауважимо, що обернене не завжди справедливе). При такому T – розбитті границі виразів, що містяться в правій і лівій частині формули (1) прямуватимуть до площі криволінійної трапеції. Таким чином,
.
Такі задачі як визначення площі криволінійної трапеції, а також ряд інших, приводять до поняття визначеного інтегралу.
Нехай на деякому відрізку [a,b] задано функцію y=f(x). Проведемо T- розбиття відрізка [a,b] і побудуємо суму добутків значень функції в деяких точках відрізків T- розбиття помножених на довжини цих відрізків.
,
де xi=xi-xi-1, i=1,2,…,n.
Означення. Якщо границя не залежить від виду T-розбиття, вибору точок на його відрізках і дорівнює сталому числу, то таке число називається визначеним інтегралом функції y=f(x) на відрізку [a,b].
Позначають
Тут f(x)- підінтегральна функція, f(x)dx –підінтегральний вираз, числа a,b – межі інтегрування.
Властивості визначеного інтегралу.
Якщо на відрізку [a,b] інтегрована функція f(x), то на цьому відрізку інтегрована і функція kf(x), причому
.
Якщо на відрізку [a,b] функція f(x)=0, то .
Якщо на відрізку [a,b] функція f(x)=1, то .
Якщо на відрізку [a,b] функція f(x)0, то .
Якщо на відрізку [a,b] інтегрована функція f(x), то на цьому відрізку інтегрована і функція , причому.
Якщо на відрізку [a,b] інтегровані функції f(x) та , то на цьому відрізку інтегровані і функції , причому
(x)dx.
Без доведення приймемо твердження.
Теорема 1. Якщо функція інтегровна на відрізку [a,b], то вона обмежена на цьому відрізку.
Не всі функції, які ми розглядаємо є інтегровними, але можна виділити класи функцій, визначений інтеграл від яких існує.
Теорема 2. Якщо функція неперервна на відрізку [a,b], то вона інтегровна на цьому відрізку.
Теорема 3. Якщо функція монотонна на відрізку [a,b], то вона інтегровна на цьому відрізку.
Теорема 4. Якщо функція обмежена на відрізку [a,b] і неперервна в усіх точках цього відрізка, крім можливо, скінченної їх кількості, то вона інтегровна на цьому відрізку.
2. Теорема (про середнє). Якщо функція f(x) інтегровна на відрізку [a,b], то знайдеться така точка с[a,b], що.
Якщо функція f(x) інтегровна на відрізку [a,b], то поряд з інтегралом існує інтеграл. Введемо функцію
F(x)= .
Без доведення приймемо таке твердження:
Функція F(x)= є первісною для функціїf(x).